27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数

27.3 实际问题与反比例函数

第1课时

《实际问题与反比例函数》是人教版九年级上册反比例函数单元的应用课时，承接反比例函数图象与性质新授课，是函数知识落地生活的核心载体，在初中函数体系中起到承上启下作用. 前面学生掌握了反比例函数定义、解析式、增减性，本节课将抽象代数模型与工程、物理、生活场景结合，既是对函数概念的巩固，也为后续函数实际应用搭建解题范式，同时衔接物理杠杆原理、立体几何体积计算等跨学科知识，体现数学工具性.

教材教学逻辑链条清晰递进：首先以国内港口装卸货物为生活化情境引出例1，提炼“总量固定，速度与时间成反比”，示范完整列式、代入求值、利用增减性分析取值范围；再引入跨学科杠杆原理例2，拓展物理场景下的反比例模型，强化“两变量乘积为定值”核心判定依据；最后配套圆锥容器、分期购车两类分层练习题，由单一数字计算过渡到不等式范围求解. 整体遵循“生活实例—抽象函数模型—应用求解—分层巩固”的认知逻辑，弱化复杂图象，聚焦建模思想，逐步渗透用函数解决最值、范围类实际问题的通用流程.

1.能识别实际情境中乘积为定值的变量关系，独立列出反比例函数解析式，掌握基础代入求值计算.

2.结合反比例增减性分析“至多、至少”类最值问题，准确判断自变量取值范围，规范完整书写解题步骤.

3.经历审题找定值、建模列式、计算检验的完整流程，提炼反比例应用题通用解题思路，建立建模思想.

4.依托港口、杠杆等情境感受数学跨学科价值，结合国内港口实例增强民族自信，培养严谨解题习惯.

重点：能识别实际情境中乘积为定值的变量关系，独立列出反比例函数解析式，掌握基础代入求值计算.

难点：结合反比例增减性分析“至多、至少”类最值问题，准确判断自变量取值范围，规范完整书写解题步骤.

         情境导入

坐落于东海之畔的上海洋山深水港，是全球规模最大的自动化集装箱港口，也是彰显我国航运实力的标杆工程. 港区搭载全自动岸桥起重机、无人集卡系统，全程几乎无需人工就能完成远洋巨轮的货物装卸，集装箱年吞吐量连续多年稳居全球首位，充分展现中国制造与世界级港口基建的顶尖水准.

码头作业中藏着奇妙的数学规律：单艘货轮的货物总重量固定不变，装卸速度越快，卸完整船货物花费的时间就越短.装卸速度与卸货时间一增一减、二者乘积恒定，这一特殊变量关系，正是我们本节课要探究的反比例函数. 接下来我们就结合港口卸货例题，学习用反比例函数解决生活里的真实问题.

师生活动：教师展示洋山港口图文素材朗读情境，提问学生：总货量不变时，卸货速度与耗时有何变化规律？学生结合生活经验发言，自主发现两变量乘积固定；教师顺势引出反比例函数课题，引导学生感知变量间一增一减的关系.

设计意图：依托国产港口实景创设真实生活情境，渗透家国情怀，让学生直观感知反比例变化规律，激发探究兴趣，搭建生活实例到数学概念的过渡桥梁.

         探究新知

活动一：探究工程中的反比例函数

问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h.

(1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物?

师生活动：教师出示港口卸货例题，引导学生先求货物总量，自主推导反比例解析式；小组讨

论第二问，结合函数增减性与图象分析取值范围，师生共同梳理实际应用题解题步骤.

分析：基本公式：工作总量=工作效率×工作时间

数量关系：货物总量 = 平均装载速度×装载总时间

700 ×9= 6300(t)

平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间

解：(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，

所以 v 关于 t 的函数解析式为：v= .

货物总量不变，平均卸载速度v与卸载完所有货物的总时间t成反比例函数关系.

(2)把t=6代入v=，得v==1 050(t/h).

 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1050 t.对于函数v=，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050 t货物.

从函数图象的角度理解：若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050 t货物.

总结：反比例函数在实际问题中的解题核心：

找不变总量→列反比例解析式→代入求值→写答

设计意图：依托港口工程实例巩固反比例函数应用，结合图象数形结合，提炼标准化解题流程，培养学生用函数模型解决实际问题的建模思想.

活动二：探究力学中的反比例函数

师生活动：教师出示杠杆史料与习题，引导学生依据杠杆原理列式，独立求解两小问；组织学生交流第三问，结合反比例函数增减性解释省力原理，师生规范作答逻辑.

古希腊科学家阿基米德(公元前287--前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.

杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.