27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）+教案+2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）教案

课型：新授课        课时：1课时        授课年级：九年级

一、教学目标（核心素养目标）

1. 会用数学的眼光观察现实世界：能从“卸货、撬石、漏斗、购车”等实际情境中，敏锐发现两个变量乘积一定的等量关系，抽象出反比例函数模型 y＝k/x（k＞0），体会函数是刻画现实世界变量相依关系的有力工具。

2. 会用数学的思维思考现实世界：能围绕“总量一定”的核心，通过运算求出常数 k，并利用反比例函数的增减性合情推理，分析并说明“动力臂越长越省力”“卸载时间越短速度越大”等规律，发展推理能力。

3. 会用数学的语言表达现实世界：能正确写出反比例函数解析式、确定自变量的实际取值范围，并用解析式、图象和文字解释“至少”“不超过”类决策问题的结果，增强模型观念与应用意识。

二、教学重点

把实际问题转化为反比例函数模型，并运用其性质求解。

三、教学难点

从实际情境中抽象出等量关系，并结合实际意义确定自变量的取值范围。

四、教学方法与教具准备

引导发现法、讲练结合法；多媒体课件、实物投影。

五、教学过程

（一）温故知新（3分钟）

问题1：反比例函数 （k≠0）的图象，当 k＞0 时位于哪些象限？在每个象限内 y 随 x 如何变化？当 k＜0 时呢？

【答案】（k≠0）的图象是双曲线；当 k＞0 时，两支分别位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，两支分别位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。

问题2：反比例函数中自变量 x 的取值范围是什么？在实际问题中，自变量的取值还要注意什么？

【答案】自变量 x 的取值范围是 x≠0；在实际问题中，自变量的取值既要使式子有意义，又要符合实际意义（如时间、长度只能取正值，有时还有上限或下限）。

问题3：长方形的面积 S 一定时，长 a 与宽 b 之间有什么关系？为什么？

【答案】因为 ab＝S（定值），即 a 与 b 的乘积一定，所以 a 与 b 成反比例关系，（b＞0）。

（二）探究引入（2分钟）

问题：生活中有许多两个量的乘积为定值的例子（如路程一定时速度与时间）。你能举出一个这样的例子吗？两个量的乘积一定时，这两个量之间是什么关系？

【答案】例如：路程 100 km 一定时，速度 v 与时间 t 的乘积为定值，；工作总量一定时，工作效率与工作时间等。两个量的乘积一定时，这两个量成反比例关系，可用反比例函数来刻画。

（三）新课探究（20分钟）

例1  港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。

（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？

分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式。

【答案】（1）轮船上的货物总量为 700×9＝6 300（t），所以 v 关于 t 的函数解析式为（t＞0）。

【答案】（2）把 t＝6 代入，得＝1 050（t/h）。从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t。对于函数，当 t＞0 时，t 越小，v 越大。因此，若货物不超过 6 h 卸载完，则平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物。

例2  某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m。

（1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？

分析：古希腊科学家阿基米德发现：“杠杆原理”——阻力×阻力臂＝动力×动力臂。本题中阻力与阻力臂已知，代入即可得 F 与 l 的关系。

【答案】（1）根据“杠杆原理”，得 Fl＝1 200×0.5，所以 F 关于 l 的函数解析式为（l＞0）。当 l＝1.5 m 时，＝400（N）。对于函数，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡。因此，撬动石头至少需要 400 N 的力。