1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标法求距离与夹角，强调建系规范与公式应用过程，培养逻辑推理与规范表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |距离计算|8题|点面距离、异面直线距离|建系→求坐标→求法向量→代入距离公式| |夹角计算|9题|异面直线角、线面角、面面角|建系→求向量坐标→利用数量积求夹角余弦值|

高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 保密★启用前 第一章空间向量与立体几何用空间向量研究距离、夹角问题 (专项训练) 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 (试卷总分：100分建议用时：60分钟测试范围：第一章空间向量与立体几何) 学校： 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1.本专项只考查用空间向量的坐标法求距离与夹角，先交代原点和三条坐标轴分别取在哪条直线上， 再写出用到的点和向量的坐标。 2.单项选择题每小题只有一个选项符合题意，把它前面的字母填在题后的括号里。 3.求夹角与距离的题，结果一律写成精确值，余弦值、正弦值和根式都不要化成小数。 4.解答题要写出法向量的求法与代入公式的过程，只写结果不得分。 评卷人 得分 单项选择题（每小题5分，共40分） 1.已知正方体ABCD一ABCD1的每条棱长都等于3，在棱DD1上取点F,使DF:FD1=1:2, 点F到平面ABC的距离是() A1 D 4. 5V13 53 13 B. 3 C. D.5 试卷第1页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 2.如图所示，长方体ABCD-ABCD1的三条棱AB、AD、AA1的长分别为1、2、3，那么AC 与BD这两条异面直线所成角的余弦值是()。 C1 A1 B1 3V5 A. 5 3V5 B. 70 c.3/o 70 3V14 D. 14 3.已知正方体ABCD一AB1CD1的每条棱长都等于2，棱AB1的中点记为M,记直线DM与平面 ABC1所成的角为0，则sin0=()。 A1 M X C.22 D.22 3 试卷第2页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 4.如图，设直三棱柱ABC-A1B1C的两条直角边AC=3,BC=4,高CC1=2,则平面ABC1与平 面ABC夹角的余弦值是()。 ⊙ 6V61 A. 61 B.6 6 c. 61 D. 61 61 5.如图所示，四棱锥P一ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD,侧棱PD垂直于底面且PD= 3,那么PB与平面PAD所成角的正弦值是()。 D 4是 5V41 B. c.447 D.4 41 41 试卷第3页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 6.如图，设长方体ABCD-AB1CD1中AB=3,AD=2,高AA1=3,点F在棱AB1上且 AF:FB1=2:1,则点A到平面FCD的距离是()。 Z D A1 D B X 3 c.5p.53 13 7.己知三棱锥P-ABC中PA⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=2,AC=2,PA=4,M是棱PC的中 点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值是()。 P M ● X A B 2V2 3 B.1C.7 试卷第4页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 8.如图，设正方体ABCD-A1BCD1的棱长是1，那么异面直线AC、BD的距离是()。 C1 Bi A.6 1 . 1 2 c.1D.2 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分，共30分） 9.如图，在长方体ABCD一ABCD1中，AB=3,AD=1,AA1=2,点B到平面ACB1的距离为 7 试卷第5页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 10.如图所示，直三棱柱ABC-AB1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，AC=2,BC=1,侧 棱CC=3,D是棱AB的中点，则直线CD与平面ABB1所成角的正弦值为。 Z B C1 11.已知四棱锥P一ABCD中PD⊥底面ABCD,ABCD是边长为2的正方形，PD=4,取棱PB的 中点E,那么DE与PA这两条异面直线所成角的余弦值为。 B D A 试卷第6页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 12.如图，设正方体ABCD一ABCD1的棱长是4，在棱DD1上取点E,使DE:ED1=1:3,记平 面ACE与平面ABC的夹角为0，则cos0= D 13.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，AB=3,AC=4,PA=4,则异 面直线PB与AC之间的距离为 Z 14.如图所示，正四面体ABCD的棱长为2，取棱AB的中点E,取棱CD的中点F,那么异面直 线AB、CD的距离为 D A 试卷第7页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 评卷人 得分 三、解答题（共30分） 15.已知长方体ABCD一A1B1CD1满足AB=2,AD=1,侧棱AA1=2,棱AB1的中点记为E。 (I)求异面直线DE与BC所成角的余弦值： (2)求点C到平面DEC的距离。 B 试卷第8页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 16.如图，设直三棱柱ABC-ABC1的两条直角边AC=2,BC=3,高CC1=4,点N在棱BB1上 且BN:NB1=1:3。 (I)求AN与平面ACC所成角的正弦值； (2)记平面A1NC与平面ABC的夹角为a,求cos0。 B1 A1 A 试卷第9页，共10页 高二上学期第一章空间向量与立体几何 专项训练 17.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD,PD=3, 棱PC上的点E满足PE:EC=1:2。 (I)记直线DE与平面PAB所成的角为0，求sin0; (2)求点E到平面PAB的距离。 Z P B D A 试卷第10页，共10页高二上学期 第一章 空间向量与立体几何 专项训练 保密★启用前 第一章 空间向量与立体几何 用空间向量研究距离、夹角问题（专项训练） 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （试卷总分：100分　建议用时：60分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项只考查用空间向量的坐标法求距离与夹角，先交代原点和三条坐标轴分别取在哪条直线上，再写出用到的点和向量的坐标。 2．单项选择题每小题只有一个选项符合题意，把它前面的字母填在题后的括号里。 3．求夹角与距离的题，结果一律写成精确值，余弦值、正弦值和根式都不要化成小数。 4．解答题要写出法向量的求法与代入公式的过程，只写结果不得分。 评卷人 得分 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱长都等于3，在棱DD1上取点F，使DF∶FD1＝1∶2，点F到平面A1BC1的距离是(____)。 A．　　B．　　C．　　D．5 2．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、AD、AA1的长分别为1、2、3，那么AC1与BD这两条异面直线所成角的余弦值是(____)。 A． B． C． D． 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱长都等于2，棱A1B1的中点记为M，记直线DM与平面ABC1所成的角为θ，则sinθ＝ (____)。 A．　　B．　　C．2　　D． 4．如图，设直三棱柱ABC－A1B1C1的两条直角边AC＝3，BC＝4，高CC1＝2，则平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值是(____)。 A． B．6 C． D． 5．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PD垂直于底面且PD＝3，那么PB与平面PAD所成角的正弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D．4 6．如图，设长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝3，AD＝2，高AA1＝3，点F在棱A1B1上且A1F∶FB1＝2∶1，则点A到平面FCD1的距离是(____)。 A．　　B．　　C．5　　D． 7．已知三棱锥P－ABC中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，PA＝4，M是棱PC的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值是(____)。 A．　　B．1　　C．　　D． 8．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，那么异面直线A1C、BD的距离是(____)。 A．　　B．　　C．1　　D． 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝1，AA1＝2，点B到平面ACB1的距离为＿＿＿＿。 10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，侧棱CC1＝3，D是棱A1B1的中点，则直线CD与平面ABB1所成角的正弦值为＿＿＿＿。 11．已知四棱锥P－ABCD中PD⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PD＝4，取棱PB的中点E，那么DE与PA这两条异面直线所成角的余弦值为＿＿＿＿。 12．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是4，在棱DD1上取点E，使DE∶ED1＝1∶3，记平面ACE与平面ABC的夹角为θ，则cosθ＝＿＿＿＿。 13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，PA＝4，则异面直线PB与AC之间的距离为＿＿＿＿。 14．如图所示，正四面体ABCD的棱长为2，取棱AB的中点E，取棱CD的中点F，那么异面直线AB、CD的距离为＿＿＿＿。 评卷人 得分 三、解答题（共30分） 15．已知长方体ABCD－A1B1C1D1满足AB＝2，AD＝1，侧棱AA1＝2，棱A1B1的中点记为E。 (1)求异面直线DE与BC1所成角的余弦值； (2)求点C到平面DEC1的距离。 16．如图，设直三棱柱ABC－A1B1C1的两条直角边AC＝2，BC＝3，高CC1＝4，点N在棱BB1上且BN∶NB1＝1∶3。 (1)求A1N与平面ACC1所成角的正弦值； (2)记平面A1NC与平面ABC的夹角为α，求cosα。 17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝3，棱PC上的点E满足PE∶EC＝1∶2。 (1)记直线DE与平面PAB所成的角为θ，求sinθ； (2)求点E到平面PAB的距离。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C B D A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 　一、单项选择题 1．【答案】B 【解析】取D为原点，分别以DA、DC、DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，F(0，0，1)。 在平面A1BC1内取＝(0，3，－3)，＝(－3，3，0)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A1BC1的一个法向量，由·＝0得3y－3z＝0，由·＝0得－3x＋3y＝0；取x＝1，得y＝1，z＝1，所以＝(1，1，1)。 又＝(－3，0，－2)，所以点F到平面A1BC1的距离d＝|·|/||＝5/＝。 所以点F到平面A1BC1的距离＝，选B。 A项把||误写成||，按此错法真算得；C项求||时漏了开方，把分量的平方和当成了模，按此错法真算得；D项漏除法向量的模，直接把|·|当成距离，按此错法真算得5。 2．【答案】C 【解析】由于DA、DC、DD1两两垂直，可以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，使x轴、y轴、z轴分别经过A、C、D1。则A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，3)，B1(2，1，3)，C1(0，1，3)，D1(0，0，3)。 ＝(－2，1，3)，＝(－2，－1，0)。 所以异面直线AC1与BD所成角的余弦值为 |cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以AC1与BD这两条异面直线所成角的余弦值＝，选C。 A项漏除||，按此错法真算得；B项求模时漏了开方，把||算成了分量的平方和，按此错法真算得；D项漏除||，按此错法真算得。 3．【答案】D 【解析】取D为原点，分别以DA、DC、DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，M(2，1，2)。 在平面ABC1内取＝(0，2，0)，＝(－2，2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ABC1的一个法向量，由·＝0得2y＝0，由·＝0得－2x＋2y＋2z＝0；不妨取x＝1，解得y＝0，z＝1，所以＝(1，0，1)。 ＝(2，1，2)，设直线DM与平面ABC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以直线DM与平面ABC1所成角的正弦值＝，选D。 A项漏除||，按此错法真算得；B项把线面角的正弦值当成余弦值（求成了cosθ），按此错法真算得；C项把线面角的正弦当成了正切，按此错法真算得2。 4．【答案】A 【解析】取C为原点，x轴、y轴、z轴分别沿CA、CB、CC1建立空间直角坐标系。则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)。 在平面ABC1内取＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ABC1的一个法向量，由·＝0得－3x＋4y＝0，由·＝0得－3x＋2z＝0；取x＝4，于是y＝3，z＝6，所以＝(4，3，6)。 平面ABC就是坐标平面xOy，它的一个法向量可取＝(0，0，1)。 cos〈，〉＝·/(||||)＝＝，两个平面夹角的取值范围是[0°，90°]，所以其余弦值为|cos〈，〉|＝。 所以平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值＝，选A。 B项漏除另一个法向量的模，按此错法真算得6；C项求||时漏了开方，把分量的平方和当成了模，按此错法真算得；D项把余弦值算成了正弦值，按此错法真算得。 5．【答案】C 【解析】因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以可以D为原点，DA、DC、DP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz。则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)。 平面PAD就是坐标平面xOz，它的一个法向量可取＝(0，1，0)。 ＝(4，4，－3)，设直线PB与平面PAD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以PB与平面PAD所成角的正弦值＝，选C。 A项把线面角的正弦当成了正切，按此错法真算得；B项把线面角的正弦值当成余弦值（求成了cosθ），按此错法真算得；D项漏除||，按此错法真算得4。 6．【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（原点D，x轴沿DA，y轴沿DC，z轴沿DD1）。则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，3)，B1(2，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，F(2，2，3)。 在平面FCD1内取＝(－2，1，－3)，＝(－2，－2，0)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面FCD1的一个法向量，由·＝0得－2x＋y－3z＝0，由·＝0得－2x－2y＝0；令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以＝(1，－1，－1)。 又＝(0，－2，－3)，所以点A到平面FCD1的距离d＝|·|/||＝5/＝。 所以点A到平面FCD1的距离＝，选B。 A项求||时漏了开方，把分量的平方和当成了模，按此错法真算得；C项漏除法向量的模，直接把|·|当成距离，按此错法真算得5；D项把||误写成||，按此错法真算得。 7．【答案】D 【解析】由PA⊥平面ABC与∠BAC＝90°，AB、AC、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz。则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，M(0，1，2)。 ＝(－2，1，2)，＝(0，2，0)。 所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为 |cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以异面直线BM与AC所成角的余弦值＝，选D。 A项把余弦值算成了正弦值，按此错法真算得；B项漏除||，按此错法真算得1；C项漏除||，按此错法真算得。 8．【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（原点D，x轴沿DA，y轴沿DC，z轴沿DD1）。则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)。 ＝(－1，1，－1)，＝(－1，－1，0)。设＝(x，y，z)与它们都垂直，由·＝0得－x＋y－z＝0，由·＝0得－x－y＝0；取x＝1，于是y＝－1，z＝－2，所以＝(1，－1，－2)。 又＝(0，1，－1)，所以两条异面直线的距离d＝|·|/||＝1/＝。 所以异面直线A1C、BD的距离＝，选A。 B项求||时漏了开方，把分量的平方和当成了模，按此错法真算得；C项漏除公垂向量的模，按此错法真算得1；D项把||误写成||，按此错法真算得。 　二、填空题 9．【答案】 【解析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(1，0，0)，B(1，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，2)，B1(1，3，2)，C1(0，3，2)，D1(0，0，2)。 在平面ACB1内取＝(－1，3，0)，＝(0，3，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ACB1的一个法向量，由·＝0得－x＋3y＝0，由·＝0得3y＋2z＝0；取x＝6，得y＝2，z＝－3，所以＝(6，2，－3)。 又＝(0，3，0)，所以点B到平面ACB1的距离d＝|·|/||＝。 所以点B到平面ACB1的距离为。 10．【答案】 【解析】因为CC1⊥底面ABC且AC⊥BC，所以以C为原点，CA、CB、CC1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz。则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，1，3)，D(1，，3)。 在平面ABB1内取＝(－2，1，0)，＝(－2，1，3)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ABB1的一个法向量，由·＝0得－2x＋y＝0，由·＝0得－2x＋y＋3z＝0；令x＝1，则y＝2，z＝0，所以＝(1，2，0)。 ＝(1，，3)，设直线CD与平面ABB1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以直线CD与平面ABB1所成角的正弦值为。 11．【答案】 【解析】由PD⊥平面ABCD及底面为正方形，DA、DC、DP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz。则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，E(1，1，2)。 ＝(1，1，2)，＝(2，0，－4)。 所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为 |cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以DE与PA这两条异面直线所成角的余弦值为。 12．【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（原点D，x轴沿DA，y轴沿DC，z轴沿DD1）。则A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，A1(4，0，4)，B1(4，4，4)，C1(0，4，4)，D1(0，0，4)，E(0，0，1)。 在平面ACE内取＝(－4，4，0)，＝(－4，0，1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，由·＝0得－4x＋4y＝0，由·＝0得－4x＋z＝0；取x＝1，于是y＝1，z＝4，所以＝(1，1，4)。 平面ABC就是坐标平面xOy，它的一个法向量可取＝(0，0，1)。 cos〈，〉＝·/(||||)＝＝，两个平面夹角的取值范围是[0°，90°]，所以其余弦值为|cos〈，〉|＝。 所以平面ACE与平面ABC夹角的余弦值为。 13．【答案】 【解析】PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB、AC、AP两两垂直，以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)。 ＝(3，0，－4)，＝(0，4，0)。设＝(x，y，z)与它们都垂直，由·＝0得3x－4z＝0，由·＝0得4y＝0；取x＝4，得y＝0，z＝3，所以＝(4，0，3)。 又＝(0，0，－4)，所以两条异面直线的距离d＝|·|/||＝＝。 所以异面直线PB与AC之间的距离为。 14．【答案】 【解析】以A为原点，AB方向为x轴正方向，在底面ABC内垂直于AB的方向为y轴，垂直于底面向上为z轴建立空间直角坐标系Axyz。则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，D(1，，)，E(1，0，0)，F(1，，)。 ＝(2，0，0)，＝(0，，)。设＝(x，y，z)与它们都垂直，由·＝0得2x＝0，由·＝0得－＋＝0；令y＝2，则x＝0，z＝，所以＝(0，2，)。 又＝(1，，0)，所以两条异面直线的距离d＝|·|/||＝2/＝。 所以异面直线AB、CD的距离为。 　三、解答题 15．【答案】（1）；（2） 【解析】【解答】取D为原点，分别以DA、DC、DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，2)，B1(1，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，2)。 (1)＝(1，1，2)，＝(－1，0，2)。 所以异面直线DE与BC1所成角的余弦值为 |cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以异面直线DE与BC1所成角的余弦值为。 (2)在平面DEC1内取＝(1，1，2)，＝(0，2，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面DEC1的一个法向量，由·＝0得x＋y＋2z＝0，由·＝0得2y＋2z＝0；取x＝1，得y＝1，z＝－1，所以＝(1，1，－1)。 又＝(0，2，0)，所以点C到平面DEC1的距离d＝|·|/||＝2/＝。 所以点C到平面DEC1的距离为。 16．【答案】（1）；（2） 【解析】【解答】取C为原点，x轴、y轴、z轴分别沿CA、CB、CC1建立空间直角坐标系。则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C1(0，0，4)，A1(2，0，4)，B1(0，3，4)，N(0，3，1)。 (1)平面ACC1就是坐标平面xOz，它的一个法向量可取＝(0，1，0)。 ＝(－2，3，－3)，设直线A1N与平面ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以A1N与平面ACC1所成角的正弦值为。 (2)在平面A1NC内取＝(－2，3，－3)，＝(－2，0，－4)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A1NC的一个法向量，由·＝0得－2x＋3y－3z＝0，由·＝0得－2x－4z＝0；令x＝6，则y＝1，z＝－3，所以＝(6，1，－3)。 平面ABC就是坐标平面xOy，它的一个法向量可取＝(0，0，1)。 cos〈，〉＝·/(||||)＝－＝，两个平面夹角的取值范围是[0°，90°]，所以其余弦值为|cos〈，〉|＝。 所以平面A1NC与平面ABC夹角的余弦值为。 17．【答案】（1）；（2） 【解析】【解答】PD⊥平面ABCD，底面是正方形，所以DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，3)，E(0，，2)。 (1)在平面PAB内取＝(2，0，－3)，＝(2，2，－3)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，由·＝0得2x－3z＝0，由·＝0得2x＋2y－3z＝0；令x＝3，则y＝0，z＝2，所以＝(3，0，2)。 ＝(0，，2)，设直线DE与平面PAB所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 所以直线DE与平面PAB所成角的正弦值为。 (2)由(1)知平面PAB的一个法向量为＝(3，0，2)。 又＝(0，，－1)，所以点E到平面PAB的距离d＝|·|/||＝2/＝。 所以点E到平面PAB的距离为。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $