第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线的性质（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学14.3角的平分线的性质（第1课时）同步练，新授课场景，分层递进设计适配差异化教学，通过概念唤醒-基础巩固-能力拓展路径强化知识内化，渗透几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|角平分线性质定义、符号语言、简单应用|以填空/选择/操作题为主，如尺规作图验证性质，强化概念理解与几何直观| |能力提升|性质与全等、面积计算综合应用|含多步证明（如EB=FC）、面积推导题，发展推理能力与问题解决能力| |拓展探究|实际情境中的性质迁移应用|结合平分角仪器原理、平行线间距离计算，培养应用意识与创新思维|

14.3 角的平分线的性质（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； ②"距离"是指点到直线的垂线段长度； ③符号语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； ④应用：证明线段相等、求距离。 2. 与本节课相关的旧知识：角平分线的定义、点到直线的距离。 3. 预习时遇到的疑问：角平分线上的点到角两边的距离为什么相等？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①"距离"是垂线段长度，不是任意线段长度； ②必须有"垂直"条件才能用性质； ③角平分线性质是证明线段相等的重要方法。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 角平分线上的点到角两边的____相等。 2. OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，则PD____PE。 3. 角平分线的性质定理的题设是____，结论是____。 4. P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，则图中相等的垂线段是____=____。 5. 到角两边距离相等的点，在____上。 6. 利用角平分线的性质，可以证明两条____相等。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC。在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试。 2. 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证：PD=PE。 证明： 3. 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm。 4. 如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论错误的是（　　） A．PD=PE　　B．OD=OE　　C．∠DPO=∠EPO　　D．PD=OD 5. 如图2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（　　） A．5cm　　B．4cm　　C．3cm　　D．2cm 6. 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm　　B．3cm　　C．4cm　　D．5cm 7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E、F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=______度，BE=______。 8. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是______。 9. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　） A．SSS　　B．ASA　　C．AAS　　D．角平分线上的点到角两边的距离相等 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：EB=FC。 证明： 2. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14。 （1）则点P到AB的距离为______； （2）求△APB的面积； （3）求△PDB的周长。 3. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（　　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？ 2. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离。 证明： 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线，并书写主要步骤。 2. 尺规作图：已知平角∠AOB，求作平角∠AOB的角平分线。 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 14.3 角的平分线的性质（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 二、基础随堂自检 1. 距离 2. = 3. 点在角平分线上；到角两边距离相等 4. PD，PE 5. 角的平分线 6. 垂线段（距离） 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1. 实际操作略。结论：角平分线上的点到角两边的距离相等（PD=PE）　2. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°。又∠AOC=∠BOC（已知），OP=OP（公共边），∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE　3. 4（PE=PD=4cm，角平分线性质）　4. D（由角平分线性质PD=PE，Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）可得OD=OE、∠DPO=∠EPO，而PD=OD不一定成立）　5. C（点D到AB的距离DE=CD=3cm）　6. B（AE+DE=AE+CE=AC=3cm）　7. 60；BF（DE=DF，DB平分∠ABG，Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）得BE=BF）　8. 3（CD=BC-BD=3，点D到AB的距离=CD=3）　9. A（SSS：OM=ON，CM=CN，OC=OC，△OMC≌△ONC） ★★ 能力提升 1. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠BED=∠CFD=90°。在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴EB=FC　2. （1）4（过P作PD⊥AB于D，则PD=PC=4）；（2）S△APB=½×AB×PD=½×14×4=28；（3）∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°。在Rt△PDB中，PD=4，∠B=45°，∴BD=PD=4，PB=4√2，∴△PDB的周长=4+4+4√2=8+4√2　3. D（S△ABD=½×AB×DE=½×4×2=4，S△ACD=S△ABC-S△ABD=7-4=3=½×AC×2，得AC=3） ★★★ 拓展探究 1. AE是角平分线。理由：在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，即射线AE（AC）平分∠BAD　2. 6。理由：过P作PF⊥AD于F、PG⊥BC于G。∵P在∠BAD的平分线上且PE⊥AB、PF⊥AD，∴PF=PE=3；又P在∠ABC的平分线上且PE⊥AB、PG⊥BC，∴PG=PE=3。∵AD∥BC，AD与BC之间的距离等于PF+PG=3+3=6 五、学以致用 1. 作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N；②分别以M、N为圆心，大于½MN的长为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。依据：SSS（OM=ON，CM=CN，OC=OC，△OMC≌△ONC，故∠MOC=∠NOC）　2. 作法：①在OA、OB（即平角的两边）上分别截取OM=ON（以O为圆心，任意长为半径画弧交两边于M、N）；②分别以M、N为圆心，大于½MN的长为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC，OC即为平角∠AOB的平分线（此时OC⊥AB，∠AOC=∠BOC=90°） 学科网（北京）股份有限公司 $