精品解析：福建省福州第十九中学2026-2027学年第一学期9月份校本练习九年级数学试题

福州第十九中学2026-2027学年第一学期9月份校本练习 九年级数学试题 日期 2026.9 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 对角线互相垂直平分的四边形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 6. 某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（ ） A. 0 B. 3 C. 42 D. 600 7. 如图，点为四边形内任意一点，，，，分别为，，，的中点，则四边形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 8. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ） A. B. 9 C. 14 D. 45 9. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是内一点，且，，，则值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是_______． 12. 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 13. 如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 14. 若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为________． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）； （2）． 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 20. 为分析上学需要的时间，甲、乙两名同学在本学期各自随机抽取了天记录自己从家到学校所用的时间（单位：）．甲、乙两名同学记录的时间的箱线图如下．根据箱线图，回答下列问题： （1）甲同学这天记录的时间的第一四分位数是________，中位数是________； （2）哪名同学从家到学校所用的时间整体更短？请结合箱线图说明理由； （3）已知乙同学这天从家到学校有天所用的时间不低于，若该学期共有天需要上学，请估计乙同学该学期从家到学校所用的时间不低于的天数． 21. 某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 22. 如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 23. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 24. 按要求解题： （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． ①求证：； ②在的延长线上取点，使得，当点运动时，的大小是否发生变化？请说明理由； （2）如图2，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究，，的数量关系，并说明理由． 25. 【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2026-2027学年第一学期9月份校本练习 九年级数学试题 日期 2026.9 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零列得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式：，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键． 3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形即可得答案． 【详解】解：A．∵， ∴最大角为，故不是直角三角形，符合题意， B．∵， ∴设，，，则，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 5. 对角线互相垂直平分的四边形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定直接求解即可． 【详解】解：根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”可得该空为“菱形”， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键． 6. 某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（ ） A. 0 B. 3 C. 42 D. 600 【答案】D 【解析】 【详解】解：设200名学生年龄的离差平方和为， 数据个数，方差， ∵ ， ∴ ． 7. 如图，点为四边形内任意一点，，，，分别为，，，的中点，则四边形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，，，，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：，，， ∴四边形的周长为． 8. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ） A. B. 9 C. 14 D. 45 【答案】D 【解析】 【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数． 对比题目给出的方差表达式可得，平均数， 该组数据的总和为． 9. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，熟练掌握各个系数与一次函数和二次函数的关系是解题的关键； 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，然后根据k的大小判断图象即可． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，顶点在y轴，由一次函数可知，直线与y轴的交点为，故选项A、D不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴正半轴， ，一次函数经过一、二、四象限，选项C不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴负半轴，，一次函数经过一、二、三象限，选项B符合题意． 故选∶B． 10. 如图，点是内一点，且，，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，延长交于点，利用构造等腰直角三角形，解得，证明得到，，再证明，利用等量代换求出，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是_______． 【答案】95分 【解析】 【分析】本题主要考查众数，根据条形图及众数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由图可得：这名学生所得分数为分的人数最多，为人，则众数为分． 故答案为：分． 12. 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 14. 若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：∵，为一元二次方程的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-2， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键． 15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：，，，从而得到，再由的面积等于的面积，可得，，然后由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形与小正方形的边长之比为． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，根据开口向下时函数值大小对应点到对称轴的距离大小，列出不等式，结合的范围求解． 【详解】解：对二次函数配方得： ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∵存在，开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴点到对称轴的距离点到对称轴的距离点到对称轴的距离， 即， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 由，，得： ， 要存在，需满足，解得； 由，，得： ， 要存在，需满足，解得， 综上，的取值范围是． 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入函数解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入，得，解得； ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点在函数的图象上， ∴，解得． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）开口向上；顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质． 把点、的坐标代入，用待定系数法求二次函数的解析式； 因为二次函数解析式的二次项系数是正数，所以抛物线开口向上，利用配方法可得二次函数的解析式为，从而得到抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得：， 这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 此抛物线开口向上， ， 此抛物线的顶点坐标为． 20. 为分析上学需要的时间，甲、乙两名同学在本学期各自随机抽取了天记录自己从家到学校所用的时间（单位：）．甲、乙两名同学记录的时间的箱线图如下．根据箱线图，回答下列问题： （1）甲同学这天记录的时间的第一四分位数是________，中位数是________； （2）哪名同学从家到学校所用的时间整体更短？请结合箱线图说明理由； （3）已知乙同学这天从家到学校有天所用的时间不低于，若该学期共有天需要上学，请估计乙同学该学期从家到学校所用的时间不低于的天数． 【答案】（1）， （2）甲同学从家到学校所用的时间整体更短，理由如下： 由箱线图可知，乙同学这天从家到学校所用的时间的中位数、第三四分位数与最大值都大于甲同学从家到学校所用的时间，所以甲同学从家到学校所用的时间整体更短．（言之有理即可） （3）天 【解析】 【分析】（1）根据第一四分位数、中位数的定义以及箱线图求解即可； （2）根据箱线图、中位数、第三四分位数与最大值的定义，即可求解； （3）用乘以该学期从家到学校所用的时间不低于的天数占比，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，甲同学这天记录的时间的第一四分位数是，中位数是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （天）， 答：估计乙同学该学期从家到学校所用的时间不低于的天数为天． 21. 某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 【答案】（1）元 （2） 【解析】 【分析】（1）设该农产品六月份的价格为元，则五月份的价格为，根据题意得出，解方程求出的值即可得答案； （2）设这两个月该农产品价格的月平均增长率为，利用该农产品八月份的价格＝六月份的价格×，得出关于的一元二次方程，解方程取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该农产品六月份的价格为元， ∵六月份与五月份相比，价格下降， ∴五月份的价格为， ∵六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元， ∴， 解得：， 答：该农产品六月份的价格为元． 【小问2详解】 解：设七、八两个月价格的平均增长率为， ∵六月份的价格为元，八月份价格达到元， ∴， 解得：，（舍去）， ∴七、八两个月价格的月平均增长率为． 22. 如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】（1） 证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 24. 按要求解题： （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． ①求证：； ②在的延长线上取点，使得，当点运动时，的大小是否发生变化？请说明理由； （2）如图2，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是正方形， ∴对角线垂直平分线段， 又∵点在对角线上， ∴． ②的大小不发生变化，始终为．理由如下： 连接， 由①得， ∵， ∴， ∴． ∵正方形中是对称轴， ∴， ∴， ∴ ， 因此点运动时恒为，大小不变． （2）数量关系：．理由如下： ∵菱形中，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①因为正方形对角线互相垂直平分且平分内角，所以可得．②连接，由①得，结合已知，所以，可得；再结合，得，通过角度等量代换，结合正方形角、三角形内角和的性质，推导的度数即可判断是否变化． （2）利用菱形性质得，得，可得，过点作于，得，得，得 ，由，得，由，得，结合，将线段进行转化即可得到、、的数量关系． 【小问1详解】 ①略． ②略． 【小问2详解】 略． 25. 【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：81天． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． 任务1：把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 任务2：求出当，2，3，4，5时，对应的函数值，进而根据题意求出S关于a的函数关系式，据此利用二次函数的性质求解即可； 任务3：根据任务2所求，求出当时，对应的自变量的值，再根据从11月7日开始，每15天记作一个单位时间即可求出答案． 【详解】解：任务1：二次函数的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 该二次函数过， ， 解得， 与x的函数解析式为． 任务2：当，2，3，4，5时， 对应的函数值分别为，，10.55，，， ， ∴当时，S最小， ． 任务3：由任务2得到优化后的函数解析式为． 白昼时长黑夜时长小时， 若黑夜时长13小时，则白昼时长为11小时， 令，则，即或5.7． 从11月7日开始，每15天记作一个单位时间， 或85.5， 白昼时长小于11小时的天数从2024年11月12日—2025年1月31日共天，即黑夜时长大于13小时的天数为81天． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $