27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用反比例函数解决实际问题”，通过港口起重机装卸货物的生活实例导入，结合知识回顾中反比例函数的图象、增减性等性质，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于从生活实际（如港口卸货、杠杆撬石头）抽象函数模型培养数学眼光，通过归纳解题步骤和性质应用发展运算能力与推理意识，设置跨学科案例和中考题强化模型观念，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 利用反比例关系解决简单实际问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用反比例函数的性质解决“至少”问题 8. 对接中考 1. 能从实际问题中抽象出反比例函数模型，综合函数的概念和性质分析问题、解决问题，发展运算能力、推理能力、几何直观. 2. 在解决实际问题的过程中，能够运用多领域知识，选择合适的方法解决问题，提高应用意识和模型观念. 学习目标 知识回顾 反比例函数 y=(k≠0) y=(k≠0) k>0 k<0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 新课导入 思考 平时在港口见过起重机装货卸货，假设一艘轮船上装了一堆货物，总量是固定的，那如果我们想快点把货卸完，是让起重机每小时多卸一点，还是少卸一点？ 当货物总量不变时，卸得越快，用的时间就越短，卸得越慢，用的时间就越长. 像这种 “总量固定，一个量变大，另一个量反而变小” 的关系，其实就是我们学过的反比例关系！ 今天我们就一起来看看，怎么用反比例函数，解决港口装卸、杠杆撬石头这些生活里的实际问题！ 多卸一点. 新课讲解 知识点1 利用反比例关系解决简单实际问题 1. 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度  (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间  (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕.那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9=6 300 (t)，所以 v 关于 t 的函数解析式为 例 (2) 把 t=6 代入，得 1 050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数，当t >0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物. 新课讲解 归纳 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系. 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数. 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. 解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性. 实际问题 建立反比例函数模型求解 实际问题的解 自变量的取值范围一般有两个方面的限制： 一是解析式本身的限制， 二是实际问题的具体要求. 新课讲解 例 2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解：(1) 根据圆柱体的体积公式，得Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为. (2) 把 S = 500 代入S=，得500=，解得d = 20 (m). 答：施工时应向地下掘进 20 m 深. (3) 根据题意，把 d =15 代入S= ，得S=，解得S≈666.67 (m²). 答：当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 新课讲解 练一练 1. 一个水池装水，如果从水管中每小时流出的水，经过 可以把水放完，那么与 的函数关系式是 ( ) C A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30 个，那么12 h可以完成. (1)设每小时加工x个零件，所需时间为y h，写出y关于x的函数解析式； (2)若要在一个工作日(8 h)内完成，则每小时至少要比原来多加工几个零件？ 解：(1)由题意得xy=30×12=360，所以y 关于x 的函数解析式为y= (x>0). (2)当y=8 时，8= ，解得x=45.45-30=15(个). 对于函数y= ，当x>0 时，x 越大，y 越小. 所以若要在一个工作日(8 h)内完成，则每小时至少要比原来多加工15零件. 新课讲解 知识点2 利用反比例函数的性质解决“至少”问题 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）. 新课讲解 例 3. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解： (1) 根据“杠杆原理”，得 1 200×0.5.所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l=1.5 m 时，400 (N). 对于函数 ，当 l=1.5 m 时，F=400 N，此时杠杆平衡. ∴ 撬动石头至少需要 400 N 的力. (2) 对于函数 F，当 l >0 时，F 随 l 的增大而减小. ∴ 只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F200 代入 ，得 200 ∴ l3(m). ∴ 若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m， 则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 新课讲解 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力， 这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 思考 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 新课讲解 例 4. 一项工程中，某工程队工人每天需要挖掘20 t土的深沟，整个工程完成恰好用了6 天． (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，求在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：t/ 天)与回填天数t之间的函数解析式. (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4 天完成，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 解：(1) 根据题意可知，工程结束后，工程队共挖掘出20×6=120(t)土 ∴v=. ∴平均回填速度v(单位：t/天)与回填天数t之间的函数解析式为v=. (2) ∵ v=，∴ t=. 由题意知120v≤4，∴ v≥30. ∴平均每天至少要回填30 t土. 新课讲解 练一练 1. 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 解： (1) 设轮船上的货物总量为 k 吨，根据题意得，k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为v=. (2) 把 t =5 代入v=，得v==48(吨/天). 对于函数v=240/𝑡，当t＞0时，t越小，v越大， 这样货物不超过5天卸载完，则平均每天至少卸载48吨. 新课讲解 练一练 2. A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． (1) 写出v关于t的函数解析式. (2) 若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？ 解：(1) v关于t的函数解析式为v=. (2) 把v=80代入v=，得80=，解得t=5. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A地匀速行驶到B地至少要5 h. 新课讲解 练一练 2. A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． (1) 写出v关于t的函数解析式. (3) 若此人上午7点开车从A 地出发，他能否在上午10点40分之前到达B 地？请说明理由． v关于t的函数解析式为v= 解：(3) 把v=100代入v=，得100=，解得t=4. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴速度不超过100 km/h的条件下，此人从A地出发至少用4 h才能到达B地. 又∵从上午7点到上午10点40分，间隔3 h，3 h＜4 h， ∴他不能在上午10点40分之前到达B地． 课堂小结 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 1. 某段公路全长 ，一辆汽车要行驶完这段公路，则所行速度和时间之间的函数关系为 ____.若限定汽车行驶速度不超过，则所用时间至少要____ . 当堂小练 2.5 当堂小练 2. 社团活动中，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为 单位： 的液体中，浸在液体中的高度单位：与液体的密度 的关系式为 ，橘子汁的密度是水的密度的 倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多．则水的密度为___． 解：设密度计悬浮在水中的高度为 ，则悬浮在橘子汁中的高度为 . 橘子汁的密度是水的密度的 倍， ， 解得，经检验， 是原分式方程的解, 水的密度为 . 1 当堂小练 解：(1) 圆锥的容积（体积）公式为 V. 将 V=120 代入，得 120Sh，整理，得 S . (2) 漏斗口的面积不超过 50 ，即 0<S≤50. 将 S=50 代入 ，得 50，解得 h=7.2. 因为 h>0 时，S 随 h 的增大而减小， 所以 0< S ≤50 时，h ≥7.2, 故漏斗的深 h 至少为 7.2 cm. 3. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积 S（单位：）与漏斗的深 h（单位：）有怎样的函数关系？ (2) 如果漏斗口的面积不超过 ，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 当堂小练 4. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元.他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元. (1) y 与 x 有怎样的函数关系？ (2) 如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3) 如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解： (1) 余款为 18-6=12（万元），函数关系为 y（1≤x≤36，x 为正整数）. (2) 当 x20 时，y，所以他平均每月应还款  万元. (3) 5 000 元 0.5 万元. 将 y=0.5 代入 ，得 x=24. 因为 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，所以 0<y≤0.5 时，x≥24. 因此，他至少要 24 个月才能结清余款. 5.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y(N)是关于x(cm)(弹簧秤与中点O的距离)的反比例函数．已知当 x=20 cm时，y=30 N． (1) 求y关于x的函数解析式； (2) 移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态， 求弹簧秤的示数y的最小值； 当堂小练 解： (1) 设 y 关于 x 的函数解析式为 （k为常数，且 k≠0）， 将 x=20，y=30 代入 ，得 30，解得 k=600， ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y. (2) ∵100÷2=50（cm），∴ 0＜x≤50. 对于函数 y， 当0＜x≤50时，y随x的增大而减小， ∴当 x=50 时， y的值最小， 12(N). 答：弹簧秤的示数 y 的最小值为 12 N. 5.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y(N)是关于x(cm)(弹簧秤与中点O的距离)的反比例函数．已知当 x=20 cm时，y=30 N． (1) 求y关于x的函数解析式； (2) 若弹簧秤的最大量程是100 N，求x 的取值范围． 当堂小练 y 关于 x 的函数解析式为 y. 解：(3) 把y=100代入 y，得100=，解得 x=6. ∵x＞0时，y随x的增大而减小，且弹簧秤的最大量程是100 N，即y≤100， ∴x≥6. 又∵ 0<x≤50，∴ 6≤x≤50. 当堂小练 销售价格x/(元/ 双) 250 300 销售数量y/双 24 20 (1) 求出符合表格数据的解析式. (2) 若商场计划每天的销售利润为2 400 元，则销售价格应定为每双多少元？ 解：(1) ∵x和y成反比例，250×24=6 000，300×20=6 000，∴xy=6 000.∴y关于x的函数解析式是. (2) 根据题意，得(x-120)· =2 400，解得x=200. 经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意. ∴销售价格应定为每双200元. 6. 某商场销售一批运动鞋，每双进价为120 元.当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，且二者满足反比例关系，部分数据如下表： 对接中考 1. 如图是一根质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂. 在中点的左侧与中点 的距离为处挂一个重的物体，同时在中点 的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理（阻力×阻力臂 动力×动力臂），当挂弹簧秤处距离中点 时，弹簧秤的读数应为 ( ) B A. B. C. D. 对接中考 D A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 2. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力 的反比例函数．已知当张力时，频率 即达到标准音高．若要使频率升高到 即达到标准音高 ，应该如何调整张力？ ( ) 拓展与延伸 1. 变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速 后齿轮齿数×后齿轮转速.若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为，其转速为 转/分钟，下列说法错误的是 ( ) A. 当时， B. 当时， C. 要增大，应增大 D. 若增大一倍，则 减小一半 C 拓展与延伸 桌面所受压强 200 400 500 1000 受力面积 0.5 0.25 0.1 2. 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： (1) 根据表中数据，求出桌面所受压强关于受力面积的函数解析式及 的值. 解： ， 桌面所受压强是受力面积的反比例函数. 设，将 代入，得 ， ， 当时，， . 拓展与延伸 2. 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： (2) 将另一长、宽、高分别为，， 且与原长方体相同质量的长方体按图②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由. 解：这种摆放方式不安全.理由： 题图②中长方体的受力面积 ， 此时 . ， 这种摆放方式不安全. $