专题 21.1-21.2 一元二次方程及其解法 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程及其解法核心知识点，从定义、一般形式、根的意义入手，系统梳理直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法，结合解法选择策略及根的判别式，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料含思维导图总览知识脉络，典型例题融入中考真题，分6大核心考点精讲，涵盖新定义题型（如“同伴方程”）与实际应用。通过这些设计培养学生抽象能力（数学眼光）、运算与推理意识（数学思维）及模型意识（数学语言），课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺、强化练习。

专题21.1-21.2 一元二次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 · 理解一元二次方程的根的意义，会由方程的根求待定字母的值，会解决“同伴方程”等新定义问题。 · 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程，能根据方程特点灵活选择解法。 · 了解一元二次方程根的判别式，会用判别式判断方程根的情况。 · 能应用一元二次方程解决与几何、实际生活相关的问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)x|a|−1 − x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即 a2−3a=−2。 原式 = 2(a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)2 = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☆ 6. 配方法 定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。 · 步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。 · 核心：完全平方公式 。 ☑ 典型例题 1 （2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 移项得 ，两边加9得 。 答案：A ☆ 7. 公式法（求根公式） 求根公式： 对于 （），若 ，则 · 使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。 · 时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。 ☑ 典型例题 2 （2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　） A．　　B．　　 C．　　 D． 【解析】 化为一般式：，故 ，，。 答案：B ☆ 8. 解法的选择策略 · 直接开平方法： 形如 （）。 · 因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。 · 配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。 · 公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。 ☑ 典型例题 3 （2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。 【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便） 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · 判断一元二次方程需满足：整式方程、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0。 · 注意化简后判断，如 (x-1)(x+2)=x² 化简后可能不是二次方程。 · 含字母系数的方程，注意二次项系数不为0的条件。 · 分式方程化为一元二次方程时，注意去分母后整理为一般形式。 1．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•松江区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+2＝0 B． C．（3x﹣2）（x+6）＝3x2﹣7 D． 3．（2025秋•闵行区月考）若关于x的方程（a2+1）x2﹣ax+7＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a取任意实数 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．a≠1 4．（2025秋•徐汇区校级期中）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　 　 ． 5．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是　 　 ． 【考点2】一元二次方程的根（第6-10题） · 方程的根代入原方程成立，可求待定字母的值。 · 利用整体代入求代数式的值，如由 a² - 2026a + 1 = 0 得 a² + 1 = 2026a。 · 理解“同伴方程”定义，有且只有一个公共实数根。 · 注意检验根是否满足方程有实数根的条件。 6．（2025秋•长宁区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　 　 ． 7．（2025秋•闵行区期末）关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个实数根是2，那么k的值为　 　 ． 8．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 9．（2025秋•浦东新区校级期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．若关于x的一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0是“同伴方程”，则n＝　 　 ． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 【考点3】解一元二次方程——直接开平方法（第11-16题） · 形如 (x + m)² = n，直接开平方；若 n ≥ 0，得两个解；若 n < 0，无实数根。 · 注意方程两边同时开平方时，不要遗漏负的情况。 · 新定义运算转化为一元二次方程后，可能用直接开平方法求解。 · 分类讨论：二次项系数含字母时，注意方程是否有实数根。 11．（2025秋•闵行区校级期末）方程（x﹣1）2﹣49＝0的解是　 　 ． 12．（2025秋•虹口区校级期中）对实数a、b，定义运算a*b＝ab2，已知3*m＝18，则m的值为　 　 ． 13．（2024秋•闵行区校级期中）已知关于x的方程（x﹣1）2＝1﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 　 　 ． 14．（2026春•浦东新区校级期中）解关于x的方程：ax2+3＝1（a≠0）． 15．（2025秋•静安区校级月考）解方程：． 16．（2024秋•上海校级月考）解方程：． 【考点4】解一元二次方程——因式分解法（第17-28题） · 先移项使右边为0，再提取公因式或利用平方差、完全平方公式。 · 十字相乘法适用于二次三项式，注意符号。 · 新定义运算转化为一元二次方程后，先整理再因式分解。 · 分式方程去分母后可能得到一元二次方程，注意验根。 17．（2025秋•黄浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，就把这两个方程称为“同伴方程”．如方程x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，这两个方程就是“同伴方程”．若有关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且该方程与（x﹣n）（x+2）＝0是“同伴方程”，则n的值为（　　） A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．2 18．（2024秋•长宁区校级期末）一元二次方程2x2+x＝0的根是　 　 ． 19．（2025秋•浦东新区校级期末）如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和，那么多项式2x2+mx+1可分解为　 　 ． 20．（2025秋•虹口区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该三角形的周长为　 　 ． 21．（2024秋•浦东新区校级期末）方程x（x+2）＝5（x+2）的解是 　 　 ． 22．（2025秋•浦东新区校级期中）定义新运算：a*b＝a2+ab﹣2．例如：2*3＝22+2×3﹣2＝8，则关于x的方程x*（﹣4）＝3的解为　 　 ． 23．（2025秋•闵行区校级期末）解方程：2（x﹣4）2＝x2﹣16． 24．（2026•闵行区三模）解方程：． 25．（2024秋•徐汇区校级期末）解方程：2x2﹣x﹣6＝0． 26．（2025秋•普陀区期末）解方程：． 27．（2025秋•青浦区校级期中）解方程：． 28．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程：x2+5x﹣m2+m+6＝0． 【考点5】解一元二次方程——配方法（第29-36题） · 步骤：二次项系数化1 → 移项 → 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 开方。 · 注意符号变化，如 -3x² + 4x + 2/3 = 0 先化二次项系数为1。 · 配方后若右边为负数，则方程无实数根。 · 配方法也可用于求代数式的最值。 29．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 30．（2024秋•嘉定区校级月考）用配方法解方程x2+8x﹣3＝0，方程变形为（x+p）2＝q，则p+q＝（　　） A．25 B．24 C．23 D．22 31．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　 　 ． 32．（2025秋•闵行区期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0时，将它配成（x+m）2＝n的形式是　 　 ． 33．（2026春•杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0． 34．（2025秋•宝山区校级期末）用配方法解方程：5x2+2x﹣1＝0． 35．（2025秋•徐汇区校级月考）2x2﹣4x﹣1＝0． 36．（2025秋•闵行区校级期中）解方程：（配方法）． 【考点6】解一元二次方程——公式法（第37-44题） · 先化为一般式，确定 a、b、c 的值（注意符号）。 · 计算判别式 Δ = b² - 4ac，判断根的情况。 · 代入求根公式 x = [-b ± √Δ]/(2a)，注意分母是 2a。 · 由求根公式反推方程时，对照系数即可。 · 含参方程需注意二次项系数不为0，以及根的条件。 37．（2026秋•桥东区月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了a、b、c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 38．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 39．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　 　 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①*2；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1，x2． 40．（2026春•海淀区校级期末）若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根，则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0的根为　 　 ． 41．（2024秋•郓城县期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x的解为 　 　 ． 42．（2026秋•同步）用公式法解下列方程： （1）x2+x﹣1＝0； （2）； （3）； （4）； （5）（2x+1）（4x﹣2）＝（2x﹣1）2+1； （6）x2﹣2ax﹣b2+a2＝0（a，b为常数）． 43．（2026秋•同步）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 44．（2025春•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 课后巩固 · 针对性练习 概念优先：准确判断一元二次方程，注意二次项系数不为0，先化简再判断。 解法灵活：根据方程特点选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法；公式法是通法，配方法是基础。 根的意义：方程的根代入成立，常结合整体代入求值；注意根与系数关系的使用条件。 易错提醒：直接开平方不要漏负根；因式分解不要丢根；分式方程要验根；含参方程注意分类讨论。 新定义题型：耐心读题，将新定义转化为常规一元二次方程再求解。 错题整理：将概念判断、解法选择、新定义题分类整理，避免同类错误。 【练习1】（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 【练习2】（2025秋•杨浦区校级月考）将一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（　　） A．5，﹣2 B．2，﹣3 C．﹣5，﹣1 D．6，2 【练习3】（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 【练习4】（2025秋•崇明区期末）将一元二次方程x2+4x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别是（　　） A．2，7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．﹣2，﹣7 【练习5】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为　 　 ． 【练习6】（2026•上海自主招生）a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根，则（a﹣1）（a﹣2025）＝　 　 ． 【练习7】（2025秋•闵行区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0的两个实数根分别为a、b，且满足（a﹣1）（b﹣1）+8＝0，那么实数m的值是　 　 ． 【练习8】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝　 　 ． 【练习9】（2025秋•上海校级期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为（x+a）2＝b的形式．现如果用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0，那么此时a+b的值是　 　 ． 【练习10】（2026春•兴隆台区校级期末）解下列关于x的方程 （1）4（x﹣1）2＝（x+2）2 （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0 （3）x2+8x﹣2＝0 （4）2x2﹣3x﹣4＝0． 【练习11】（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 【练习12】（2026•东港区校级开学）解下列方程： （1）（2x+3）2﹣81＝0； （2）x2+2x﹣5＝0； （3）x2+2x﹣6＝0； （4）5x（3x+2）＝6x+4． 【练习13】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【练习14】（2026春•市中区校级期末）解方程： （1）； （2）x2﹣4x+1＝0． 【练习15】（2025秋•青浦区校级月考）2x2+（3m﹣n）x﹣2m2+3mn﹣n2＝0． 【练习16】（2025秋•徐汇区校级期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1-21.2 一元二次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 · 理解一元二次方程的根的意义，会由方程的根求待定字母的值，会解决“同伴方程”等新定义问题。 · 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程，能根据方程特点灵活选择解法。 · 了解一元二次方程根的判别式，会用判别式判断方程根的情况。 · 能应用一元二次方程解决与几何、实际生活相关的问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)x|a|−1 − x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即 a2−3a=−2。 原式 = 2(a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)2 = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☆ 6. 配方法 定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。 · 步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。 · 核心：完全平方公式 。 ☑ 典型例题 1 （2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 移项得 ，两边加9得 。 答案：A ☆ 7. 公式法（求根公式） 求根公式： 对于 （），若 ，则 · 使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。 · 时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。 ☑ 典型例题 2 （2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　） A．　　B．　　 C．　　 D． 【解析】 化为一般式：，故 ，，。 答案：B ☆ 8. 解法的选择策略 · 直接开平方法： 形如 （）。 · 因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。 · 配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。 · 公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。 ☑ 典型例题 3 （2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。 【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便） 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · 判断一元二次方程需满足：整式方程、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0。 · 注意化简后判断，如 (x-1)(x+2)=x² 化简后可能不是二次方程。 · 含字母系数的方程，注意二次项系数不为0的条件。 · 分式方程化为一元二次方程时，注意去分母后整理为一般形式。 1．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析给出的六个方程，即可得出结论． 【解答】解：①∵方程x2+y＝2含有两个未知数， ∴方程x2+y＝2不是一元二次方程； ②原方程转化为一般形式得x2﹣5x＝0， ∵方程x2﹣5x＝0是一元二次方程， ∴方程x（x﹣5）＝0是一元二次方程； ③∵方程x22不是整式方程， ∴方程x22不是一元二次方程； ④∵当a＝0时方程ax2﹣3＝0不是一元二次方程， ∴方程ax2﹣3＝0（a为实数）不一定是一元二次方程； ⑤方程x2＝﹣1是一元二次方程； ⑥原方程转化为一般形式得5x﹣5＝0， ∵方程5x﹣5＝0， ∴方程x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1）不是一元二次方程． 综上所述，是一元二次方程的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及单项式乘多项式，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（2025秋•松江区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+2＝0 B． C．（3x﹣2）（x+6）＝3x2﹣7 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A、当a＝0时，ax2+2＝0不是二次方程，不符合题意； B、因为方程只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程，所以是一元二次方程，符合题意； C、将方程（3x﹣2）（x+6）＝3x2﹣7化简后得16x＝5，是一元一次方程，不符合题意； D、因为方程中含有两个未知数x和y，且不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（2025秋•闵行区月考）若关于x的方程（a2+1）x2﹣ax+7＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a取任意实数 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．a≠1 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2﹣ax+7＝0是一元二次方程， 可得a2+1不可能为0， ∴a为任意实数． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键． 4．（2025秋•徐汇区校级期中）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出a的值． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程， ∴|a|+1＝2，且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是x2﹣x﹣2＝0　 ． 【答案】x2﹣x﹣2＝0． 【分析】首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【解答】解：， ， 方程的两边同时乘（x+3）（x﹣1），得：2x+x﹣1＝（x+3）（x﹣1）， 2x+x﹣1＝x2+2x﹣3， 移项、合并得：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程转化整式方程的方法是解答本题的关键． 【考点2】一元二次方程的根（第6-10题） · 方程的根代入原方程成立，可求待定字母的值。 · 利用整体代入求代数式的值，如由 a² - 2026a + 1 = 0 得 a² + 1 = 2026a。 · 理解“同伴方程”定义，有且只有一个公共实数根。 · 注意检验根是否满足方程有实数根的条件。 6．（2025秋•长宁区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　2028　 ． 【答案】2028． 【分析】根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得a2+a﹣1＝0，即a2＝1﹣a， ∴ ＝2025+3 ＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 7．（2025秋•闵行区期末）关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个实数根是2，那么k的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得其另一个根，接着求得k的值即可． 【解答】解：设关于x的方程x2﹣4x+k＝0的另一个实数根是m， ∵该方程的一个实数根是2， ∴2m＝4， ∴m＝2， 则k＝（2）（2）＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，理解其意义是解题的关键． 8．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　2025　 ． 【答案】2025． 【分析】先理解题意，则把x＝a代入x2﹣2026x+1＝0，得a2﹣2026a+1＝0，整理得a2＝2026a﹣1，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025秋•浦东新区校级期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．若关于x的一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0是“同伴方程”，则n＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】设一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0的公共根为a，则 ，①﹣②得na﹣2a+2﹣n＝0，再分解因式得a（n﹣2）﹣（n﹣2）＝0，由此解得n＝2，a＝1，当n＝2时，一元二次方程x2+nx+2＝0即为x2+2x+2＝0，此时该方程根的判别式22﹣4×1×2＝﹣4＜0，不合题意，舍去，当a＝1时，1+n+2＝0，由此得n＝﹣3，当n＝﹣3时，一元二次方程x2+nx+2＝0的两个实数根为：x1＝2，x2＝2；一元二次方程x2+2x+n＝0的两个实数根为x1＝1，x2＝﹣3，据此即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0是“同伴方程”， ∴设一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0的公共根为a， ∴a2+na+2＝0①，a2+2a+n＝0②， ①﹣②，得：na﹣2a+2﹣n＝0， ∴a（n﹣2）﹣（n﹣2）＝0， ∴（n﹣2）（a﹣1）＝0， ∴n﹣2＝0或a﹣1＝0， 由n﹣2＝0，解得：n＝2， 由a﹣1＝0，解得：a＝1， 当n＝2时，一元二次方程x2+nx+2＝0即为：x2+2x+2＝0， 此时该方程根的判别式22﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x2+nx+2＝0没有实数根， ∴n＝2不合题意，舍去， 当a＝1时，1+n+2＝0， 解得：n＝﹣3， 当n＝﹣3时，一元二次方程x2+nx+2＝0即为：x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝2，x2＝2， ∴一元二次方程x2+nx+2＝0的两个实数根为：x1＝2，x2＝2； 当n＝﹣3时，一元二次方程x2+2x+n＝0即为：x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴一元二次方程x2+2x+n＝0的两个实数根为：x1＝1，x2＝﹣3， ∴当n＝﹣3时，一元二次方程x2+nx+2＝0和x2+2x+n＝0有且只有一个公共的实数根． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，理解一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解决问题的关键． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 【答案】﹣6． 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【解答】解：∵m是方程x2﹣5x+6＝0的一个根， ∴m2﹣5m+6＝0， ∴m＝2或m＝3， 当m＝2时， ∴ ＝4﹣12+2 ＝﹣6； 当m＝3时， ∴ ＝9﹣18+3 ＝﹣6． 【点评】本题考查了一元二次方程根的解，代数式求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【考点3】解一元二次方程——直接开平方法（第11-16题） · 形如 (x + m)² = n，直接开平方；若 n ≥ 0，得两个解；若 n < 0，无实数根。 · 注意方程两边同时开平方时，不要遗漏负的情况。 · 新定义运算转化为一元二次方程后，可能用直接开平方法求解。 · 分类讨论：二次项系数含字母时，注意方程是否有实数根。 11．（2025秋•闵行区校级期末）方程（x﹣1）2﹣49＝0的解是x1＝8，x2＝﹣6　 ． 【答案】x1＝8，x2＝﹣6． 【分析】通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【解答】解：（x﹣1）2﹣49＝0， 移项得（x﹣1）2＝49， 开平方得x﹣1＝±7， 当x﹣1＝7时，解得x＝8； 当x﹣1＝﹣7时，解得x＝﹣6． 故答案为：x1＝8，x2＝﹣6． 【点评】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 12．（2025秋•虹口区校级期中）对实数a、b，定义运算a*b＝ab2，已知3*m＝18，则m的值为　±　 ． 【答案】±． 【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出m的值即可． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：3m2＝18，即m2＝6， 解得：m＝±． 故答案为：±． 【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的直接开方法是解题的关键． 13．（2024秋•闵行区校级期中）已知关于x的方程（x﹣1）2＝1﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 k＞1　 ． 【答案】k＞1． 【分析】根据直接开方法列出不等式即可求出k的范围． 【解答】解：由题意可知：1﹣k＜0， ∴k＞1， 故答案为：k＞1． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法——直接开方法，本题属于基础题型． 14．（2026春•浦东新区校级期中）解关于x的方程：ax2+3＝1（a≠0）． 【答案】当a＜0时，方程的解为，；当a＞0时，方程无实数根． 【分析】根据解方程的步骤求解，注意求解时，要分a＜0或a＞0两种情况讨论即可． 【解答】解：由条件可知ax2＝﹣2， ∴， ∴当a＜0时，， ∴，； 当a＞0时，方程无实数根， 综上，当a＜0时，方程的解为，；当a＞0时，方程无实数根． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025秋•静安区校级月考）解方程：． 【答案】，． 【分析】利用直接开平方法计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法是解题的关键． 16．（2024秋•上海校级月考）解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先两边都除以3，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， （2x）2＝18， 两边开方得：2x±3， 解得：x1＝2，x2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【考点4】解一元二次方程——因式分解法（第17-28题） · 先移项使右边为0，再提取公因式或利用平方差、完全平方公式。 · 十字相乘法适用于二次三项式，注意符号。 · 新定义运算转化为一元二次方程后，先整理再因式分解。 · 分式方程去分母后可能得到一元二次方程，注意验根。 17．（2025秋•黄浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，就把这两个方程称为“同伴方程”．如方程x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，这两个方程就是“同伴方程”．若有关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且该方程与（x﹣n）（x+2）＝0是“同伴方程”，则n的值为（　　） A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1，再利用因式分解法解方程（x﹣n）（x+2）＝0得x1＝n，x2＝﹣2，然后根据新定义确定n的值． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1， 解方程（x﹣n）（x+2）＝0得x1＝n，x2＝﹣2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x﹣n）（x+2）＝0是“同伴方程”， ∴n＝1或n＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解． 18．（2024秋•长宁区校级期末）一元二次方程2x2+x＝0的根是　　 ． 【答案】． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， 2x2+x＝0， x（2x+1）＝0， 则x＝0或2x+1＝0， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 19．（2025秋•浦东新区校级期末）如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和，那么多项式2x2+mx+1可分解为　（x﹣1）（2x﹣1）　 ． 【答案】（x﹣1）（2x﹣1） 【分析】根据一元二次方程的解确定出分解的结果即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和， ∴2x2+mx+1＝2（x﹣1）（x）＝（x﹣1）（2x﹣1）， 故答案为：（x﹣1）（2x﹣1） 【点评】此题考查了解一元二次方程，以及分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（2025秋•虹口区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该三角形的周长为　10或11　 ． 【答案】10或11． 【分析】利用因式分解法解出方程，再根据等腰三角形的性质、三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：x2﹣7x+12＝0， 则（x﹣3）（x﹣4）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝3，x2＝4， 当长为3的边是三角形的腰时，三角形的周长为：3+3+4＝10， 当长为4的边是三角形的腰时，三角形的周长为：3+4+4＝11， 综上所述：该三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 21．（2024秋•浦东新区校级期末）方程x（x+2）＝5（x+2）的解是 x1＝﹣2，x2＝5　 ． 【答案】x1＝﹣2，x2＝5． 【分析】先移项得到x（x+2）﹣5（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x（x+2）﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣5）＝0， x+2＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝5． 故答案为： 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 22．（2025秋•浦东新区校级期中）定义新运算：a*b＝a2+ab﹣2．例如：2*3＝22+2×3﹣2＝8，则关于x的方程x*（﹣4）＝3的解为x1＝5，x2＝﹣1　 ． 【答案】x1＝5，x2＝﹣1． 【分析】根据定义的新运算可得：x2﹣4x﹣2＝3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵x*（﹣4）＝3， ∴x2﹣4x﹣2＝3， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2025秋•闵行区校级期末）解方程：2（x﹣4）2＝x2﹣16． 【答案】x1＝4，x2＝12． 【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式，利用因式分解解一元二次方程即可． 【解答】解：2（x﹣4）2＝x2﹣16， x2﹣16x+48＝0， （x﹣4）（x﹣12）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣12＝0， ∴x1＝4，x2＝12． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分法是解题的关键． 24．（2026•闵行区三模）解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分） 4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分） 整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分） 解得：x1＝1，x2＝3，（3分） 经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分） 所以，原方程的解为x＝1．（1分） 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根． 25．（2024秋•徐汇区校级期末）解方程：2x2﹣x﹣6＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用十字相乘法把方程的左边分解因式，即可化为两个一元一次方程，即可求解． 【解答】解：原式即（2x+3）（x﹣2）＝0， 则2x+3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 26．（2025秋•普陀区期末）解方程：． 【答案】y1＝3，y2＝﹣9． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， 3（y2﹣9）＝2y2﹣6y， 3y2﹣27﹣2y2+6y＝0， y2+6y﹣27＝0， （y﹣3）（y+9）＝0， 则y﹣3＝0或y+9＝0， 所以y1＝3，y2＝﹣9． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 27．（2025秋•青浦区校级期中）解方程：． 【答案】x1＝4，x2＝2． 【分析】根据因式分解法求解即可． 【解答】解：， x2﹣6x+8＝0， （x﹣4）（x﹣2）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝4，x2＝2． 【点评】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．灵活运用所学方法解方程是解题的关键． 28．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程：x2+5x﹣m2+m+6＝0． 【答案】x1＝﹣m﹣2，x2＝m﹣3． 【分析】利用因式分解法来解这个方程即可． 【解答】解：原方程整理得： x2+5x﹣（m﹣3）（m+2）＝0， [x+（m+2）][x+（3﹣m）]＝0，即（x+m+2）（x﹣m+3）＝0， 解得x1＝﹣m﹣2，x2＝m﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【考点5】解一元二次方程——配方法（第29-36题） · 步骤：二次项系数化1 → 移项 → 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 开方。 · 注意符号变化，如 -3x² + 4x + 2/3 = 0 先化二次项系数为1。 · 配方后若右边为负数，则方程无实数根。 · 配方法也可用于求代数式的最值。 29．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，接着把方程左边写成完全平方的形式，则可得到a＝﹣1，b＝2026，然后根据乘方的意义计算即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣2025＝0， x2﹣2x＝2025， x2﹣2x+1＝2026， （x﹣1）2＝2026， 所以a＝﹣1，b＝2026， 所以ab＝（﹣1）2026＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 30．（2024秋•嘉定区校级月考）用配方法解方程x2+8x﹣3＝0，方程变形为（x+p）2＝q，则p+q＝（　　） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】C 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：原方程变形得：x2+8x＝3， 配方得：x2+8x+42＝19， 即（x+4）2＝19， 故p＝4，q＝19， p+q＝23， 故选：C． 【点评】本题考查了配方法，正确理解配方法是解题的关键． 31．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　（x+3）2＝5　 ． 【答案】（x+3）2＝5． 【分析】先把常数项移项，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方即可解答． 【解答】解：由题意得，x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， 故一元二次方程x2+6x+4＝0配方得（x+3）2＝5， 故答案为：（x+3）2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 32．（2025秋•闵行区期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0时，将它配成（x+m）2＝n的形式是　（x﹣1）2＝5　 ． 【答案】（x﹣1）2＝5． 【分析】根据配方法可以将x2﹣2x﹣4＝0化为（x+m）2＝n的形式． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0 ∴x2﹣2x＝4， ∴x2﹣2x+1＝4+1， ∴（x﹣1）2＝5， 故答案为：（x﹣1）2＝5． 【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是会用配方法解方程，本题属于基础题型． 