精品解析：安徽省合肥市庐阳中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

庐阳中学2024-2025学年度第一学期期中绿色评价 九年级数学试卷 （考试时间；120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 3. 当时，函数函数值是（　　） A. 1 B. C. 3 D. 2 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（　　） A. 如果，那么C是线段的黄金分割点 B. 如果，那么C是线段的黄金分割点 C. 如果，那么C是线段的黄金分割点 D. 如果，那么叫做黄金比 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【 】 A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点H，若，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移4个单位，若点M为二次函数图象在部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分） 11. ，，则___________； 12. 已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围为__________． 13. 已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量x的取值范围是___________； 14. 如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则___________； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下___________ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 16. 已知与x成正比例，与x成反比例，函数的图像经过点、，求y与x的函数关系式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象写出当反比例函数值小于一次函数值时的取值范围； （3）连接，，求的面积 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量件与售价元的相关信息如下： 售价x(元) … 销售量y(件) … （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 (填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个函数解析式为 ． （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 20. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）求B到的距离； （3）直接写出长． 22. 抛物线上有点和，与y轴交于点，对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线解析式； （2）若，试求的取值范围． 23. 正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， （1）求证：； （2）试证：； （3），当E在上运动时，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庐阳中学2024-2025学年度第一学期期中绿色评价 九年级数学试卷 （考试时间；120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、，未知数的最高次数是3，不符合题意； C、，符合题意； D、，等号右边不是整式，不符合题意， 故选：C． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 3. 当时，函数函数值是（　　） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：将代入，则， 故选：A． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，点不满足关系式，因此A选项不符合题意； ； 它的图象在第一、三象限，因此选项符合题意； 当时，它的图象在第三象限，随的增大而增小，因此C选项不符合题意； 当时，它的图象在第一象限，随的增大而增小，因此D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，以及比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据题意可得，则，据此对每个选项进行对比变形即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，故B符合题意，A不符合题意； C、，则，故C不符合题意； D、，则，则，故不符合题意， 故选：B． 6. 已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（　　） A. 如果，那么C是线段的黄金分割点 B. 如果，那么C是线段的黄金分割点 C. 如果，那么C是线段的黄金分割点 D. 如果，那么叫做黄金比 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于概念理解类题目，解题的关键是掌握黄金分割的定义“若点C把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，且”；根据黄金分割的定义，分别对各个选项进行判断，问题即可得解． 【详解】解：根据黄金分割的定义可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＜0． ∵与y轴的正半轴相交， ∴c＞0． ∴的图象经过第一、三、四象限；反比例函数图象在第一、三象限，只有B选项图象符合． 故选B． 8. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点H，若，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质．根据可得，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 根据点C是的中点，根据三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，轴，以及，进而即可求解． 【详解】解：点C是的中点， ∴， ∴ ∴ 点B在双曲线上，轴， ∴ 双曲线经过第一象限 故选：B． 10. 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移4个单位，若点M为二次函数图象在部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及平移，坐标中两点之间的距离，理解题意，得出相应的新的函数的性质是解题关键． 根据题意得出抛物线的解析式为，然后确定平移后的解析式，设点，确定，令，根据新函数的增减性得出当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 将此函数向下平移4个单位后的解析式为：， 设点， ∴， ∵令， ∵， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最小值， 最小值为：， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分） 11. ，，则___________； 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比的等比性质，对于，则，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 12. 已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 13. 已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量x的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵抛物线，过，且对称轴是直线 ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则___________； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下___________ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加平行线构造相似三角形是解题的关键．①过点A作平行线交延长线于点H，得到，根据对应边成比例即可已知条件即可求解；过点G作交于点P，得到，，根据对应边成比例即可已知条件即可求解． 【详解】解：①过点A作平行线交延长线于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：； ②过点G作交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 16. 已知与x成正比例，与x成反比例，函数的图像经过点、，求y与x的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，再代入点、解方程组即可． 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4． 【解析】 【分析】（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 设，， ， ， ， ，； （2）是的比例中项， ， 是线段，， ． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象写出当反比例函数值小于一次函数值时的取值范围； （3）连接，，求的面积 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为 （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积以及观察函数图象的能力． （1）先把点坐标代入，求出得反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定点的坐标为，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，即反比例函数的值小于一次函数的值； （3）先求出点的坐标，再根据三角形的面积公式求出三角形和三角形的面积，相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 所以反比例函数解析式为； 把代入， 得，解得， 则点的坐标为． 把，代入，得，解得， 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； 【小问3详解】 解：设直线与轴的交点为， ， 时，， ，即， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量件与售价元的相关信息如下： 售价x(元) … 销售量y(件) … （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 (填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个函数解析式为 ． （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】（1）一次函数； （2）售价定为元时，月销售利润达到最大 【解析】 【分析】（1）由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元，所以这个函数是一次函数，然后待定系数法求解析式即可求解； （2） 设利润为，则，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元，所以这个函数是一次函数， 设其解析式为， 根据题意，得 解得 ∴， 故答案为：一次函数；； 【小问2详解】 设利润为，则， ∵获利不得高于进价的， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为元时，月销售利润达到最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 20. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点C作交于点F， ∵是外角的平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）过点C作交于点F，则可证明，，由对应边成比例即可求证； （3）先由勾股定理得，设，则由，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴由勾股定理得， 设，则由， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21. 如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）求B到的距离； （3）直接写出长． 【答案】（1）直线的解析式为；反比例函数的解析式为 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把点A的坐标代入，即可得到结论； （2）根据中心对称的性质，再求出B到的距离即可； （3）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为， 根据中心对称可得， ∴B到的距离为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵对角线垂直于x轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 22. 抛物线上有点和，与y轴交于点，对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线解析式； （2）若，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将和代入，则，则，再根据不等式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当，时， 则，，， 分别代入， 得 解得：， ∴ 解析式为：； 【小问2详解】 解：将和代入， 得， ∵， ∴， 由，得， 由，得， ∴， ∴且， 即． 23. 正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， （1）求证：； （2）试证：； （3），当E在上运动时，试求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①②得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数最值，正方形的性质，熟练掌握知识点，运用相似三角形的判定与性质时解题的关键． （1）根据四边形是正方形，得到，故，而，则，即可求证； （2）由，，由，得到，由①②得：，故，化简即可求证； （3）设，则由得，则，故此时，再利用二次函数求最值即可解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则由 得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴当时，取得最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $