27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与反比例函数”应用，承接反比例函数定义与性质，以上海洋山深水港装卸货物情境导入，引导学生从“总量固定，速度与时间成反比”中抽象函数模型，搭建生活实例到数学应用的学习支架。 资料特色在于跨学科融合与分层实践，结合物理杠杆原理、几何体积计算等实例，通过“生活情境—建模列式—应用拓展”流程培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识），特色作业“反比例关系生活建模创编”提升学生创新意识，为教师提供清晰教学范式，助力高效落实函数应用教学。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第1课时  一、教材分析 《实际问题与反比例函数》是人教版九年级上册反比例函数单元的应用课时，承接反比例函数图象与性质新授课，是函数知识落地生活的核心载体，在初中函数体系中起到承上启下作用. 前面学生掌握了反比例函数定义、解析式、增减性，本节课将抽象代数模型与工程、物理、生活场景结合，既是对函数概念的巩固，也为后续函数实际应用搭建解题范式，同时衔接物理杠杆原理、立体几何体积计算等跨学科知识，体现数学工具性. 教材教学逻辑链条清晰递进：首先以国内港口装卸货物为生活化情境引出例1，提炼“总量固定，速度与时间成反比”，示范完整列式、代入求值、利用增减性分析取值范围；再引入跨学科杠杆原理例2，拓展物理场景下的反比例模型，强化“两变量乘积为定值”核心判定依据；最后配套圆锥容器、分期购车两类分层练习题，由单一数字计算过渡到不等式范围求解. 整体遵循“生活实例—抽象函数模型—应用求解—分层巩固”的认知逻辑，弱化复杂图象，聚焦建模思想，逐步渗透用函数解决最值、范围类实际问题的通用流程.   二、教学目标 1.能识别实际情境中乘积为定值的变量关系，独立列出反比例函数解析式，掌握基础代入求值计算. 2.结合反比例增减性分析“至多、至少”类最值问题，准确判断自变量取值范围，规范完整书写解题步骤. 3.经历审题找定值、建模列式、计算检验的完整流程，提炼反比例应用题通用解题思路，建立建模思想. 4.依托港口、杠杆等情境感受数学跨学科价值，结合国内港口实例增强民族自信，培养严谨解题习惯.   三、教学重难点 重点：能识别实际情境中乘积为定值的变量关系，独立列出反比例函数解析式，掌握基础代入求值计算. 难点：结合反比例增减性分析“至多、至少”类最值问题，准确判断自变量取值范围，规范完整书写解题步骤.   四、教学过程 · 情境导入 坐落于东海之畔的上海洋山深水港，是全球规模最大的自动化集装箱港口，也是彰显我国航运实力的标杆工程. 港区搭载全自动岸桥起重机、无人集卡系统，全程几乎无需人工就能完成远洋巨轮的货物装卸，集装箱年吞吐量连续多年稳居全球首位，充分展现中国制造与世界级港口基建的顶尖水准. 码头作业中藏着奇妙的数学规律：单艘货轮的货物总重量固定不变，装卸速度越快，卸完整船货物花费的时间就越短.装卸速度与卸货时间一增一减、二者乘积恒定，这一特殊变量关系，正是我们本节课要探究的反比例函数. 接下来我们就结合港口卸货例题，学习用反比例函数解决生活里的真实问题. 师生活动：教师展示洋山港口图文素材朗读情境，提问学生：总货量不变时，卸货速度与耗时有何变化规律？学生结合生活经验发言，自主发现两变量乘积固定；教师顺势引出反比例函数课题，引导学生感知变量间一增一减的关系. 设计意图：依托国产港口实景创设真实生活情境，渗透家国情怀，让学生直观感知反比例变化规律，激发探究兴趣，搭建生活实例到数学概念的过渡桥梁. · 探究新知 活动一：探究工程中的反比例函数 问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 师生活动：教师出示港口卸货例题，引导学生先求货物总量，自主推导反比例解析式；小组讨论第二问，结合函数增减性与图象分析取值范围，师生共同梳理实际应用题解题步骤. 分析：基本公式：工作总量=工作效率×工作时间 数量关系：货物总量 = 平均装载速度×装载总时间 700 ×9= 6300(t) 平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间 解：(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为：v= . 货物总量不变，平均卸载速度v与卸载完所有货物的总时间t成反比例函数关系. (2)把t=6代入v=，得v==1 050(t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1050 t.对于函数v=，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050 t货物. 从函数图象的角度理解：若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050 t货物. 总结：反比例函数在实际问题中的解题核心： 找不变总量→列反比例解析式→代入求值→写答 设计意图：依托港口工程实例巩固反比例函数应用，结合图象数形结合，提炼标准化解题流程，培养学生用函数模型解决实际问题的建模思想. 活动二：探究力学中的反比例函数 师生活动：教师出示杠杆史料与习题，引导学生依据杠杆原理列式，独立求解两小问；组织学生交流第三问，结合反比例函数增减性解释省力原理，师生规范作答逻辑. 古希腊科学家阿基米德(公元前287--前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 给我一个支点，我可以把地球撬动! 问题2：某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 思考：动力F是动力臂l的反比例函数吗？若是，请写出反比例函数解析式． 动力F是动力臂l的反比例函数. Fl=1200×0.5 → F = 解：(1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1200×0.5， 所以F关于l的函数解析式为 F=. 当l=1.5 m时， F==400(N). 对于函数F=，当l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400 N的力. (2)对于函数F= ，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400× = 200代入F= ，得 200= ， l= =3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3−1.5=1.5(m). 问题3：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? 答：根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 设计意图：融合物理杠杆知识跨学科教学，借助经典史料拓展视野，巩固反比例函数建模与性质，引导学生用数学知识解释生活物理现象. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示食堂、蓄水池两道生活化例题，学生独立列式求解，同桌互查；教师引导对比两道题共性，总结不变总量建模方法，结合函数增减性分析取值范围，订正易错点. 例1 学校食堂一次性购买了3000kg大米. (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n(单位：kg)有怎样的函数关系？ (2)如果食堂平均每天使用大米200~250kg，那么至少多少天后，食堂需再购买大米？ 解：(1)由题意，得mn=3000，即m= (n>0). (2)对于函数m= ，当n>0时，m随n的增大而减小. 将n=250代入m= ，得m=12. 所以至少12天后，食堂需再购买大米. 例2 某蓄水池排水管的排水速度是8m3/h，6h可将满池水全部排空. (1)若增加排水管，使排水速度达到Q(m3/h)，则将满池水排空所需的时间t(h)与排水速度Q(m3/h)有怎样的函数关系？ (2)如果准备在5h内将满池水排空，那么排水速度至少为 m3/h. (3)如果排水管的排水速度最大不超过12m3/h，那么至少多长时间可将满池水全部排空？ 解：(1)蓄水池的容积为8×6=48(m3)， ∴t关于Q的函数解析式为t . 分析：(2)把t=5代入t，得Q=9.6. 所以若准备在5h内将满池水排空，则排水速度至少为9.6m3/h. 故答案为：9.6 解：(3)把Q=12代入t ，得t4. 从结果可以看出，当排水管的排水速度为12m3/h时，需要4h可将满池水全部排空. 对于函数t ，当Q>0时，t随Q的增大而减小. 因此，如果排水管的排水速度最大不超过12m3/h，那么至少需要4h可将满池水全部排空. 设计意图：选取贴近校园、生活的实例，巩固反比例函数建模解题流程，强化函数增减性在实际取值问题中的应用，提升学生数学建模能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120 cm³(不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位：cm²)与漏斗的深h(单位：cm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过50 cm2，那么漏斗的深h至少为多少？ 解：(1) 圆锥的容积(体积)公式为 VSh. 将 V=120 代入，得 120Sh， 整理，得 S . (2) 漏斗口的面积不超过 50 cm2，即 0<S≤50. 将 S=50 代入 S，得 50， 解得 h=7.2. 因为 h>0 时，S 随 h 的增大而减小， 所以 0< S ≤50 时，h ≥7.2， 故漏斗的深 h 至少为 7.2 cm. 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元.他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元. (1) y 与 x 有怎样的函数关系？ (2) 如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3) 如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解： (1) 余款为 186=12(万元) ， 函数关系为 y(1≤x≤36，x 为正整数) . (2) 当 x20 时，y=0.6. 所以他平均每月应还款 0.6 万元. (3) 5 000 元 0.5 万元. 将 y=0.5 代入 ，得 x=24. 因为 x>0 时，y 随 x 的增大而减小， 所以 0<y≤0.5 时，x≥24. 因此，他至少要 24 个月才能结清余款. 师生活动：学生独立完成两道教材练习题，自主结合圆锥体积、分期付款等量关系建立反比例函数；小组核对答案，交流利用函数增减性求解最值的思路，教师点拨实际问题自变量取值限制. 设计意图：结合几何、生活金融两类习题分层巩固知识，落实建模解题步骤，强调实际情境下自变量约束，提升学生运用反比例函数解决多元实际问题的能力. 【限时训练】 1.某仓库有一批重量为吨的货物，要将其全部运走，平均运货速度单位：吨天与运货天数单位：天之间的函数解析式为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  2.如图，茶桶中共盛有的茶水，若从出水口平均每分钟放出的茶水，则这桶茶水共用放完．当时，的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意可得：， ， 当时， ， 解得：， 故选C． 3.一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，当时，氧气的密度是          ． 【答案】  4.李大爷准备在一块空地上用篱笆围成一块面积为的长方形菜地． 小明建议把长定为，那么按小明的建议，李大爷要准备长___________的篱笆； 通过测量，发现宽最多为，那么长至少为___________才能保证菜地面积不变． 【答案】；．  【解析】解：设长方形的长为，宽为， ，， 当时，， 篱笆的长为：， 故答案为； 宽最多为， 当时，，解得：， 宽最多为，那么长至少为才能保证菜地面积不变， 故答案为． 5.甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地所用的时间为，汽车的平均速度为． 写出时间与平均速度之间的函数关系式； 若汽车的平均速度不超过，则汽车从甲地到乙地所用的时间至少需要多少小时？ 【答案】(1)解： ；  (2)解：方法一：，∴ y≥5； 方法二：x＝80，y＝5，∵x≤80，∴y≥5．  师生活动：学生独立完成课堂巩固习题，自主列式计算；完成后同桌互查答案，交流利用反比例函数增减性求解范围的思路，教师针对共性错题统一讲评. 设计意图：涵盖物流、物理、几何、行程多元生活化题型，当堂检测学生建模、求值、取值分析能力，查漏补缺，夯实本节课核心知识点. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.如何判断实际问题中的数量关系满足反比例函数？ 3.利用反比例函数解决实际问题时的解题核心是什么？ 4.在利用反比例函数解决实际问题时有哪些注意事项？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：反比例关系生活建模创编 任务：请自主创编一道贴合真实生活情境的反比例函数实际应用题，题目分层设置3个问题，兼顾基础、进阶与拓展.最终提交完整题目、详细解答及命题思路说明. 问题设置要求： ①基础层：结合情境建立反比例函数数量关系，求出函数解析式，并规范标注自变量的实际取值范围； ②进阶层：设计一道含“至少/至多”的最值类问题，利用反比例函数的增减性分析求解； ③拓展层：设置开放性或跨学科问题，结合反比例函数的图象与性质解释生活现象、解决实际问题. 探究：1.你所设定的自变量取值范围，受到哪些现实条件的限制？若忽略实际约束，会出现哪些不符合生活逻辑的结果？ 2.当自变量取最大值或最小值时，对应的函数值在本题生活情境中代表什么实际意义？ 3.通过本次创编与解题探究，你获得了哪些学习启发？求解实际问题中的取值范围时，需要重点注意哪些要点？ 学科网（北京）股份有限公司 $