27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数在实际问题中的应用，通过“温故知新”复习反比例函数图像、性质及自变量取值范围，结合“探究引入”中路程、工作总量等生活实例，搭建从旧知到建立函数模型的学习支架。 其亮点在于以“三会”核心素养为导向，通过起重机装卸、撬棍杠杆等实例，引导学生用数学眼光抽象反比例函数模型，用数学思维分析增减性解决“至少”“不超过”问题，用数学语言规范表达解析式及取值范围。方法归纳和课堂小结填空式设计，帮助学生形成解决问题的结构化思路，也为教师提供可操作的教学流程。

27.3 实际问题与反比例函数 （第 1 课时 · 反比例函数在实际问题中的应用） 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 会用数学的眼光观察现实世界：能从“卸货、撬石、漏斗、购车”等实际情境中，敏 锐发现两个变量乘积一定的等量关系，抽象出反比例函数模型 （k＞0）。 2. 会用数学的思维思考现实世界：能求出常数 k，利用反比例函数的增减性合情推理 ，分析并说明“动力臂越长越省力”“卸载时间越短速度越大”等规律。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能正确写出反比例函数解析式、确定自变量的实际 取值范围，并用解析式、图象和文字解释“至少”“不超过”类决策问题的结果。 学习重难点 重难点 重点　把实际问题转化为反比例函数模型，并运用其性质求解。 难点　从实际情境中抽象出等量关系，并结合实际意义确定自变量的取值范围。 学法　“实际问题 → 找等量关系 → 建函数模型 → 用性质求解”，体会模型观念与应用意识。 一、温故知新（3分钟） 复习 【复习提问】 1. 反比例函数 （k≠0）的图象，当 k＞0 时位于哪些象限？在每个象限内 y 随 x 如何变化？当 k＜0 时呢？ 2. 反比例函数中自变量 x 的取值范围是什么？在实际问题中，自变量的取值还要注意 什么？ 3. 长方形的面积 S 一定时，长 a 与宽 b 之间有什么关系？为什么？ 答：1. 图象是双曲线；k＞0 时两支位于第一、三象限，每个象限内 y 随 x 增大而减小；k＜0 时两支位于第二、四象限，每个象限内 y 随 x 增大而增大。 2. x≠0；实际问题中取值既要使式子有意义，又要符合实际意义（时间、长度取正值，有时有上限或下限）。 3. ab＝S（定值），a 与 b 成反比例关系（b＞0）。 二、探究引入（2分钟） 情境 问题：生活中有许多两个量乘积为定值的例子（如路程一定时速度与时间）。你能举出一个这样的例子吗？两个量的乘积一定时，它们之间是什么关系？ 思考：“路程一定”“工作总量一定”“体积一定”……这些情境都能用反比例函数来刻画。本节课就从实际问题出发建立反比例函数模型。 例：路程 100 km 一定时，速度 v 与时间 t 的乘积为定值；工作总量一定时，效率与工作时间等。 结论：两个量的乘积一定时，它们成反比例关系，可用反比例函数刻画。 三、新课探究 · 例1（课本 P74） 例题 例1　港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。 （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 三、新课探究 · 例1 解答 解答 分析：“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，先求货 物总量；再由“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”得 v 关于 t 的解析式。 （1）货物总量为 700×9＝6 300（t）， 　　　∴ v 关于 t 的解析式为 （t＞0）。 （2）把 t＝6 代入，得 ＝1 050（t/h）。 　　对于函数 ，当 t＞0 时，t 越小 v 越大； 　　故若货物不超过 6 h 卸载完，平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物。 三、新课探究 · 例2（课本 P75） 例题 例2　某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为 1 200 N，阻力臂为 0.5 m。 （1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 　　（提示：杠杆原理——阻力×阻力臂＝动力×动力臂） 三、新课探究 · 例2 解答 解答 解：由杠杆原理 Fl＝1200×0.5， 　　　∴ F 关于 l 的解析式为 （l＞0）。 （1）当 l＝1.5 m 时， ＝400（N）。 （2） ，代入 得 ⇒ l≥3（m）。 　　动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5（m）。 答：撬动石头至少需要 400 N 的力。 三、新课探究 · 点拨 点拨 问：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 答：由 （l＞0）可知，F 随 l 的增大而减小， 动力臂 l 越长，所需动力 F 越小，即越省力。这正是反比例函数增减性的实际应用。 三、新课探究 · 方法归纳 方法 【方法归纳】（填一填） ① 找等量关系：两个量的＿＿一定； ② 写出反比例函数解析式，并确定自变量的＿＿范围； ③ 利用函数的＿＿性，求“至少 / 不超过”类问题的解。 ① 乘积； ② 实际取值（既使式子有意义，又符合实际意义）； ③ 增减。 四、课堂练习 · 练习1（P76） 练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm³（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。 （1）漏斗口的面积 S（单位：cm²）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过 50 cm²，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 解：由 S≤50，得 ，即 h≥360÷50＝7.2。 　　所以漏斗的深 h 至少为 7.2 cm。 解：由圆锥的体积公式 ＝120， 　　得 Sh＝360，所以 S 关于 h 的解析式为 （h＞0）。 四、课堂练习 · 练习2（P76） 练习 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款购车活动。客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可。小张购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元。他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元。 （1）y 与 x 有怎样的函数关系？ （2）如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 四、课堂练习 · 练习2 解答 解答 ＝0.6（万元），即平均每月应还款 0.6 万元。 （2）当 x＝20 时， （3）5 000 元＝0.5 万元。由 得 ⇒ x≥12÷0.5＝24。 　　又 x≤36，所以至少要 24 个月才能结清余款。 解：(1) 余款为 18－6＝12（万元）， 　　　∴ y 关于 x 的解析式为 （0＜x≤36，x 为整数）。 四、课堂练习 · 补充填空 练习 填空：甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，行驶的时间 t（单位：h）与平均速度 v（单位：km/h）之间的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿；当平均速度为 60 km/h 时，行驶的时间为＿＿＿＿h。 函数关系式： （v＞0）； 当 v＝60 km/h 时，t＝120÷60＝2（h）。 五、课堂小结 总结 【填一填】本节课你学到了什么？ （1）解决实际问题时，先审题，找出题目中的＿＿＿关系，再把实际问题转化为＿＿＿＿函数模型； （2）函数关系式中自变量的取值范围，既要使式子有意义，又要符合＿＿＿＿意义； （3）求“至少”“不超过”一类的问题，常利用反比例函数的＿＿＿＿性进行分析。 （1）等量（乘积一定）；反比例； （2）实际； （3）增减。 六、作业布置（分层） 作业 【必做题】课本习题 27.3 第 1、2 题——建立反比例函数模型并求解。 【选做题】已知某个电阻两端电压为 6 V，通过电阻的电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）成反比例关系。 　　　（1）写出 I 与 R 的函数关系式； 　　　（2）若限制电流不超过 0.5 A，则接入电路的电阻 R 至少应为多少？ 【实践探究】用一根长 24 cm 的铁丝围成一个矩形，当一边长 x 为多少时面积最大？面积一定时，相邻两边长之间是什么函数关系？ 下课啦！ 谢谢观看 · 同学们再见 学而时习之，不亦说乎 —— 课后记得复习巩固哦 $