空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间距离三大核心问题，以递进式题型构建从基础计算到综合应用的立体几何解题能力体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到直线的距离|3例+3变式|涵盖坐标法与几何法，含动态最值问题|从向量模长公式到异面直线公垂线的概念延伸| |点到平面的距离|3例+3变式|结合线面垂直证明，涉及多面体体积转化|体现空间向量法与等体积法的逻辑互补| |异面直线的距离|3例+3变式|包含折叠问题与动点轨迹，强调公垂线段求解|构建"转化为点面距离"的降维思想链|

空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题专项训练 空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题专项训练 考点目录 点到直线的距离问题 点到平面的距离问题 异面直线的距离问题 考点一 点到直线的距离问题 例1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 例3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 变式1．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 变式2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 变式3．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________.    考点二 点到平面的距离问题 例1．（25-26高三上·江西吉安·期末）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 例2．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 变式3．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)若，求点到平面的距离． 考点三 异面直线的距离问题 例1．（25-26高二上·四川宜宾·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 变式1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为______． 变式3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题专项训练 空间向量与立体几何：点到直线的距离问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题专项训练 考点目录 点到直线的距离问题 点到平面的距离问题 异面直线的距离问题 考点一 点到直线的距离问题 例1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 例2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 例3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】/ 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 变式1．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和，再由点到直线向量法距离公式即可计算求解. 【详解】以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，， 所以，，，， 不妨设，， 所以， 又，所以在直线上的投影数量的绝对值为， 所以点到直线的距离， 当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 故选：A 变式2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】使用空间中点到直线的距离公式结合数量积公式即可求解. 【详解】因为，， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离． 变式3．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________.    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 考点二 点到平面的距离问题 例1．（25-26高三上·江西吉安·期末）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 例2．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 如图所示，建立以A为原点的空间直角坐标系， 由，， 可知， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 易知， 又平面，所以平面； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）略 （2）由上可知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，即， 则点到平面的距离. 例3．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是 即平面，而平面，所以平面. (2)； (3)存在，的坐标为或. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用共面向量定理及向量的坐标运算计算得解. （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式列式求解. 【详解】（1）略 （2）设，则，， 由四点共面，得， 因此，解得， 所以. （3）由（2）得，则，设， 于是点，，而， 设平面的法向量为， 则，取，得， 点到平面的距离，解得或， 所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或. 变式1．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 证明：由题意可知，两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得，， 则，， 设平面的法向量为， 则，化简得，取，则， 因为，所以， 又因为平面，所以平面； (2). 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可； （2）结合（1）及空间中点到面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面的法向量为，又因为， 所以点到平面的距离. 所以点到平面的距离为. 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后结合向量的夹角公式以及空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，、、、，，， 设异面直线与所成角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为， 则点到平面的距离为. 变式3．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离. 考点三 异面直线的距离问题 例1．（25-26高二上·四川宜宾·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 例2．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 例3．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 【答案】 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图，     由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 变式2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为______． 【答案】 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 变式3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解. 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $