上海市第五十四中学2026-2027学年第一学期期初学情调研高三数学试卷

**基本信息** 高三数学期初调研卷梯度分明，通过圆锥屏蔽罩路径优化、垃圾分类统计等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合、复数、统计（第3题百分位数）、抛物线准线（第4题）、向量投影（第5题）|基础题（如复数运算）与中档题（如双曲线离心率，第10题）结合| |选择题|4题18分|充要条件（第13题）、函数性质（第14题）、新定义“包裹函数”（第16题）|融入逻辑推理（第16题命题真假判断）| |解答题|5题78分|立体几何证明与距离（第17题）、统计应用（第19题垃圾分类频率分布）、函数新定义“美好区间”（第21题）|综合题注重数学建模（第11题圆锥表面路径最小值）与创新探究（第21题）|

( 班级 ___________________ 姓名 ___________________ 学号 ________________________ ………………… … ……………… 密 …………………………………… 封 ……………………………………………… 线 ……………………………………… )五十四中学2026学年度第一学期 期初学情调研 高三数学 试卷 2026年9月 （闭卷120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）． 1. 已知集合，，则________． 2. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 3. 已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第70百分位数是______．9 4. 若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________． 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 6. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则值是________． 7. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则＝_______.－ 8. 在的展开式中，常数项为__________.-252 9.若，则________（用，表示）． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 11.【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得所以， 12. 已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________． 【详解】因为向量的夹角为的单位向量，则 ，所以， 由对任意的，且，， 可得，所以，即， 设，即函数在上单调递减， 又因为时，，解得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 二.（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. “”是“”的（ ）B A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数在定义域R上是（ ）A A. 严格增的奇函数 B. 严格增的偶函数 C. 严格减的奇函数 D. 严格减的偶函数 15. 已知直线与圆相切，则的值（ ）D A. 与有关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与无关，与有关 D. 与无关，与无关 16. 记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ）D A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 16. 【详解】①因为函数包裹函数， 所以， 又因为，所以， 所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确； ②假设，令， 则当时，，与题意中矛盾， 故假设不成立.所以，即， 所以函数包裹函数，故②正确. 三.解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）． 17. （本题满分14分）本大题共2小题，每小题7分. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若，求点D到平面PBC的距离． 17.【小问1详解】 证明：连接BD，如图， ∵底面ABCD为菱形，，则， ∴△BCD为等边三角形， ∵E为BC的中点，∴，∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵平面PAD，∴ED⊥平面PAD； 【小问2详解】 以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ∴，设平面PBC的法向量为， 则，即，令，则，∴，又， ∴点D到平面PBC的距离为：. 18．（本题满分14分）本大题共2小题，每小题7分. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 18. 【小问1详解】 ∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 19. （本题满分14分）本大题共3小题，第1、2小题梅题4分，第3小题6分. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 19. 【小问1详解】 由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以， 又，所以． 因为成绩落在内的频率为， 在内的频率为，所以第90百分位数在内． 设第90百分位数为，则，解得， 所以晋级分数线划为分合理． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以． 剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为， 平均数与标准差分别为， 则剩余8个分数的平均数， 方差． 【小问3详解】 由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为． 所有的抽样情况 ，共21个样本点，“选出的2人来自于不同组”，则 ，共14个样本点， 所以． 20. （本题满分18分）本大题共3小题，第1小题4分；第2小题6分，第3小题8分. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相交于A，B两点，其中A点在第一象限，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C相交于M，N点，的内切圆圆心是I，半径是r． （i）若，求证：圆心I在一条定直线上； （ii）若，求的面积． 20. 【小问1详解】 因为，所以，联立，解得， 所以，解得，则， 故椭圆C方程为． 【小问2详解】 （i）由题意，，设，， 联立椭圆方程，与直线方程， 得，化简得， 所以，， ， ， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 故直线平分，所以圆心在一条定直线上． （ii）如图所示，设，其中是垂足， 因为 ， 所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形是等腰直角三角形， 所以，即，即 ， 解得或，满足， 当时，直线过点，所以只能，此时，点到直线的距离为， ， 故的面积为． 21. （本题满分18分）本大题共3小题，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 21. 【小问1详解】 区间是，区间不是，理由如下：由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间”； 当时，，不是的子集，且， 所以不是的“美好区间”. 【小问2详解】 由题意，，故只能满足性质①， 而，令，得，令，得或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 令或，令或， 由，故取为m的最小值，故． 【小问3详解】 由题意，对于任意，，即，则在R上单调递减，故取，则，由，无法满足性质①，故若存在“美好区间”，只能满足性质②， 因为在R上单调递增且值域为R，故必与有交点，不妨设交点为，则任意区间，使，则，无法满足性质②， 故存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”； 故取区间，使，则， 故此时对于任意，都有，即满足性质②， 故函数存在“美好区间”． 综上所述，函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”. 五十四中学 高三数学试卷 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 班级 ___________________ 姓名 ___________________ 学号 ________________________ ………………… … ……………… 密 …………………………………… 封 ……………………………………………… 线 ……………………………………… )五十四中学2026学年度第一学期 期初学情调研 高三数学 试卷 2026年9月 （闭卷120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）． 1. 已知集合，，则________． 2. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 3. 已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第70百分位数是______． 4. 若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________． 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 6. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则值是________． 7. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则＝_______. 8. 在的展开式中，常数项为__________. 9.若，则________（用，表示）． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 12. 已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________． 二.（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数在定义域R上是（ ） A. 严格增的奇函数 B. 严格增的偶函数 C. 严格减的奇函数 D. 严格减的偶函数 15. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与有关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与无关，与有关 D. 与无关，与无关 16. 记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 三.解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）． 17. （本题满分14分）本大题共2小题，每小题7分. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若，求点D到平面PBC的距离． 18．（本题满分14分）本大题共2小题，每小题7分. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 19. （本题满分14分）本大题共3小题，第1、2小题梅题4分，第3小题6分. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 20. （本题满分18分）本大题共3小题，第1小题4分；第2小题6分，第3小题8分. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相交于A，B两点，其中A点在第一象限，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C相交于M，N点，的内切圆圆心是I，半径是r． （i）若，求证：圆心I在一条定直线上； （ii）若，求的面积． 21. （本题满分18分）本大题共3小题，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 五十四中学 高三数学试卷 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $