精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

福州一中2024-2025学年第一学期开学适应性练习 初三数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列长度三条线段能组成三角形的是（ ） A 2，3，6 B. 4，4，7 C. 5，8，13 D. 3，4，8 6. 某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是（ ） A. 15，15 B. 15，13 C. 20，13 D. 10，15 7. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=90°，则∠BOC的度数是（   ） A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 8. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 据报道，受台风“摩羯”影响，海口全市受灾人口126.81万人，造成直接经济损失约263.24亿元，数据263.24亿元用科学记数法表示为______元． 12. 如果与同类项，那么________． 13. 因式分解：=_____． 14. 如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是__________． 15. 当时，整式的值为2024，则当时，整式的值为______． 16. 如图，正方形中边长为12，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，，求证：． 19. 先化简、再求值，其中． 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，．求证：四边形是矩形． 21. 为了了解某校中学生音乐期末成绩分布情况，随机调查了部分参加期末测试的学生的音乐成绩，整理并制作了统计图表的一部分． 分数段 频数 频率 a 0.1 90 b 60 c 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）请用样本数据，估计该校音乐期末测试成绩平均分； （3）若该校有2000名学生参加音乐期末测试，成绩达到90分为优秀，则估计该校音乐期末测试成绩为优秀的学生人数为______． 22. 某工艺品专卖店计划购买中国结和油纸伞若干，已知购买2个中国结和3把油纸伞共需195元，购买4个中国结和8把油纸伞共需460元． （1）每个中国结和每把油纸伞的进价分别是多少元； （2）若该专卖店准备购买中国结和油纸伞共30件，且购买中国结的数量至少比油纸伞的数量多5件，请问怎样购买，才能使总费用最少，并求出最少总费用。 23. 阅读材料：如图1，已知中，，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得． 小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有，因为，所以，从而得到：． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： （1）请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点，使得； （2）按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI （1）求二次函数的表达式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 25. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为F，交于点G． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，连接交于点H，连接、， ①试判断的形状，并说明理由： ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州一中2024-2025学年第一学期开学适应性练习 初三数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化轴对称，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 根据关于y轴对称点的特点即可解答． 【详解】点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：D． 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．先求出，再证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，4，7 C. 5，8，13 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A、， 长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、， 长为4，4，7的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； C、， 长为5，8，13的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D、， 长为3、4、8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是（ ） A. 15，15 B. 15，13 C. 20，13 D. 10，15 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20， 最中间的数是15， 则这组数据的中位数是15； 15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15． 故选：A． 7. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=90°，则∠BOC的度数是（   ） A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等可求出∠1=∠2=45°，然后根据邻补角的定义求∠BOC. 【详解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠2=45°， ∴∠BOC=135°， 故选C． 【点睛】本题考查对顶角和邻补角的定义，比较基础，应熟练掌握. 8. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD面积为96，则OH的长等于( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形面积和对角线AC的长度可求出BD的长，再由勾股定理可求出AD的长，因为菱形的对角线互相垂直得出∠AOD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为96， ∴AC•BD＝96， ∴BD＝16， ∴AD＝＝10， ∵∠AOD＝90°，H为AD边中点， ∴OH＝AD＝5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 10. 已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判断与的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 由①知：， ∴，故结论②正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点和在抛物线上，且，， ∴，即到的距离大于到的距离， ∴，故结论③正确； ∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 综上所述，，故结论④正确， ∴正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 据报道，受台风“摩羯”影响，海口全市受灾人口126.81万人，造成直接经济损失约263.24亿元，数据263.24亿元用科学记数法表示为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫作科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：263.24亿， 故答案为：． 12. 如果与是同类项，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由同类项的定义求得、的值，然后再求代数式的值即可． 【详解】解：与是同类项， ，． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 13. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 14. 如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 15. 当时，整式的值为2024，则当时，整式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，灵活运用整体思想是解题关键．根据题意可得，再把代入可得，即可求解． 【详解】解：∵当时，整式的值为2024， ∴， ∴， ∴， ∴当时，整式的值为， 故答案为：． 16. 如图，正方形中边长为12，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，通过垂线段最短构造直角三角形即可求出的最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到， ∴为等边三角形，点在垂直于的直线上， ∴，， 作，则即为的最小值，即当与重合时，作， ∵四边形是正方形，， ∴，， 由旋转性质可知，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转，矩形判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用零指数幂的意义、绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减化简计算即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，，求证：． 【答案】见解答 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明： 在和中， ， ∴． 19. 先化简、再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式乘除混合运算法则先计算括号内的异分母分式减法，再化除为乘，然后约分，代入求值即可． 【详解】解：原式 = 当时，原式． 【点睛】此题考查分式的混合运算，分式的化简求值，正确掌握分式的运算顺序运算是解题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质等知识点，掌握相关知识点是解题关键．先证四边形是平行四边形，结合即可求证. 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形 21. 为了了解某校中学生音乐期末成绩分布情况，随机调查了部分参加期末测试的学生的音乐成绩，整理并制作了统计图表的一部分． 分数段 频数 频率 a 0.1 90 b 60 c 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）请用样本数据，估计该校音乐期末测试成绩的平均分； （3）若该校有2000名学生参加音乐期末测试，成绩达到90分为优秀，则估计该校音乐期末测试成绩为优秀的学生人数为______． 【答案】（1）30；0.3 （2）82分 （3）400人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据频数分布直方图中的数据可得的频数，结合频数分布表求得本次调查的人数，然后即可得到b的值； （2）求得组的人数，然后利用加权平均数求解即可； （3）利用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 解：由直方图知：， ∴样本容量为， ∴， 故答案为：30；0.3； 【小问2详解】 解：组的人数的人数为， ∴估计该校音乐期末测试成绩的平均分为（分）； 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校数学期末成绩为优秀的约有400人． 22. 某工艺品专卖店计划购买中国结和油纸伞若干，已知购买2个中国结和3把油纸伞共需195元，购买4个中国结和8把油纸伞共需460元． （1）每个中国结和每把油纸伞的进价分别是多少元； （2）若该专卖店准备购买中国结和油纸伞共30件，且购买中国结的数量至少比油纸伞的数量多5件，请问怎样购买，才能使总费用最少，并求出最少总费用。 【答案】（1）每个中国结的进价为45元，每把油纸伞的进价为35元 （2）购买中国结18个、油纸伞12把时，总费用最少，最少总费用是1230元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用， （1）设每个中国结的进价为元，每把油纸伞的进价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买个中国结，则购买把油纸伞，则，解得．结合（1）的总费用为，由一次函数的性质即可知当时，取得最小值． 【小问1详解】 解：设每个中国结的进价为元，每把油纸伞的进价为元， 由题意，得 解得 答：每个中国结的进价为45元，每把油纸伞的进价为35元． 【小问2详解】 解：设购买个中国结，则购买把油纸伞， 根据题意，得， 解得． 设总费用为元，则． ， 随的增大而增大． 为整数， 当时，取得最小值， 此时． 答：购买中国结18个、油纸伞12把时，总费用最少，最少总费用是1230元． 23. 阅读材料：如图1，已知中，，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得． 小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有，因为，所以，从而得到：． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： （1）请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点，使得； （2）按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）以点C为圆心，为半径画弧，该弧与相交于点Q，则点Q即为所作的点； （2）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行计算即可得证． 【小问1详解】 解：如图，点Q即为所求， ； 【小问2详解】 证明：如图， 由作图知：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI （1）求二次函数的表达式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的面积为定值 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 小问2详解】 解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ∵点为中点，， ∴， ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴距离为定值， ∴的面积是定值，且的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为F，交于点G． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，连接交于点H，连接、， ①试判断的形状，并说明理由： ②求证：． 【答案】（1） （2）①等腰直角三角形，理由见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质、翻折的性质可得出，，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）①过B作，利用翻折的性质和平行线的性质可得出，，证明，，可求出，即可判断； ②连接，，，先证明，再证明，得到，即．可得出结论． 【小问1详解】 解：∵将正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：①是等腰直角三角形 理由：过B作， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②连接，，，如图， ，， ，， ， 由折叠可得：，平分， ∴，． ， ∴ ∴ ∵ ，，，B四点共圆， ． ∵在和中， ， ． ， ， ， ∴， ， ， ． ． ． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，综合性较强，属中考试压轴题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$