第13-14章9月第一次模拟拔尖卷2026—2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦人教版八年级数学三角形与全等三角形内容，通过折叠问题（如第20题）、倍长中线（第21题）等设计，融合基础巩固与能力提升，考查推理能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|三角形三边关系、内角和、全等判定|第5题辨析SSA不能判定全等，强化推理意识| |填空题|6题/24分|等腰三角形分类、角平分线性质|第15题通过角平分线递推，培养抽象能力| |解答题|6题/66分|全等证明、折叠探究、综合应用|第22题结合等腰直角三角形，分层考查建模与创新意识|

2026—2027 学年人教版八年级数学上册 第 13、14 章「三角形 · 全等三角形」第一次模拟拔尖卷 （2026 年 9 月 · 拔尖选拔 · 满分 120 分 · 时间 120 分钟） 班级：＿＿＿ 姓名：＿＿＿ 考号：＿＿＿ 得分：＿＿＿ 【命题范围】本卷对标人教版八年级上册第十三章《三角形》（三角形概念、有关线段、三边关系、内角与外角）与第十四章《全等三角形》（全等性质、SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定、角平分线），不涉及多边形内角和、勾股定理、等边三角形、中位线、轴对称坐标等超纲内容。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 已知 a、b、c 是 △ABC 的三条边长，则化简 |a + b − c| + |a − b − c| 的结果是（ ） A．2a　　B．2b　　C．2c　　D．0 2. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为 30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A．60°　　B．120°　　C．60° 或 120°　　D．30° 或 150° 3. 在 △ABC 中，∠A = 70°，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 I，则 ∠BIC 的度数为（ ） A．110°　　B．125°　　C．130°　　D．140° 4. 如图 1，点 D 在 △ABC 内，连接 BD、CD。若 ∠A = 50°，∠ABD = 20°，∠ACD = 25°，则 ∠BDC 的度数为（ ） A．85°　　B．90°　　C．95°　　D．100° 图 1（第 4 题） 5. 如图 2，已知 ∠ABC = ∠DCB，要使 △ABC ≌ △DCB，下列所添加的条件中，错误的是（ ） A．AB = DC　　B．∠A = ∠D　　C．∠ACB = ∠DBC　　D．AC = DB 图 2（第 5 题） 6. 如图 3，在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。若 CD = 3，AB = 10，则 △ABD 的面积为（ ） A．12　　B．15　　C．20　　D．30 图 3（第 6 题） 7. 如图 4，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 A′ 处。若 ∠A = 30°，则折痕处所成的两个角 ∠BDA′ + ∠CEA′ 等于（ ） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75° 图 4（第 7 题） 8. 一个三角形的三边长分别为 2、9 和 a，若它的周长是奇数，则满足条件的 a 的取值有（ ） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 9. 已知 △ABC ≌ △DEF，AB 与 DE 对应、AC 与 DF 对应。若 AB = 6，BC = 8，△ABC 的周长为 21，则 DF 的长为（ ） A．6　　B．7　　C．8　　D．21 10. 在三角形内部，到三条边距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条中线的交点　　B．三条高的交点　　C．三条垂直平分线的交点　　D．三条角平分线的交点 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. 一个等腰三角形的一个外角等于 100°，则它的顶角等于 ＿＿＿＿＿＿。 12. 一个三角形的三边长是三个连续整数，且它的周长不超过 20，则这个三角形周长的最大值是 ＿＿＿＿＿＿。 13. 如图 5，在 △ABC 中，AB = 10、BC = 12、CA = 8，三条角平分线交于点 P，点 P 到各边的距离都等于 3，则 △ABC 的面积为 ＿＿＿＿＿＿。 图 5（第 13 题） 14. 在 △ABC 中，若 ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 1 ∶ 2 ∶ 3，则它的最大外角等于 ＿＿＿＿＿＿。 15. 如图 6，在 △ABC 中，∠A = α。作 ∠ABC 的平分线与外角 ∠ACD 的平分线交于点 A₁；再作 ∠A₁BC 的平分线与外角 ∠A₁CD 的平分线交于点 A₂……如此继续，则 ∠Aₙ = ＿＿＿＿＿＿（用含 α、n 的式子表示）。 图 6（第 15 题） 16. 一个等腰三角形一腰上的高等于这条腰的一半，则它的顶角等于 ＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（共 66 分） 17.（8 分）如图 7，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 MN ∥ BC，分别交 AB、AC 于点 M、N。求证：MN = MB + NC。 图 7（第 17 题） 18.（10 分）如图 8，点 A 为公共顶点，已知 AB = AC，AD = AE，且 ∠BAC = ∠DAE，连接 BD、CE。求证：BD = CE。 图 8（第 18 题） 19.（10 分）如图 9，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，过点 A 的一条直线记为 DE，BD ⊥ DE 于点 D，CE ⊥ DE 于点 E。求证：DE = BD + CE。 图 9（第 19 题） 20.（12 分）把一张三角形纸片 ABC 沿折痕 DE 折叠，使顶点 A 落在点 A′ 处（折痕两端点 D、E 分别在边 AB、AC 上），记折痕两侧所成的两个角为 ∠1 = ∠BDA′、∠2 = ∠CEA′。 　　（1）如图 10，当点 A′ 落在四边形 BCED 内部时，探究 ∠A 与 ∠1 + ∠2 的数量关系，并说明理由； 　　（2）当点 A′ 恰好落在 BC 边上时，直接写出 ∠1 + ∠2 与 ∠A 的关系； 　　（3）当点 A′ 落在四边形 BCED 外部（BC 下方）时，直接写出 ∠1、∠2 与 ∠A 的关系。 图 10（第 20 题） 21.（12 分）如图 11，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。求证：AB + AC > 2AD。（提示：延长 AD 到点 E，使 DE = AD，连接 BE，即"倍长中线"。） 图 11（第 21 题） 22.（14 分）如图 12，在等腰 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为腰作等腰 △ADE，使 AD = AE，且 ∠DAE = ∠BAC，连接 CE。 　　（1）求证：BD = CE； 　　（2）当 ∠BAC = 90° 时，判断 CE 与 BD 所在直线的位置关系，并说明理由； 　　（3）在（2）的条件下，设 BC = 4，求 △ABC 面积的值。 图 12（第 22 题） 参考答案与解析 一、选择题 1.B　2.C　3.B　4.C　5.D　6.B　7.C　8.B　9.B　10.D 1.B【解析】由三边关系 a + b > c，故 a + b − c > 0；又 a < b + c，故 a − b − c < 0，|a − b − c| = b + c − a。原式 = (a + b − c) + (b + c − a) = 2b，选 B。 2.C【解析】高在三角形内部时顶角 = 90° − 30° = 60°；高在外部（顶角钝角）时顶角 = 90° + 30° = 120°，故选 C。 3.B【解析】两内角平分线夹角 ∠BIC = 90° + ½∠A = 90° + 35° = 125°。 4.C【解析】飞镖模型：∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD = 50° + 20° + 25° = 95°。 5.D【解析】AB = DC 为 SAS，∠A = ∠D 为 AAS，∠ACB = ∠DBC 为 ASA，均能判定；AC = DB 构成边边角，不能判定，选 D。 6.B【解析】角平分线上的点到两边距离相等，故 D 到 AB 距离 = DC = 3。S△ABD = ½ × 10 × 3 = 15。 7.C【解析】折叠保持角不变，∠BDA′ + ∠CEA′ = 2∠A = 60°。 8.B【解析】7 < a < 11，a = 8、9、10；周长 11 + a 为奇数须 a 为偶数，a = 8 或 10，共 2 个。 9.B【解析】AC = 21 − 6 − 8 = 7，DF 与 AC 对应，DF = 7。 10.D【解析】三条角平分线的交点到三边距离相等。 二、填空题 11. 80° 或 20°【解析】外角为顶角外角时顶角 = 80°；为底角外角时底角 = 80°，顶角 = 180° − 2×80° = 20°。 12. 18【解析】设三边 x−1、x、x+1，3x ≤ 20，取 x = 6，周长最大 5+6+7 = 18。 13. 45【解析】S = × 3 ×（AB+BC+CA）= × 3 × 30 = 45。 14. 150°【解析】三角为 30°、60°、90°，最大外角对应最小内角，180° − 30° = 150°。 15. α ÷ 2ⁿ【解析】内、外角平分线夹角等于第三个内角的一半，∠A₁ = ½α，递推得 ∠Aₙ = α ÷ 2ⁿ。 16. 30° 或 150°【解析】腰上高 h 与腰 l 满足 h = ½l，含高直角三角形中该锐角为 30°，顶角为 30°（锐角）或 150°（钝角）。 三、解答题 17.（8 分）∵ BO 平分 ∠ABC，∴ ∠MBO = ∠OBC。∵ MN ∥ BC，∴ ∠MOB = ∠OBC = ∠MBO，∴ MB = MO；同理 NC = NO。∴ MN = MO + ON = MB + NC。 18.（10 分）∵ ∠BAC = ∠DAE，∴ ∠BAC − ∠DAC = ∠DAE − ∠DAC，即 ∠BAD = ∠CAE。又 AB = AC，AD = AE，∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），∴ BD = CE。 19.（10 分）∵ ∠BAC = 90°，∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°；又 BD ⊥ DE，∠BAD + ∠ABD = 90°，∴ ∠ABD = ∠CAE。又 ∠BDA = ∠AEC = 90°，AB = CA，∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），∴ BD = AE，AD = CE。∴ DE = AD + AE = BD + CE。 20.（12 分）（1）∠1 + ∠2 = 2∠A。由折叠知 △ADE ≌ △A′DE，∠A′ = ∠A。在飞镖形 ADA′ 中，∠1 + ∠2 = ∠A + ∠A′ = 2∠A。 　　　（2）∠1 + ∠2 = 2∠A。（3）∠2 − ∠1 = 2∠A。 21.（12 分）延长 AD 到 E 使 DE = AD，连 BE。∵ BD = DC，∠BDE = ∠CDA，DE = DA，∴ △BDE ≌ △CDA（SAS），∴ BE = CA。在 △ABE 中 AB + BE > AE，即 AB + AC > 2AD。 22.（14 分）（1）∵ ∠DAE = ∠BAC，∴ ∠BAD = ∠CAE。又 AB = AC，AD = AE，∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），∴ BD = CE。 　　　（2）CE ⊥ BC。由（1）∠ACE = ∠B；∠BAC = 90°、AB = AC 得 ∠B = ∠ACB = 45°，∠BCE = ∠BCA + ∠ACE = 45° + 45° = 90°，故 CE ⊥ BC。 　　　（3）∠BAC = 90°、AB = AC、BC = 4，则斜边上的高 = × BC = 2，S△ABC = × BC × 高 = × 4 × 2 = 4。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $