第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，系统整合距离（点线、点面）与空间角（线线、线面、面面）的求解方法，构建“概念-公式-题型-变式”四层逻辑体系，培养空间观念与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2知识点+4即学即练|点线距用投影向量勾股定理，点面距用法向量投影长度，空间角向量公式（线线角取锐角，线面角用sin，面面角判锐钝）|从单位方向向量、法向量概念出发，推导距离与角的向量公式，结合即学即练即时应用| |题型精讲|12题型+20+典例变式|转化与化归（面面距转点面距），动态问题（最值、参数）用向量坐标运算|按“基础计算-综合应用-动态探究”递进，覆盖定值、最值、参数三类考法，典例选取正方体、直三棱柱等典型载体| |题型精练|A(10)+B(5)+C(4)题|分层训练，基础题巩固公式，提升题强化转化，素养题综合空间想象与运算|从单一知识点到跨情境综合，衔接高考命题趋势，培养数学表达与问题解决能力|

第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【即学即练2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 第三部分 题型精讲 题型01利用空间向量求点线距 【典例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 【典例2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】/ 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 【变式1】（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式2】（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 题型02利用空间向量求点面距 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 【典例2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 【变式2】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离公式，直接求出结果即可. 【详解】已知点，则， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【分析】表示出，再根据点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    【答案】 【分析】根据已知求出面的法向量，应用线面、面面平行的判定定理证平面平面，进而可知在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d，利用向量法求面面距离. 【详解】由题意得，，． 设为平面的法向量，则， 取，得，，则是平面的一个法向量． 由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 又，面，故平面平面． 由于点A，D分别在平面与平面上， 因而在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d． 因此，所求距离． 题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值） 【典例1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 【典例2】（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【分析】应用空间向量的数量积公式及运算律计算，再运用夹角公式计算求解. 【详解】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦的最小值为__________. 【答案】 【分析】应用空间向量的加减法结合空间向量的数量积计算，最后应用异面直线所成角的余弦及基本不等式计算求解. 【详解】设， ， ， 同理可得， 设直线与的夹角为， 则， 令，则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·广东河源·阶段检测）如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设点，求得平面的一个法向量为，根据平面，得到，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，，， 则，，，， 可得，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以， 设异面直线与所成角为， 则， 当最大时，取最小值， 由， 所以当时，最大为，此时最小为. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，求直线与直线所成的角的余弦值的取值范围. 【答案】 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为正四面体，所以是等边三角形， 由题意得，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以点为原点，为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 题型06已知异面直线所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 【典例2】（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 【变式1】（24-25高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 【变式3】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 题型07利用向量方法求直线与平面所成角 【典例1】（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 【典例2】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】/ 【分析】如图建系，写出相关点和向量的坐标，求得平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，进而得，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 【典例2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值. 【详解】因为平面，且平面， 所以，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 【变式1】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段检测）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设棱长为2，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，求平面法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数求其值域即可． 【详解】设正方体棱长为2， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，， 可得，， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 当时，取得最大值；当或1时，取得最小值； 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A.    题型09已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·云南·阶段检测）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是______. 【答案】（或） 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算计算向量与平面的法向量，由线面夹角的正弦公式列方程可得的关系，结合基本不等式求最值即可得结论. 【详解】因为四棱柱中，平面，， 所以如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 则，， 所以. 易得是平面的一个法向量. 所以， 即. 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立.令，则，解得或（舍去）， 则，故的最大值为. 故答案为：（或）. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】1 【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角的正弦值，进而反求出. 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为______. 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的正弦值为，即可求得答案. 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 【变式3】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 【变式1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为___________ 【答案】 【分析】设二面角的平面角为，根据题意分析可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，得，进而即得. 【详解】取的中点， 因为底面是边长为2的菱形，且， 由余弦定理得， 所以,则，即得， 如图所示，分别以、、为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，，则， 令，则，即可得， 因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， , 所以二面角的正切值是． 故答案为： 题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围） 【典例1】（25-26高三上·山东·阶段检测）在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间平面夹角向量公式，利用基本不等式求解范围即可. 【详解】以点A为坐标原点，分别为轴，过点A垂直平面的线为z轴，建立空间直角坐标系，如图： 则．设，因为，． 所以，所以，．易知平面的一个法向量为， 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 设平面与平面夹角为， 所以. 令，则， 所以， 当且仅当即，即时，等号成立，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 故选：B 【典例2】（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．    【答案】 【分析】以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进一步得平面与平面夹角的余弦值的最大值的表达式，结合换元法、基本不等式求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 【变式1】（2026高三上·全国·专题练习）如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标并令，应用向量法求二面角的余弦值范围. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为等边三角形，不妨设，由，令， 当时四点共面，不能构成空间四边形，所以， 则，，，故，，， 设平面的法向量为，则，代入得， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，代入得， 令，则，，所以， 由图知，二面角为锐二面角． 所以， 因为，所以，即， 故选：D 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设等边的边长为1，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的最大值. 【详解】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，用向量夹角的坐标法求解空间角解决空间角的一种重要方法. 题型12已知平面与平面所成角求参数 【典例1】（2025·广东深圳·一模）如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    【答案】 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，    设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 【答案】(1)证法1：证明：连接，由底面是正方形可得． 因为平面，平面，所以， 又因为,平面， 所以平面， 因为点E是上的点，所以平面，所以. 证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ，． ， 即对任意的，都有. (2) 【分析】（1）证法1：连接，可证得平面，从而可证得；证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）解法1：过点D在平面内作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后在中求解即可；解法2：求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法1：平面，平面，． 又底面是正方形， 又，平面． 因为平面，所以， 过点D在平面内作于点F，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故是二面角的平面角，即． 在中，，，， 于是，． 在中，， 即． 由，得解． 解法2：为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， ，即 取，得 由，解得. 【变式1】（25-26高二上·吉林·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    【变式2】（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 【变式3】（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 2．（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 3．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的一个方向向量，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为.    故选：B 5．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，结合线面垂直得出法向量，，再应用面面角余弦公式计算求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面， 所以，且，，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，，，， 则. 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 三、填空题 8．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题 9．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 10．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． B能力提升 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 2．（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 设，， 则， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则， 当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形和均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，若点在线段上，，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，且，则________． 【答案】1 【分析】首先以，，三直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，结合异面直线夹角公式即可求解. 【详解】因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 则， 故，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则： ， ， ； 在线段上，设， ； ； ，解得， 则. 4．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 5．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.    【答案】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： C综合素养 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 2．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． (2)存在， 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【详解】（1）略 （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为． (1)求证：； (2)求的长度； (3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)方法一（几何法）： 连结，在长方体中， 因为平面，且平面，所以， 因为，所以矩形为正方形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以； 方法二（向量法）： 建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，， ，， 因为，所以； (2)2 (3)存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 【分析】（1）几何法通过正方形对角线垂直结合线面垂直推出线线垂直，向量法建立坐标系，计算两直线方向向量点积为，完成垂直证明； （2）设底面边长为，将长方体表面分两类展开得到两种爬行距离表达式，根据判定最小值，列方程求解得到的长度； （3）几何法利用三垂线定理找出二面角平面角，结合等腰直角三角形性质与三角形等面积法算出的长度；向量法设点的坐标，求出两个面的法向量，利用二面角余弦公式解方程，舍去超出线段范围的解，确定的位置． 【详解】（1）略 （2）设， 因为四边形是正方形， 所以小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点可能有两种途径． 如图甲的最短路程为， 如图乙的最短路程为， 因为，所以， 所以，解得，即的长度为． （3）方法一（几何法）：： 假设存在满足条件的点E，连结，设， 过点D在平面内作，连结， 则为二面角的平面角， 所以，所以， 在内，，而， 即，解得， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 方法二（向量法）： 假设存在满足条件的点E，平面的法向量，，， 设平面的法向量， 则，即， 取，解得，得， 由题意得， 解得或（舍去）， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【即学即练2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 第三部分 题型精讲 题型01利用空间向量求点线距 【典例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【典例2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【变式1】（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 题型02利用空间向量求点面距 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值） 【典例1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦的最小值为__________. 【变式1】（25-26高三上·广东河源·阶段检测）如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，求直线与直线所成的角的余弦值的取值范围. 题型06已知异面直线所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【变式1】（24-25高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【变式3】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 题型07利用向量方法求直线与平面所成角 【典例1】（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段检测）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型09已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（24-25高二上·云南·阶段检测）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是______. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则______________． 【变式2】（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为______. 【变式3】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【变式1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______．    【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为___________ 题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围） 【典例1】（25-26高三上·山东·阶段检测）在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．    【变式1】（2026高三上·全国·专题练习）如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 题型12已知平面与平面所成角求参数 【典例1】（2025·广东深圳·一模）如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    【典例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 【变式1】（25-26高二上·吉林·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【变式2】（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【变式3】（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值．    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 8．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    四、解答题 9．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 10．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． B能力提升 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形和均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，若点在线段上，，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，且，则________． 4．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 5．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.    C综合素养 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 2．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为． (1)求证：； (2)求的长度； (3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $