2.1等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，涵盖不等关系表示、作差法比较大小及重要不等式等核心内容。通过回顾初中函数与方程知识，结合限速、酸奶质量检查等现实问题情境导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题情境驱动，如用不等式组表示矩形地基条件，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过作差法证明重要不等式及赵爽弦图探究，发展数学思维与推理能力。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学素材，提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 引入 相等关系和不等关系是数学中最基本的数学关系，我们利用这两种关系可以构建方程、不等式，再通过方程、不等式来解决数学内外的各种问题。 在初中，我们已经学过了一次函数、方程和不等式，以及二次函数、一元二次方程，知道了方程(组)、不等式和函数具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来。 本章将围绕不等式展开主要内容，包括用不等式刻画不等关系、不等式的性质，并对两类不等式——基本不等式和一元二次不等式进行研究。 概念解析 不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________. 不等式　 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢，涨与跌、轻与重、不超过与不少于等。类似于这样的问题，反应在数量上，就是相等与不等。 相等用等式表示，不等用不等式来表示。 问题情境 问题1、你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 1、某路段限速40km/h； 2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 .  跟踪训练 1、(P40T1)用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍。 绿地 仓 库 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式)。这是解决不等式问题的常用方法 思考 : (1)若提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量是多少？ (2)如何用不等式表示提价后的销售总收入不低于20万元？ (3)怎样才能得到杂志定价的范围？ 问题情境 问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 我们已经知道，解方程要用到等式的性质，类似地，解不等式就要用到不等式的性质。因此，接下来就需要探究不等式的性质。 问题与探究 在初中我们已经归纳出一些不等式性质，这些性质为什么对，还有没有其他不等式的性质，要弄清这些问题就要用到关于两个实数大小关系的基本事实。 a－b＞0 a＞b a－b＜0 a＜b. a－b＝0 a＝b 问题4、事实上，我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？如何用数学语言描述这个基本事实？ 问题3、在初中，两个实数的大小关系是如何规定的？ 根据它们在数轴上位置，从左到右，依次增大 两个实数的大小关系的基本事实 a＞b a<b a＝b b a a b a(b) 从上述基本事实可知： 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.（作差法） 典型例题 例1、比较(x＋2)(x＋3)与(x＋1)(x＋4)的大小 解：因为 (x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4) ＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)  ＝2＞0 所以 (x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4) 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式)。这是解决不等式问题的常用方法 典型例题 例2、已知x＜0，y＜0，比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小． 解：(x2－y2)(x＋y)－(x2＋y2)(x－y) ＝(x＋y)(x－y)(x＋y)－(x2＋y2)(x－y) ＝(x－y)[(x＋y)2－(x2＋y2)] ＝2xy(x－y) ∵x＜0，y＜0，∴xy＞0， ∴当x＞y时，2xy(x－y)＞0，(x2－y2)(x＋y)＞(x2＋y2)(x－y) 当x＝y时，2xy(x－y)＝0，(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y) 当x＜y时，2xy(x－y)＜0，(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y) 作差法 归纳总结 差值法比较大小的一般步骤 (1)作差： (2)变形： (3)定号： (4)作结论： 目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 跟踪训练 1、(P40T2)比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小； 2、(P40T3)已知a＞b，证明 1、解：(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)  ＝－3＜0 所以(x＋3)(x＋7)＜(x＋4)(x＋6) 2、解：∵a＞b， ＞0， ＞0， 问题与探究 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 问题5、这个会标中含有怎样的一些几何图形？ 问题6、你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？(比如从面积的角度) 4个全等的直角三角形 1大1小的两个正方形 阅读材料 问题与探究 若设直角三角形的两直角边分别为a，b，则 (1)四个直角三角形的面积和S'＝_____; (2)正方形ABCD的面积S＝________； (3)从图上看，S与S'有什么样的不等关系，如何表示？ (4)若a＝b，则右上图就变化为右下图，此时以上不等式会发生怎样的变化？ S大于S'，即 a2＋b2＞2ab 当a＝b时，正方形ABCD的面积等于S四个直角三角形的面积和S'，即 a b 综上，a2＋b2≥2ab 以上的a，b均为正数，实际上，a，b为任意实数时，此不等式也成立。 2ab a2＋b2 A B C D a2＋b2＝2ab A B C D 重要不等式 一般地，∀∈a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 问题7、你能证明这个不等式吗？ 证明：∵(a2＋b2)－2ab ＝(a－b)2 ∴当a≠b时，(a－b)2＞0 当a＝b时，(a－b)2＝0 ∴(a2＋b2)－2ab≥0 当且仅当a＝b时，等号成立. 课堂小结 1、不等式与不等关系 (1)不等式的定义所含的两个要点. ①不等符号>，<，≥，≤或≠. ②所表示的关系是不等关系. (2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换. 文字语言 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 > ≥ < ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 课堂小结 2、两个实数大小关系的基本事实 3、重要不等式 一般地，∀∈a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 阅读材料 赵爽，又名婴，字君卿，生平不详（约182---250年）。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家 据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。他在为《周髀算经》作序时，创制了“勾股圆方图”。以弦为边长的正方形由四个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。赵爽弦图证法的基本思想是图形经过割补后面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理。赵爽在《周髀算经》注释中给出了证明：“句股各自乘，併之为弦实，开方除之即弦”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。 作业： A本P42页习题2.1第3、4题 完成金版P32-34 预习第二课时的内容 $