21.3 二次函数与一元二次方程-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

21.3二次函数与一元二次方程 要梳理 1.二次函数图象与x轴的交点同一元二次方程的关系：(1)当△=b2一4ac>0时，抛物线与x轴有2个交 点；(2)当△=b2-4ac三0时，抛物线与x轴有1个交点；(3)当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有 交点。 2.估计一元二次方程的近似根：求一元二次方程ax2十bx十c=0的根就是求二次函数y=ax2十bx十c在 y=0时，自变量x的值，也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.由于作图或观察存在误差，由图 象求得的根一般是近似的. 3.已知二次函数y=ax2十bx十c的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程 ax'+bx+c=M. 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 二次函数与一元二次方程的关系 4.函数y=m.x2+(m+2)x+ 2m十1的图象 1.抛物线y=x2一1与x轴的交点个数是 与x轴只有一个交点，则m的值为( ( A.0 B.0或2 A.3 B.2 C.1 D.0 C.0或2或一2 D.2或-2 变式题已知字母系数判定抛物线与x轴 5.安徽中考特色·双空题 的交点个数>已知抛物线与x轴 已知函数y=|x2一4|的大 的交点个数求字母系数 致图象如图所示，方程 0 若抛物线y=x2一x十c(c是常数)与x轴 x2一4|=m(m为实数). 第5题图 没有交点，则c的取值范围是 (1)若该方程恰有3个不相等的实数根，则 m的值是 (2)若该方程恰有2个不相等的实数根，则 2.(2025一2026毫州蒙城期末)如图 m的取值范围是 3/ 所示的是抛物线y=a.x2+bx十c 6.已知抛物线y=x2一2mx十m2一1与x轴 的一部分，则方程a.x2+bx+c=0 的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x十 的根是 第2题图 x=4,求m的值， 知识点②估计一元二次方程的近似根 3.下表给出了二次函数y=x2十2x一5中x,y的 些对应值，则可以估计一元二次方程x2十2x 一5=0的一个近似根为（精确到0.1） ( x…1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y小… -1.16-0.71-0.240.25 0.76 A.1.3 B.1.4 C.1.5 D.1.6 16 九年级数学HK版 数学拓展专题 二次函数与一元二次不等式 题型利用图象法求一元二次不等式的解集 +bx+0 1.如图，直线y1=x十1与抛物线y2=一x2十 3交于A,B两点.当y1>y2时，x的取值范 2 围为 第4题图 变式题图 A.x<-2 B.x>1 C.-2<x<1 D.x<-2或x>1 变式题条件相似，结论有别 y1=x+1 如图所示的是二次函数y=a.x2+bx+c (a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象.由 图象可知，不等式a.x2+bx十c<0的解集 y2=-x2+3 023 是 第1题图 变式题图 5.抛物线y=ax2十bx+c(a,b,c 变式题条件相似，结论有别 为常数，且a≠0)如图所示，则关 如图，已知抛物线y2= 32、 2 3x与直线 于x的不等式ax2+(b-2)x十c >0的解集是 01 2 y1=3x交于点0，A(3,2),与x轴交于 第5题图 6.已知关于x的二次函数y1=k.x2+（2k 点B(2,0).若y1>y2>0,则x的取值范 1)x一2(k为常数，且k≠0)和一次函数y2 围是 =x十2.若函数y1的图象与x轴的两个交 点之间的距离等于3. 2.已知二次函数y=x2一2x一3.若y>5,则 自变量x的取值范围是 ( (1)k的值为 A.x<-2或x>4B.x<-1或x>3 (2)当y1>y2时，求x的取值范围. C.-2<x<4 D.-1<x<3 3.(2025一2026池州青阳期末)】 一次函数y1=mx十n(m≠0) 与二次函数y2=a.x2十bx十c (a≠0)的图象如图所示，则不 等式a.x2+(b-m)x+c<n 的解集为 第3题图 A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 4.若二次函数y=a.x2+bx十c(a,b,c为常数，且 a≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式a.x +bx十c<0的解集是 上册第21章 7△ 强化训练专题 二次函数的图象与系数的关系 题型① 二次函数的图象与系数a,b的关系 b 5.若一次函数y=x+c的图 1.已知二次函数y=a.x2+bx的图象如图所 象如图所示，则二次函数y= 示，那么a,b的符号为 ax2+bx+c的图象可能是 A.a>0,b>0 第5题图 B.a<0,b>0 C.a>0,b<0 D.a<0,b<0 第1题图 题型②二次函数的图象与系数a,c的关系 2.已知二次函数y=a.x2十c(a,c为常数，且a ≠0)，a<0,则该函数的图象可能是( 木 D 6.如图，抛物线y=a.x2+bx+c(a,b,c为常 题型③二次函数的图象与系数b,c的关系 数)关于直线x=1对称.给出下列结论： 3.已知函数y=一x2十bx十c,其中b>0,c< ①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0; ④am2十bm>a十b.其中正确的有() 0,此函数的图象可以是 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 题型④ 二次函数的图象与系数a,b,c的 -3-201 关系 -1f 4.已知a>b>c,且a十b+c=0,则二次函数 第6题图 第7题图 y=ax2+bx十c的图象可能是下列图象中 7.已知二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图 的 ( ) 象如图所示，图象经过点(0,2)，其对称轴为 直线x=一1.给出下列结论：①3a十c>0; ②若点（一4，y1),(3,y2)均在二次函数图象 上，则y1>y2;③关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=一1有两个相等的实数根； ④满足ax2+b.x+c>2的x的取值范围为 一2<x<0.其中正确的个数为() A.1B.2 C.3 D.4 418 九年级数学HK版,顶点在函数y=2x的图象上， y=2×(-1)=-2,.顶点坐标为（一1，-2）. 设这个二次函数的表达式为y=a(.x十1)2-2. 把(2,0)代入y=a(x+1)2-2,得0=9a-2,解得a= 2 2 故这个二次函数的表达式为y-子+号一日 3.解：点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0)， .A0=1,OB=4,∴.AB=A0+OB=1+4=5, .OC=AB=5,即点C的坐标为(0,5). 设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x一4). 把(0,5)代入，得5=-4a,解得a=-5 5 六y=-(x+1D(x-4), 即二次函数的表达式为y=,4 4x+5. 4.A【解析】由y=x2-4x+5=(x一2)2+1知，抛物线 的顶点坐标是(2,1)，点C的坐标是(0,5)， 该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐 标是（一2,9），∴.该抛物线关于点C成中心对称的抛物 线的函数表达式为y=-(x十2)+9=-x2-4x+5. 5.解：y1的图象经过点(1,1)，.2-2m十m十1=1，解 得m=2,∴.y1=2x2-4x十3=2(x-1)2+1, .y1+y2=2x2-4x+3+a.x2+bx+c=(a+2)x2+ (b-4)x+c十3. :y十y?与y1关于x轴对称， .y1+y2=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3, [a+2=-2, a=-4, .b-4=4,解得b=8, c十3=-3， c=-6. .二次函数y2的表达式为y2=一4x2十8x一6 21.3二次函数与一元二次方程 1.B 变式题c>【解析】由题意，得1-4c<0c>4 1 2.x1=-1,x2=4 3.B【解析】当x=1.4时，y=-0.24;当x=1.5时，y =0.25. ,一0.24更接近于0，.方程的一个近似根为1.4. 4.C【解析】分下列两种情况讨论： ①当m=0时，y=2x十1，此时y=0时，x=一0.5，该 函数与x轴只有一个交点； ②当m≠0时，函数y=mx2+(m+2)x十2m十1的 图象与x轴只有一个交点，则(m十2)-4m(2m十 /1 1)=0,解得m1=2,m2=-2. 综上所述，m的值为0或2或一2. 5.(1)4(2)m=0或m>4 6.解：由题意可知，当y=0,即x2-2mx十m2-1=0时， 46 九年级数学HK版 有x1,xg两根，∴.x1十x2=2m,x1x2=m2一1. x+x=4,x+x=(x1+x2)2-2.x1x2=4m2 2(m2-1)=4,解得m1=1,m2=-1. 综上所述，m的值为1或-1. 数学拓展专题二次函数与一元二次不等式 1.D变式题2<x<32.A 3.C【解析】观察图象可知，当一1<x<4时，直线y1= m.x十n(m≠0)在二次函数y:=a.x2+bx十c(a≠0)的图 象的上方，即当-1<x<4时，a.x2十bx十c<mx十n, ∴.不等式a.x2+(b-m)x十c<n的解集为-1<x<4. 4.-1<x<2 变式题x<一1或x>5【解析】抛物线对称轴为 直线x=2,且抛物线与x轴交于点(5,0)，.抛物线与 x轴另一交点坐标为(-1,0)，∴.不等式ax2+bx十c <0的解集是x<-1或x>5. 5.x<1或x>3【解析】ax2+(b =21 一2)x十c>0可以变形为a.x2+ bx十c>2x,∴.关于x的不等式 a.x2+(b-2)x十c>0的解集即 二次函数y=a.x2+bx十c大于 一次函数y=2x时x的取值范 围.如图，由图象可知，x<1或x>3. 1 6.解：1)1或-5 (2)当k=1时，y1=x2+x-2. :y1>y2,.x2+x-2>x+2. 整理，得x2-4>0, 如图①，画出图象可得x<一2或x>2 5x-2. y>--g-2>+2 1 图① 整理，得x2+12x+20<0, 如图②，画出图象可得-10<x<-2. 综上所述，当k=1时，x<一2或x>1忒 2:当k=-号时，-10<x<-2 图② 【解析】(1)设kx2+(2k-1)x一2=0的两根为x1x2, 则+，=-2k-1 k,2= 2 (1-x2)2=(x 十x2)2-4x1x2 (2k+1)2 之.由题意可知，1一x=3, 2+1) =3,解得k1=1,k:=一5 1 k? 强化训练专题二次函数的图象与系数的关系 1.A2.D 3.D【解析】由函数y=-x2+b.x十c,b>0,c<0可知， b 函数图象开口向下，图象的对称轴为直线x=2>0, 图象交y轴的负半轴，故D选项符合题意， 4.C【解析】.a>b>c,且a十b十c=0,.必须a>0,c<0, 且该图象与x轴的一个交点是(1,0).故C选项符合题意. 5.B【解析】由一次函数的图象可得名>0c>0x 一2a<0,即二次函数图象的对称轴在y轴的左侧。 b 又：c>0,∴二次函数图象与y轴的交点在正半轴上， 符合题意的只有B选项. b 6.C【解析】根据图象可知，a>0,c<0,一2a=1,心b= -2a<0,∴.abc>0,故①正确.根据b=-2a,可得2a 十b=0,故②正确.，当x=0时，y<0,对称轴为直线 x=1,.当x=2时，y<0,即4a十2b十c<0,故③错 误.抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,∴.am2十 bm十c≥a十b十c,即am2+bm≥a十b,故④错误. 综上所述，其中正确的有2个 7.B【解析】，对称轴为直线x=-1,∴.b=2a..当x =1时，y=a十b十c<0,∴.3a十c<0,故①错误.，抛 物线开口向下，∴.在对称轴的右侧，y随x的增大而减 小.，(-4，y1)关于直线x=-1对称的点为(2，y1),2 <3,∴.y1>y2,故②正确.方程a.x2+bx十c=一1的解 可看作抛物线y=ax2十bx十c与直线y=一1的交 点.由图象可知，抛物线y=ax2十bx十c与直线y= 一1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2十bx十 c=一1有两个不相等的实数根，故③错误.不等式ax 十bx十c>2的解集可看作抛物线y=a.x2+bx十c的 图象在直线y=2上方的部分.，(0,2)关于直线x= -1对称的点为(-2,2)，∴.当a.x2十bx十c>2时，x 的取值范围为一2<x<0,故④正确. 综上，其中正确的个数为2. 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 1.B 2.C【解析】设BC=xm,矩形ABCD的面积为ym2. 由题意，得y=x(16-x)=-x2+16.x=-(.x-8)2十 64,.当x=8时，y取最大值，最大值为64.故矩形 ABCD的最大面积是64m. 变式题115【解析】设AB的长为xm,菜园的面积 为Sm2.由题意，得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+ 450,.当AB=15m时，菜园的面积最大. 变式题2200【解析】设花圃的长为xm,面积为 ym.由题意，得y=2(38+2-x)·x=-2x+ 1 20x=,(x=20)2+200.38十2-无0，.2≤x x≥2， <40,∴.当x=20时，y取最大值，最大值为200. 故花圃的最大面积为200m. 1 3.解：由题意，得S=2x12-x)=-2x+6x=-2（x 一6)2+18，，当x=6cm时，S最大，最大面积是18cm. 4.解：如图，设AC,BD交于点O,四边形公 园的面积为S.S=S△Ar十S△A=2AC ·B0+AC·D0=AC·BD. 1 .AC+BD=160,.AC=160-BD, 六S=7160-BD)·BD=-(BD-160BD) 1 1 (BD-80)2+3200. :-2<0,0<BD<160,当BD=80时，S最大，即 该四边形公园的最大面积为3200m°. 5.C【解析】由图②可知，矩形ABCD的最大面积为 4m°，此时x=2,故A,B选项说法错误； 当x=2时，矩形ABCD的面积取最大值4，∴.AB=4 ÷2=2,.a=(AB+BC)·3=(2+2)×3=12,故C 选项说法正确，D选项说法错误， 4 6.3【解析】设透光面积为ym,AD=xm则AB= 。产商户的透光面积y一，-一 8-3.x 2 4x=- (-)》+ 3/ 8-3x .8 .0<x<8,0< 2 <8,0<x<3 当x=3时y取得最大值， 当AD的长为Sm时，窗户的透光面积最大. 7.解：1：S,=SBG=CG=2BC 设BG=b,则BC=2b. S2=S1,∴.BE·b=x·2b,.BE=2x ..AE=AB+BE=x+2x=3x. 3AD+AE+GH+DF=3AD+3x+2x+3x=12, 5AD128=4-8>0,解得< 3 3 “x的取值范围为0<x<2 8 (2)由(1)知，AD=4-3x,AE=3.x, y=AD·AE=(4-g）·3x=-8r+12x -8(-)+ .9 :-8<0当=子时y有最大值，此时最大值为2， ∴y关于x的表达式为y=一8.x2+12x,面积的最大 9 值为2m 8.解：(1)y=x+4 (2),正方形AEFG和正方形CHMN的面积相等， .AG=MH,∴.2AG=16+x, S=S=(5生)月 又：Sz=(x+4)x,∴.S=Sm+Sz+S两=16×12- (SE方形AE:十SE方形cHN-2S2)=16×12-2(6,x) +2(x+4)x. 上册详解详析