2.1等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，通过赵爽弦图、限速标志等现实情境导入，以等式性质为基础类比探究不等式性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与数形结合，借助赵爽弦图面积关系引导学生用数学眼光观察不等关系，通过类比推理和作差法培养数学思维，结合杂志定价问题渗透数学建模，帮助学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 探寻现实世界的“平衡与秩序” ——等式性质与不等式性质 人教高中A版必修一数学 1.7.2013 同学们好，今天我们一起来学习第二章第一节的内容——等式性质与不等式性质。 在开始之前，我想请大家思考一个问题：我们生活的世界，到处都充满了"多与少、大与小、长与短"，这些不等关系到底该怎么用数学来精确刻画呢？ 这节课，我们就从古代数学家赵爽的"弦图"出发，一起去寻找刻画这种"平衡与秩序"的数学密码。 ‹#› 学习导航 这节课，我们要解决四个问题： 01 现实世界中的 不等关系从哪里来？ 02 如何严格比较 两个实数的大小？ 03 不等式有哪些 基本性质？ 04 怎样用这些知识 解决实际问题？ 1.7.2013 在开始学习之前，我们先来看一下这节课的学习导航。 这节课我们要解决四个问题：第一，现实世界中的不等关系从哪里来？第二，如何严格比较两个实数的大小？第三，不等式有哪些基本性质？第四，怎样用这些知识解决实际问题？ 这四个问题，就像四把钥匙，帮我们打开不等式这扇大门。让我们一起出发吧！ ‹#› 环节一 · 情境导入 现实世界中，到处都是“不等关系” 赵爽弦图 2002年国际数学家大会会标 面积的大小关系 城市限速标志 车速不能超过限速 v ≤ 60 km/h 酸奶营养成分表 脂肪含量必须达标 脂肪 ≥ 2.5 g/100g 1.7.2013 同学们，我们先来看三张图片。 第一张，这是2002年北京国际数学家大会的会标——赵爽弦图。它里面藏着面积的大小关系。第二张，这是城市道路上的限速标志，车速不能超过60公里每小时。第三张，这是酸奶的营养成分表，脂肪含量必须达到国家标准。 大家发现了吗？我们生活的世界，到处都是"不等关系"——有的比大小，有的比高低，有的比多少。这些不等关系，该怎么用数学来精确地刻画呢？这就是我们这节课要研究的问题。 ‹#› 数学文化 · 历史中的数学 赵爽与他的“弦图” 赵爽，三国时期吴国数学家， 中国古代最早证明勾股定理的人之一。 他在《周髀算经》注文中， 创制了“弦图”—— 用四个全等的直角三角形， 拼出一个大正方形。 2002年北京国际数学家大会， 就把这张弦图选为了会标。 赵爽弦图 · 勾股圆方图 1.7.2013 在正式开始学习之前，我想先给大家介绍一位中国古代的数学家——赵爽。 他是三国时期吴国人，是中国古代最早证明勾股定理的数学家之一。他在注释《周髀算经》的时候，创制了一张非常有名的图，叫做"弦图"。就是大家现在看到的这张——用四个全等的直角三角形，拼出一个大正方形。 这张图有多有名呢？2002年在北京举办的国际数学家大会，就把这张弦图选为了大会的会标。一张中国古代的数学图，能成为全球顶级数学会议的标志，可见它的分量有多重。 这张图里，藏着怎样的数学奥秘呢？我们下一页就来探索。 ‹#› 环节二 · 探究新知 两个数的大小关系， 到底该怎么严格比较？ 我们都知道 3 > 2，但如果换成两个代数式呢？ 比如 a²+1 和 2a，哪个大？ 数学需要严格的推理依据 1.7.2013 好，看完了赵爽弦图的故事，我们来思考一个问题：两个数的大小关系，到底该怎么严格比较？ 我们都知道 3 大于 2，这是凭直觉就能判断的。但如果换成两个代数式呢？比如 a²+1 和 2a，哪个大？这时候凭感觉可不行——数学需要严格的推理依据。 那到底该怎么比较呢？我们接下来就来学习一种非常重要的方法——作差法。 ‹#› 探究活动 · 观察与思考 仔细观察弦图，你能发现什么？ 赵爽弦图 带着问题看图： 3 大正方形的边长为 ，四个直角三角形的直角边分别为 a,b。大正方形的面积显然大于四个直角三角形的面积之和，即 a2+b2>2ab。当直角边相等时，中间的小正方形缩成一个点，此时 a2+b2=2ab。 那么，如何用代数方法严格证明 a2+b2≥2ab呢？ 1.7.2013 好，现在请大家仔细观察大屏幕上的赵爽弦图，带着三个问题来看： 第一，大正方形的边长是多少？第二，四个直角三角形的直角边分别是多少？第三，大正方形的面积和四个直角三角形的面积之和，谁大谁小？ 请大家先自己想一想，把答案写在草稿纸上。不要急着翻书，也不要急着问同桌。给大家一分钟时间。 好，时间到。我们下一页一起来揭晓答案。 ‹#› 活动一 · 从弦图看世界 从弦图的面积关系，我们能发现什么？ 赵爽弦图 大正方形由四个直角三角形拼成 观察弦图，你能写出面积关系吗？ 大正方形边长为 c，面积为： 四个直角三角形面积和为： 大正方形面积 > 四个三角形面积和 当 a = b 时，中间小正方形缩成一点，此时 c² = 2ab 1.7.2013 好，时间到。我们一起来揭晓答案。 首先，大正方形的边长是多少？对，是 c，因为斜边就是大正方形的边。所以大正方形的面积就是 c²。 然后，四个直角三角形的面积和是多少？每个直角三角形的两条直角边是 a 和 b，所以每个三角形的面积是二分之一 ab，四个三角形就是 4 乘以二分之一 ab，等于 2ab。 那大正方形的面积和四个三角形的面积和，谁大谁小呢？很明显，大正方形把四个三角形都包在里面了，所以大正方形的面积一定大于四个三角形的面积和。也就是 c² > 2ab。 不过这里要注意一个特殊情况：当 a = b 的时候，中间的小正方形就缩成了一个点，这时候大正方形的面积就正好等于四个三角形的面积和，也就是 c² = 2ab。 ‹#› 核心方法 · 作差法 作差法：比较大小的“根本依据” 比较两个实数 a 与 b 的大小，只需判断它们的差 a - b 与 0 的大小关系： 等价于 等价于 等价于 1.7.2013 好，刚才我们从弦图里发现了 c² > 2ab。那这个结论是怎么得出来的呢？其实背后有一个非常重要的数学方法，叫做"作差法"。 作差法的原理非常简单：要比较两个实数 a 和 b 的大小，我们只需要判断它们的差 a - b 与 0 的大小关系。 如果 a - b > 0，那就说明 a 比 b 大。如果 a - b = 0，那就说明 a 等于 b。如果 a - b < 0，那就说明 a 比 b 小。 大家发现了吗？"0" 就是正负数的分界点，是我们比较大小的"标杆"。有了这个方法，我们就可以把比较大小的问题，转化为判断差的正负问题——这就好办多了！ ‹#› 核心方法 · 作差法 作差法：比较大小的“根本依据” 计算 a2+b2−2ab的结果 “0” 就是正负数的分界点，是我们比较大小的“标杆”—— 把比较大小的问题，转化为判断差的正负问题。 ∵平方非负 ∴差值≥0 ∴a2+b2≥2ab (a-b)2 1.7.2013 好，刚才我们从弦图里发现了 c² > 2ab。那这个结论是怎么得出来的呢？其实背后有一个非常重要的数学方法，叫做"作差法"。 作差法的原理非常简单：要比较两个实数 a 和 b 的大小，我们只需要判断它们的差 a - b 与 0 的大小关系。 如果 a - b > 0，那就说明 a 比 b 大。如果 a - b = 0，那就说明 a 等于 b。如果 a - b < 0，那就说明 a 比 b 小。 大家发现了吗？"0" 就是正负数的分界点，是我们比较大小的"标杆"。有了这个方法，我们就可以把比较大小的问题，转化为判断差的正负问题——这就好办多了！ ‹#› 小试牛刀 · 课堂练习 你会用“作差法”比较大小了吗？ 练习1 比较 与 的大小。 提示：作差 → 配方 → 判断符号 想一想：x²+1 - 2x 能写成什么形式？ 练习2 比较 与 的大小。 提示：先展开两个式子，再作差 算一算：它们的差是正数还是负数？ 1.7.2013 好，刚才我们用弦图验证了作差法的威力。现在轮到你们自己动手了。 请大家在草稿纸上完成这两个练习。第一题，比较 x²+1 与 2x 的大小。提示一下：作差之后，能不能写成一个完全平方？ 第二题，比较 (x+1)(x+5) 与 (x+3)² 的大小。这个需要先展开，再作差，最后判断符号。 给大家三分钟时间，做完的同学可以和同桌互相检查一下。我们下节课公布答案。 ‹#› 温故知新 · 回顾旧知 先回忆一下：等式有哪些基本性质？ 性质1 对称性：若 ，则 性质2 传递性：若 ，则 性质3 可加性：若 ，则 性质4 可乘性：若 ，则 性质5 可除性：若 ，则 a/c = b/c 思考：把 “=”换成 “>”，这些性质还成立吗？ 1.7.2013 在学习新内容之前，我们先回忆一下初中就学过的等式的基本性质。 有对称性：如果 a 等于 b，那么 b 等于 a。有传递性：如果 a 等于 b，b 等于 c，那么 a 等于 c。有可加性：两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。有可乘性：两边同时乘以同一个数，等式仍然成立。还有可除性：两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 那现在问题来了：如果把等式中的等号换成大于号，这些性质还成立吗？请大家先独立思考一分钟，然后在小组内交流一下你的猜想。注意，这里面有一个"暗礁"，大家要小心！ ‹#› 活动二 · 类比推理 从等式到不等式：我们能“类比”出什么？ 等式的基本性质 性质1（对称性）：若 a = b，则 b = a 性质2（传递性）：若 a = b，b = c，则 a = c 性质3（可加性）：若 a = b，则 a ± c = b ± c 性质4（可乘性）：若 a = b，则 ac = bc 性质5（可除性）：若 a = b，c ≠ 0，则 a/c = b/c → 不等式也有类似性质吗？ 猜想1：若 a > b，则 b < a？ 猜想2：若 a > b，b > c，则 a > c？ 猜想3：若 a > b，则 a ± c > b ± c？ 猜想4：若 a > b，则 ac > bc？ 猜想5：若 a > b，c ≠ 0，则 a/c > b/c？ 1.7.2013 好，刚才我们回顾了等式的五条基本性质。现在问题来了：如果把等式换成不等式，这些性质还成立吗？ 我们来做一个类比猜想。左边是等式的五条性质，右边是我们的猜想。 比如对称性：如果 a 等于 b，那么 b 等于 a。那如果 a 大于 b，是不是就有 b 小于 a？这个好像是对的。 再比如传递性：如果 a 等于 b，b 等于 c，那么 a 等于 c。那如果 a 大于 b，b 大于 c，是不是就有 a 大于 c？这个好像也对。 但是，这里面有一个"暗礁"，大家发现了吗？我们下一页就来揭开这个暗礁！ ‹#› 易错警示 · 关键暗礁 同乘一个负数，不等号方向要改变！ 两边同乘正数 c > 0 若 则 ✓ 不等号方向不变 两边同乘负数 c < 0 若 则 ⚠ 不等号方向必须改变！ 举个例子：3 > 2，两边同乘 -1，得到 -3 < -2 —— 方向反过来了！ 1.7.2013 好，刚才我们类比了等式的性质，发现大部分都成立。但是！这里面有一个"暗礁"，大家发现了吗？ 就是两边同时乘一个数的时候。如果乘的是正数，那不等号方向不变。比如 a 大于 b，c 大于 0，那 ac 就大于 bc。这个和等式是一样的。 但是！如果乘的是负数，那就不一样了！比如 a 大于 b，c 小于 0，那 ac 就小于 bc。为什么？因为负数会"翻转"大小关系。 举个最简单的例子：3 大于 2，这个大家都知道。但是两边同时乘以 -1，就变成了 -3 小于 -2。大家看，方向反过来了！ 这就是不等式性质中最容易出错的地方，大家一定要记住：乘负数，不等号方向要改变！ ‹#› 火眼金睛 · 易错辨析 判断对错：你能找到这些“坑”吗？ 1 若 ，则 。 提示：想一想，c 可能是什么数？ 2 若 ，则 。 提示：举个反例试试，比如 -1 > -2？ 3 若 ，则 。 提示：两边同时减一个数，方向变不变？ 1.7.2013 学完了不等式的性质，我们来做几个判断题，看看大家有没有真的掌握。 第一题：如果 a 大于 b，那么 ac 大于 bc。对吗？想一想，c 可能是什么数？如果 c 是负数呢？ 第二题：如果 a 大于 b，那么 a² 大于 b²。对吗？举个反例试试，比如 -1 大于 -2，那 (-1)² 和 (-2)² 谁大？ 第三题：如果 a 大于 b，那么 a-c 大于 b-c。对吗？两边同时减一个数，不等号方向变不变？ 请大家在草稿纸上写出你的判断和理由，同桌互相讨论一下。 ‹#› 环节三 · 实战演练 例题精讲：不等式的证明 已知： 求证： 证明： 第一步：∵ a > b > 0，所∴ab > 0，两边同除以 ab，得： 　　　　（除以正数，方向不变） 第二步：又∵ c < 0，两边同乘负数 c，不等号方向改变： 　　　　∴（乘负数，方向改变） 1.7.2013 好，学完了不等式的性质，我们来看一道经典的例题。 已知条件是什么？a 大于 b 大于 0，c 小于 0。要我们求证什么？求证 c/a 大于 c/b。 这个怎么证呢？我们一步一步来。第一步，因为 a 大于 b 大于 0，所以 ab 肯定是正数。两边同时除以 ab，不等号方向不变，就得到 1/a 小于 1/b。 第二步，又因为 c 是负数，两边同时乘以 c，注意！乘的是负数，所以不等号方向要改变！就得到 c/a 大于 c/b。 大家看，这道题的关键在哪里？就在最后一步——乘负数，不等号方向要改变！这就是我们刚才强调的"暗礁"，一不小心就会掉进去。 ‹#› 方法提炼 · 解题步骤总结 不等式证明：三步走 1 看条件：判断各字母的正负 先弄清楚哪些是正数，哪些是负数——这是所有变形的基础。 2 选性质：选择合适的不等式性质 根据条件，选择可加性、可乘性或传递性，一步一步变形。 3 查方向：每一步都要检查不等号方向！ 特别是乘除负数的时候，千万别忘了——不等号方向要改变！ 1.7.2013 好，刚才我们做完了例题，现在来总结一下不等式证明的通用步骤，就三步。 第一步，看条件。先弄清楚题目里给的各个字母，哪些是正数，哪些是负数。这是所有变形的基础，搞错了正负，后面全错。 第二步，选性质。根据条件，选择合适的不等式性质——可加性、可乘性或者传递性，一步一步地把结论推出来。 第三步，查方向。这是最关键的一步！每做完一步变形，都要检查一下不等号的方向对不对。特别是乘除负数的时候，千万别忘了——不等号方向要改变！ 记住这三步，再难的证明题，也能一步一步推出来。 ‹#› 环节三 · 实战演练 生活中的不等式：杂志定价问题 问题背景 某杂志原价每本 2.5 元，可售出 8 万本。 若每提价 0.1 元，销量就减少 2000 本。 问：定价为多少时，总收入不低于 20 万元？ 思考提示 1. 设提高 x 个 0.1 元，单价和销量怎么表示？ 2. 总收入 = 单价 × 销量，怎么列不等式？ 3. 你能解出这个不等式吗？ 1.7.2013 学完了不等式的性质，我们来看看生活中的一个实际问题。 某杂志原价每本 2.5 元，这时候可以卖出 8 万本。但是老板想涨价，每提价 0.1 元，销量就会减少 2000 本。问：定价为多少时，总收入不低于 20 万元？ 大家先思考一下，怎么把这个实际问题转化成数学问题。 第一个提示：我们可以设每本定价提高了 x 个 0.1 元，那单价怎么表示？销量又怎么表示？ 第二个提示：总收入等于单价乘以销量，题目要求总收入不低于 20 万元，怎么列出不等式？ 第三个提示：你能解出这个不等式吗？ 给大家三分钟时间，先自己做一做，下一页我们公布解答。 ‹#› 问题解答 · 建模全过程 杂志定价问题：列不等式并求解 解：设每本定价提高了 x 个 0.1 元 新单价：2.5 + 0.1x （元） 新销量：8 - 0.2x （万本） 总收入：(2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x) （万元） 根据题意，总收入不低于 20 万元： 　　　　(2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x) ≥ 20 展开整理得：x² - 30x + 100 ≤ 0 解得：x ≈ 3.8 或 x ≈ 26.2 结论：定价在 2.88 元到 5.12 元之间时，总收入不低于 20 万元。 1.7.2013 好，刚才给了大家三分钟时间思考，现在我们一起来解答这道题。 第一步，设未知数。我们设每本定价提高了 x 个 0.1 元。那新单价是多少？就是 2.5 + 0.1x 元。新销量呢？原来卖 8 万本，每提价 0.1 元就少卖 2000 本，也就是 0.2 万本，所以新销量就是 8 - 0.2x 万本。 第二步，列不等式。总收入等于单价乘以销量，题目要求总收入不低于 20 万元，所以我们列出不等式：(2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x) ≥ 20。 第三步，解不等式。展开整理一下，得到 x² - 30x + 100 ≤ 0。解这个二次不等式，得到 x 大约在 3.8 到 26.2 之间。 所以，定价在 2.88 元到 5.12 元之间时，总收入都不低于 20 万元。大家看，这就是不等式在实际生活中的应用！ ‹#› 环节四：迁移创新-思维飞跃 城市规划：用数学思维设计美好生活 请各小组结合“交通规划”或“商业投资”场景，创编一个包含不等式性质的实际问题，并尝试给出初步的解决方案。 1.7.2013 好，刚才给了大家三分钟时间思考，现在我们一起来解答这道题。 第一步，设未知数。我们设每本定价提高了 x 个 0.1 元。那新单价是多少？就是 2.5 + 0.1x 元。新销量呢？原来卖 8 万本，每提价 0.1 元就少卖 2000 本，也就是 0.2 万本，所以新销量就是 8 - 0.2x 万本。 第二步，列不等式。总收入等于单价乘以销量，题目要求总收入不低于 20 万元，所以我们列出不等式：(2.5 + 0.1x)(8 - 0.2x) ≥ 20。 第三步，解不等式。展开整理一下，得到 x² - 30x + 100 ≤ 0。解这个二次不等式，得到 x 大约在 3.8 到 26.2 之间。 所以，定价在 2.88 元到 5.12 元之间时，总收入都不低于 20 万元。大家看，这就是不等式在实际生活中的应用！ ‹#› 课堂小结 · 知识梳理 本节课你学到了什么？ 作差比较法 核心原理： a - b > 0 ⟺ a > b a - b = 0 ⟺ a = b a - b < 0 ⟺ a < b 四步走： 作差 → 变形 → 判号 → 定论 不等式性质 对称性：a > b ⟺ b < a 传递性：a > b, b > c ⇒ a > c 可加性：a > b ⇒ a ± c > b ± c 可乘性： c > 0 ⇒ ac > bc c < 0 ⇒ ac < bc（变号！） 数学思想方法 类比推理： 等式性质 → 不等式性质 数形结合： 弦图直观验证代数结论 数学建模： 实际问题 → 不等式模型 1.7.2013 好，这节课我们学了很多内容，现在一起来梳理一下。 第一块知识是作差比较法。它的核心原理是什么？就是 a 减 b 大于 0，等价于 a 大于 b；a 减 b 等于 0，等价于 a 等于 b；a 减 b 小于 0，等价于 a 小于 b。用四步走：作差、变形、判号、定论。 第二块知识是不等式的基本性质。有对称性、传递性、可加性、可乘性。其中最容易出错的是可乘性：乘正数，方向不变；乘负数，方向一定要改变！ 第三块是数学思想方法。我们用了类比推理，从等式性质类比到不等式性质；用了数形结合，从赵爽弦图直观地验证了代数结论；还用了数学建模，把杂志定价的实际问题转化成了不等式问题。 这些知识和方法，大家课后一定要好好复习。 ‹#› 课后作业 · 巩固提升 作业布置：基础+拓展 必做题（基础巩固） 1.基础巩固：教材P42练习第1、2、3题。 2.能力提升：教材P43习题2.1综合运用第7、8题。 要求： · 写出完整解题过程 · 注意不等号方向是否改变 创新迁移题 结合家庭日常开支或商场购物优惠，创编一个包含不等式性质的实际应用题，下节课分享。 1.7.2013 好，这节课就上到这里。最后布置一下课后作业。 必做题是教材第 42 页练习的第 1、2、3 题，还有第 43 页习题 2.1 的第 7、8 题。要求大家写出完整的解题过程，特别要注意不等号方向有没有改变，下节课课前上交。 选做题是一道创新迁移题：请大家自己编一道"生活中的不等式"应用题。要有真实背景，能列出不等式，下节课我们一起来分享交流。 大家课后一定要认真完成，特别是选做题，开动脑筋，看看你身边有哪些问题可以用不等式来解决。 好，这节课就到这里，同学们下课！ ‹#› 第二章 一元二次函数、方程和不等式 下节课再见 等式性质与不等式性质 人教高中A版必修一数学 1.7.2013 同学们好，今天我们一起来学习第二章第一节的内容——等式性质与不等式性质。 在开始之前，我想请大家思考一个问题：我们生活的世界，到处都充满了"多与少、大与小、长与短"，这些不等关系到底该怎么用数学来精确刻画呢？ 这节课，我们就从古代数学家赵爽的"弦图"出发，一起去寻找刻画这种"平衡与秩序"的数学密码。 ‹#› $