27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）+教案+2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与反比例函数”，通过“温故知新”回顾反比例函数图象性质及自变量取值范围，结合长方形面积一定时长宽关系，再以“探究引入”联系生活实例，搭建旧知到新知的学习支架。 此设计以核心素养为导向，通过港口卸货、撬石等情境培养数学眼光，借助杠杆原理分析发展推理能力，用解析式和文字解释决策问题强化数学语言。采用引导发现与讲练结合，实例丰富，助学生建立模型观念，也为教师提供清晰教学路径。

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）教案 课型：新授课 课时：1课时 授课年级：九年级 一、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：能从“卸货、撬石、漏斗、购车”等实际情境中，敏锐发现两个变量乘积一定的等量关系，抽象出反比例函数模型 y＝k/x（k＞0），体会函数是刻画现实世界变量相依关系的有力工具。 2. 会用数学的思维思考现实世界：能围绕“总量一定”的核心，通过运算求出常数 k，并利用反比例函数的增减性合情推理，分析并说明“动力臂越长越省力”“卸载时间越短速度越大”等规律，发展推理能力。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能正确写出反比例函数解析式、确定自变量的实际取值范围，并用解析式、图象和文字解释“至少”“不超过”类决策问题的结果，增强模型观念与应用意识。 二、教学重点 把实际问题转化为反比例函数模型，并运用其性质求解。 三、教学难点 从实际情境中抽象出等量关系，并结合实际意义确定自变量的取值范围。 四、教学方法与教具准备 引导发现法、讲练结合法；多媒体课件、实物投影。 五、教学过程 （一）温故知新（3分钟） 问题1：反比例函数 （k≠0）的图象，当 k＞0 时位于哪些象限？在每个象限内 y 随 x 如何变化？当 k＜0 时呢？ 【答案】（k≠0）的图象是双曲线；当 k＞0 时，两支分别位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，两支分别位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。 问题2：反比例函数中自变量 x 的取值范围是什么？在实际问题中，自变量的取值还要注意什么？ 【答案】自变量 x 的取值范围是 x≠0；在实际问题中，自变量的取值既要使式子有意义，又要符合实际意义（如时间、长度只能取正值，有时还有上限或下限）。 问题3：长方形的面积 S 一定时，长 a 与宽 b 之间有什么关系？为什么？ 【答案】因为 ab＝S（定值），即 a 与 b 的乘积一定，所以 a 与 b 成反比例关系，（b＞0）。 （二）探究引入（2分钟） 问题：生活中有许多两个量的乘积为定值的例子（如路程一定时速度与时间）。你能举出一个这样的例子吗？两个量的乘积一定时，这两个量之间是什么关系？ 【答案】例如：路程 100 km 一定时，速度 v 与时间 t 的乘积为定值，；工作总量一定时，工作效率与工作时间等。两个量的乘积一定时，这两个量成反比例关系，可用反比例函数来刻画。 （三）新课探究（20分钟） 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。 （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式。 【答案】（1）轮船上的货物总量为 700×9＝6 300（t），所以 v 关于 t 的函数解析式为（t＞0）。 【答案】（2）把 t＝6 代入，得＝1 050（t/h）。从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t。对于函数，当 t＞0 时，t 越小，v 越大。因此，若货物不超过 6 h 卸载完，则平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物。 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m。 （1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 分析：古希腊科学家阿基米德发现：“杠杆原理”——阻力×阻力臂＝动力×动力臂。本题中阻力与阻力臂已知，代入即可得 F 与 l 的关系。 【答案】（1）根据“杠杆原理”，得 Fl＝1 200×0.5，所以 F 关于 l 的函数解析式为（l＞0）。当 l＝1.5 m 时，＝400（N）。对于函数，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡。因此，撬动石头至少需要 400 N 的力。 【答案】（2）对于函数，当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小。因此，只要求出 F＝400×＝200 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量。将 F＝200 代入，得，＝3（m）。因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5（m）。 点拨：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 【答案】由（l＞0）可知，F 随 l 的增大而减小，所以动力臂 l 越长，所需动力 F 越小，即越省力。 （四）课堂练习（10分钟） 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm³（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。（1）漏斗口的面积 S（单位：cm²）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积不超过 50 cm²，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 【答案】（1）由圆锥的体积公式，得Sh＝120，所以（h＞0）。 【答案】（2）由 S≤50，得≤50，即 h≥360÷50＝7.2。所以漏斗的深 h 至少为 7.2 cm。 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动。客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可。小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元。他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元。（1）y 与 x 有怎样的函数关系？（2）如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？（3）如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】（1）余款为 18－6＝12（万元），所以（0＜x≤36，x 为整数）。 【答案】（2）当 x＝20 时，＝0.6（万元），即平均每月应还款 0.6 万元。 【答案】（3）5 000 元＝0.5 万元。由 y≤0.5，得≤0.5，即 x≥12÷0.5＝24。又 x≤36，所以他至少要 24 个月才能结清余款。 3. 填空：甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，行驶的时间 t（单位：h）与平均速度 v（单位：km/h）之间的函数关系式为＿＿＿＿；当平均速度为 60 km/h 时，行驶的时间为＿＿＿＿h。 【答案】（v＞0）；2。 （五）课堂小结（3分钟） 填一填：（1）解决实际问题时，先审题，找出题目中的＿＿＿关系，再把实际问题转化为＿＿＿＿函数模型；（2）函数关系式中自变量的取值范围，既要使式子有意义，又要符合＿＿＿＿意义；（3）求“至少”“不超过”一类的问题，常利用反比例函数的＿＿＿＿性进行分析。 【答案】（1）等量（乘积一定）；反比例；（2）实际；（3）增减。 （六）作业布置（2分钟） 必做题：课本习题 27.3 第 1、2 题。 选做题：已知某个电阻两端电压为 6 V，通过电阻的电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）成反比例关系。（1）写出 I 与 R 的函数关系式；（2）若限制电流不超过 0.5 A，则接入电路的电阻 R 至少应为多少？ 【答案】（1）由 U＝IR＝6，得（R＞0）；（2）由 I≤0.5，得 R≥6÷0.5＝12（Ω），所以 R 至少为 12 Ω。 实践探究：用一根长为 24 cm 的铁丝围成一个矩形，当矩形的一边长 x 为多少时，面积最大？矩形面积一定时，相邻两边长之间是什么函数关系？与同伴交流。 【答案】提示：周长一定时，正方形（边长 6 cm）面积最大，为 36 cm²；面积一定时，相邻两边 a＝（b＞0），成反比例关系。（本问为开放性问题，学生说出理由即可。） 六、板书设计 课题：27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 左栏：例1 （t＞0）→ 求总量、代入求值、由增减性定“至少”；例2 （l＞0）→ 杠杆原理、求最省力时动力臂的加长量。 右栏：方法归纳——①找等量关系（两个量的乘积一定）；②写出反比例函数解析式并确定自变量取值范围；③利用增减性求“至少/不超过”类问题的解。 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $