14.3 角的平分线 同步练习 2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学第十四章14.3角的平分线同步练，通过三级难度分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（★☆☆）|角平分线性质/判定定理、尺规作图依据|选择填空为主，直接考查定义，如性质定理选择题，夯实抽象能力| |巩固层（★☆☆）|三角形面积计算、外角平分线应用|结合图形计算与简单证明，如面积公式结合角平分线求边长，发展推理意识| |拓展层（★★★）|直角三角形、动点问题、全等综合|通过动点最小值、多步证明题，如Rt△中三线距离关系，培养创新意识|

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 难度：★☆☆ 1. 角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互补 D. 互余 2. 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC。 若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则下列关系正确的是（ ） A. S₁ + S₂ = S₃ B. S₁ + S₂ > S₃ C. S₁ + S₂ < S₃ D. S₁ + S₂ = 2S₃ 3. 到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 用尺规作一个角的平分线，其依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC = 32，DE = 4，BC = 8，则AC的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 角的内部到角的两边的距离相等的点，在______。 7. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，O为△ABC各内角平分线的交点，过点O作AB的垂线，垂足为H。若BC = 8，AC = 15，AB = 17，则OH的长为______。 8. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在______。 9. 用尺规作∠AOB的平分线时，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。此作法的依据是______。 10. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线。若CD = 4，则点D到边AB的距离为______。 难度：★★☆ 11. 如图，D是∠ABC平分线上的一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，连接EF，交BD于点O。已知∠EDF = 110°，则∠DEF的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 12. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AC于点E，且DE=3，则△ABC的面积为______。 13. 如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD + ∠ABD = 180°，试说明：CD = BD。 14. 如图，在△ABC中，与∠ABC和∠ACB共顶点的外角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC于点E。若△ABC的面积为12，△BPC的面积为12，PE=4，求△ABC的周长。 15. 如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=12，求点P到BC的距离。 16. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D。若OD=2，△ABC的面积是50，求△ABC的周长。 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF。 求证：CF=EB。 难度：★★★ 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 6，BC = 8，AC = 10。∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D。过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DG⊥AC于点G。 （1）求证：DE = DF = DG； （2）求DE的长。 19. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC。若M、N分别是BD、BC上的动点，求CM+MN的最小值。 20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。若∠ABC = 60°，DE = 3。 （1）求DF的长； （2）求∠EDF的度数。 21. 如图，在△ACB和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，AD，BE交于点H，连接CH。 （1）求证：△ACD ≌ △BCE； （2）求证：HC平分∠AHE。 22. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上一个点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F。 (1) 求证：点D到PE和PF的距离相等； (2) 若AB:AC=4:3，且△ADB的面积是20，求△ADC的面积。 参考答案 1. A 解析：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. B 解析： ∵ O是△ABC三条角平分线的交点， ∴ O是△ABC的内心，点O到三角形三边的距离相等。 设这个距离为 r（即内切圆半径），则： S₁ = S△OAB = · AB · r S₂ = S△OAC = · AC · r S₃ = S△OBC = · BC · r ∴ S₁ + S₂ = · r · (AB + AC) 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，即 AB + AC > BC。 ∴ · r · (AB + AC) > · r · BC 即 S₁ + S₂ > S₃。 3. C 解析：三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。 4. A 解析：利用“SSS”构造全等三角形，从而得到角相等。 5. C 解析： ∵ CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E， ∴ 点D到BC的距离为DE = 4。 ∵ CD是∠ACB的平分线， ∴ 点D到AC的距离等于点D到BC的距离，也等于4。 ∴ S△ACD = × AC × 4 = 2AC。 又∵ S△BCD = × BC × DE = × 8 × 4 = 16， 且 S△ABC = S△ACD + S△BCD = 32， ∴ 2AC + 16 = 32， ∴ 2AC = 16， ∴ AC = 8。 6. 这个角的平分线上 解析：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 7. 3 解析： ∵ O是△ABC各内角平分线的交点， ∴ 点O到三边的距离相等，都等于OH的长。 设这个距离为 r，则 OH = r。 连接OA、OB、OC。 ∵ S△ABC = S△ABO + S△BCO + S△CAO ∴ S△ABC =· AB · r + · BC · r + · AC · r = · r · (AB + BC + AC) ∵ ∠ACB = 90°，BC = 8，AC = 15， ∴ S△ABC = × 8 × 15 = 60。 又 ∵ AB + BC + AC = 17 + 8 + 15 = 40， ∴ 60 =· r · 40 60 = 20r r = 3。 ∴ OH = 3。 8. 这个角的平分线上 9. SSS 解析：连接CM、CN，可证△OMC≌△ONC（SSS），得到∠MOC=∠NOC。 10.∵ ∠C = 90°， ∴ DC⊥AC，即点D到AC的距离为CD = 4。 ∵ AD平分∠BAC， ∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴ 点D到AB的距离 = 点D到AC的距离 = CD = 4。 11. B 解析：∵ D在∠ABC的平分线上，且DE⊥BC，DF⊥AB， ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ △DEF是等腰三角形， ∴ ∠DEF = ∠DFE。 又∵ ∠EDF = 110°， ∴ ∠DEF = (180° − 110°) ÷ 2 = 35°。 12. 21 解析：过点D作DF⊥AB于点F。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴ DF = DE = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ S△ABC = S△ABD + S△ACD = × AB × DF + × AC × DE = × 8 × 3 + × 6 × 3 = 12 + 9 = 21。 13. 证明：过点D作DM⊥AE于点M，作DN⊥AF于点N。 ∵ AD平分∠EAF，且DM⊥AE，DN⊥AF， ∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ ∠ACD + ∠ABD = 180°， 又 ∵ ∠ACD + ∠MCD = 180°（邻补角定义），∠ABD + ∠NBD = 180°（邻补角定义）， ∴ ∠MCD = ∠NBD。 在Rt△MCD和Rt△NBD中： ∠CMD = ∠BND = 90°， ∠MCD = ∠NBD（已证）， DM = DN（已证）， ∴ Rt△MCD ≌ Rt△NBD（AAS）。 ∴ CD = BD（全等三角形的对应边相等）。 14. ∵ BP是∠ABC的外角平分线，CP是∠ACB的外角平分线， ∴ 点P到AB、BC的距离相等，点P到AC、BC的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ 点P到AB、BC、AC三边的距离都相等，都等于PE=4。 ∴ S△BPC = × BC × 4 = 12， ∴ BC = 6。 又 ∵ S△ABP = × AB × 4 = 2AB， S△ACP = × AC × 4 = 2AC， 且四边形ABPC的面积 = S△ABC + S△BPC = 12 + 12 = 24， 也等于 S△ABP + S△ACP = 2AB + 2AC = 2(AB + AC)， ∴ 2(AB + AC) = 24， ∴ AB + AC = 12。 ∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 12 + 6 = 18。 15. 过点P作PE⊥BC于点E。 ∵ AB // CD，AD⊥AB， ∴ AD⊥CD。 ∴ AD是平行线AB与CD之间的距离。 ∵ BP平分∠ABC，且点P在AD上， ∴ 点P到AB的距离（即PA）等于点P到BC的距离（即PE）。 同理，∵ CP平分∠DCB， ∴ 点P到CD的距离（即PD）等于点P到BC的距离（即PE）。 ∴ PA = PE = PD。 ∵ AD = PA + PD = 2PE， ∴ PE = AD。 已知 AD = 12， ∴ PE = × 12 = 6。 即点P到BC的距离为6。 16. 解： ∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，OD⊥BC， ∴ 点O是△ABC的内心，它到三边的距离相等，都等于OD=2。 设△ABC的周长为C，则 S△ABC = × C × OD 50 = × C × 2 50 = C ∴ C = 50。 17. 证明：CF = EB ∵ AD平分∠BAC，∠C = 90°（即DC⊥AC），且DE⊥AB于点E， ∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△DCF和Rt△DEB中： DF = DB（已知）， DC = DE（已证）， ∠DCF = ∠DEB = 90°， ∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL）。 ∴ CF = EB（全等三角形的对应边相等）。 18. （1）证明： ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DG⊥AC， ∴ DE = DG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC， ∴ DF = DG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴ DE = DF = DG。 （2）解： 连接AD、BD、CD。 ∵ DE = DF = DG，设 DE = DF = DG = r。 ∵ S△ABC = S△ABD + S△BCD + S△ACD ∴ S△ABC = · AB · DE + · BC · DF + · AC · DG = · r · (AB + BC + AC) = · r · (6 + 8 + 10) = 12r 又 ∵ ∠ABC = 90°，AB = 6，BC = 8， ∴ S△ABC = × 6 × 8 = 24。 ∴ 12r = 24， ∴ r = 2。 19. 如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC，垂足为点N'。 ∵ BD平分∠ABC， ∴ M'N' = M'E， ∴ CM' + M'N' = CE， ∴ 当点M与点M'重合时，CM + MN的值最小，等于CE的长。 ∵ AB = 4，△ABC的面积为8， ∴ S△ABC = · AB · CE = × 4CE = 8， ∴ CE = 4， ∴ CM + MN的最小值为4， 20. （1）∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ DE = 3， ∴ DF = 3。 （2）在四边形BEDF中： ∵ DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ ∠BED = ∠BFD = 90°。 ∵ ∠ABC = 60°， ∴ ∠EDF = 360° − ∠BED − ∠BFD − ∠ABC = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°。 21. （1）证明： ∵ ∠ACB = ∠DCE， ∴ ∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD， 即 ∠ACD = ∠BCE。 在△ACD和△BCE中： ∵ CA = CB（已知）， ∠ACD = ∠BCE（已证）， CD = CE（已知）， ∴ △ACD ≌ △BCE（SAS）。 （2）证明：过点C作CM⊥AD于点M，作CN⊥BE于点N。 由（1）知 △ACD ≌ △BCE， ∴ AD = BE，且 S△ACD = S△BCE。 ∵ S△ACD = × AD × CM，S△BCE = × BE × CN， 且 AD = BE，S△ACD = S△BCE， ∴ CM = CN。 ∵ CM⊥AD，CN⊥BE， ∴ 点C到∠AHE两边的距离相等， ∴ 点C在∠AHE的平分线上（角平分线的判定）， ∴ HC平分∠AHE。 22. （1）证明： ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD = ∠CAD。 ∵ PE∥AB， ∴ ∠EPD = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）。 ∵ PF∥AC， ∴ ∠DPF = ∠CAD（两直线平行，内错角相等）。 ∴ ∠EPD = ∠DPF，即PD平分∠EPF。 又∵ 点D在∠EPF的平分线上， ∴ 根据角平分线的性质，点D到PE和PF的距离相等。 （2）解：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N。 ∵ AD是∠BAC的角平分线， ∴ 点D到AB和AC的距离相等，即 DM = DN。 ∵ S△ADB =× AB × DM = 20， S△ADC = × AC × DN， ∴ S△ADB : S△ADC = ( × AB × DM) : (× AC × DN) = AB : AC（因为DM=DN）。 ∵ AB : AC = 4 : 3， ∴ S△ADB : S△ADC = 4 : 3。 又∵ S△ADB = 20， ∴ 20 : S△ADC = 4 : 3， ∴ 4 × S△ADC = 20 × 3 = 60， ∴ S△ADC = 15。 学科网（北京）股份有限公司 $