33．（2026春•杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0． 【答案】，． 【分析】先把x的系数化为1，再利用配方法求解即可． 【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0， x的系数化为1得，， 移项得，， 方程两边同时加二次项系数一半的平方得，， ， ， 解得，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 34．（2025秋•宝山区校级期末）用配方法解方程：5x2+2x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】常数项移到方程的左边，将二次项系数化为1后，两边都配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，然后开平方即可得出答案． 【解答】解：∵5x2+2x＝1， ∴x2x， ∴x2x+（）2，即（x）2， 则x±， 即x± 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 35．（2025秋•徐汇区校级月考）2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】，． 【分析】先求解Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24，再利用求根公式解方程即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24， ∴， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 36．（2025秋•闵行区校级期中）解方程：（配方法）． 【答案】，． 【分析】先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方公式，再直接开平方求解即可． 【解答】解：， 移项得：， 方程两边同除以﹣3得：， 两边同时加得：， 配方得：， 两边同时开方得：， 解得：，． 【点评】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【考点6】解一元二次方程——公式法（第37-44题） · 先化为一般式，确定 a、b、c 的值（注意符号）。 · 计算判别式 Δ = b² - 4ac，判断根的情况。 · 代入求根公式 x = [-b ± √Δ]/(2a)，注意分母是 2a。 · 由求根公式反推方程时，对照系数即可。 · 含参方程需注意二次项系数不为0，以及根的条件。 37．（2026秋•桥东区月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了a、b、c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【分析】根据公式法倒推a、b、c值即可． 【解答】解：根据一元二次方程求根公式为可知2a＝4， 解得a＝2， ﹣b＝3， 解得b＝﹣3， 对比根号内的项，得： ﹣4ac＝﹣4×2×（﹣1）， 将a＝2代入，得c＝﹣1， ∴原方程为2x2﹣3x﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解方程是关键． 38．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含a的代数式表示出y，即可得出结论． 【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜5， ∴0＜a＜5； 故选：B． 【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 39．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　①②④　 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①*2；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1，x2． 【答案】①②④ 【分析】根据运算法则为a*b＝a2﹣ab，一一判断即可； 【解答】解：*（）22，①正确； 若a+b＝0，则a＝﹣b， ∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确； （x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误； （x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6， ∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0， 解得x1，x2，④正确． 故答案为：①②④ 【点评】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考常考题型． 40．（2026春•海淀区校级期末）若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根，则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0的根为x1＝3，x2＝﹣5　 ． 【答案】x1＝3，x2＝﹣5． 【分析】根据一元二次方程的解的意义即可求得答案． 【解答】解：若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根， 则4a+8a﹣2＝0， 解得：a， 该方程即为x2x﹣2＝0， 整理得：x2+4x﹣12＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+6）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6， 则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0中x﹣1＝2或﹣6， 解得：x1＝3，x2＝﹣5， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣5． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 41．（2024秋•郓城县期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x的解为 x＝2　 ． 【答案】x＝2． 【分析】由相反数得出a+b＝0，由倒数得出cd＝1，由绝对值得出p＝±2，然后将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x中，从而得出x的值． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2， ∴a+b＝0，cd＝1，p＝±2， ∴p2＝（±2）2＝4， 将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x中， 可得：3x﹣4＝x， 解得：x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题主要考查的是解一元一次方程以及相反数、倒数、绝对值的定义和性质，根据相反数、倒数、绝对值的定义和性质得到a+b＝0，cd＝1，p＝±3，是解题的关键． 42．（2026秋•同步）用公式法解下列方程： （1）x2+x﹣1＝0； （2）； （3）； （4）； （5）（2x+1）（4x﹣2）＝（2x﹣1）2+1； （6）x2﹣2ax﹣b2+a2＝0（a，b为常数）． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1＝x2； （3）x1，x2； （4）原方程没有实数根； （5）x1，x2； （6）x1＝a+b，x2＝a﹣b． 【分析】（1）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （3）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （4）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （5）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （6）根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）， 整理的：4x2+4x+1＝0， ∵Δ＝42﹣4×4×1＝16﹣16＝0， ∴x， ∴x1＝x2； （3）， 整理得：x2﹣4x﹣40， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣4）＝16+32＝48＞0， ∴x±， ∴x1，x2； （4）， 整理得：2x2+4x+3＝0， ∵Δ＝42﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0， ∴原方程没有实数根； （5）（2x+1）（4x﹣2）＝（2x﹣1）2+1， 整理得：x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； （6）x2﹣2ax﹣b2+a2＝0（a，b为常数）， ∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（﹣b2+a2）＝4b2≥0， ∴xa±b， ∴x1＝a+b，x2＝a﹣b． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 43．（2026秋•同步）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长， 若x＝﹣2是该方程的一个根， 则4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 整理得：4a＝4c， 则a＝c， 那么△ABC是等腰三角形； （2）x1＝0，x2＝﹣2． 【分析】（1）将x＝﹣2代入原方程计算后进行判断即可； （2）由题意易得a＝b＝c，然后将原方程化简后解得它的解即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长， 若x＝﹣2是该方程的一个根， 则4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 整理得：4a＝4c， 则a＝c， 那么△ABC是等腰三角形； （2）若△ABC是等边三角形， 则a＝b＝c， 原方程化为ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解，等边三角形的性质，熟练掌握解方程的方法及相关性质是解题的关键． 44．（2025春•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）△ABC为等腰三角形，理由见解答； （2）x1＝0，x2＝﹣1． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 解得：a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，等边三角形的性质，关键是掌握等边三角形的性质． 课后巩固 · 针对性练习 概念优先：准确判断一元二次方程，注意二次项系数不为0，先化简再判断。 解法灵活：根据方程特点选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法；公式法是通法，配方法是基础。 根的意义：方程的根代入成立，常结合整体代入求值；注意根与系数关系的使用条件。 易错提醒：直接开平方不要漏负根；因式分解不要丢根；分式方程要验根；含参方程注意分类讨论。 新定义题型：耐心读题，将新定义转化为常规一元二次方程再求解。 错题整理：将概念判断、解法选择、新定义题分类整理，避免同类错误。 【练习1】（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 【答案】C 【分析】需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【解答】解：根据一元二次方程定义对各选项分析如下： A选项：代入后方程为6x﹣2＝2y2，含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为6x﹣2＝22，整理得6x﹣24＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为6x﹣2＝3x2，整理得3x2﹣6x+2＝0，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为6x﹣2＝x，整理得5x﹣2＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【练习2】（2025秋•杨浦区校级月考）将一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（　　） A．5，﹣2 B．2，﹣3 C．﹣5，﹣1 D．6，2 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【解答】解：（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1， 整理得：5x2+8x﹣2＝0， ∴二次项系数为5，常数项为﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键． 【练习3】（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 【答案】A 【分析】先去分母，然后把方程化为一般式即可． 【解答】解：把方程两边乘以x（x+1）得x+1＝2x2， 方程化为一般式为2x2﹣x﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程． 【练习4】（2025秋•崇明区期末）将一元二次方程x2+4x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别是（　　） A．2，7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．﹣2，﹣7 【答案】A 【分析】通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数得出m和n的值即可． 【解答】解：原方程移项得x2+4x＝3， 方程两边同时加4得x2+2×2x+22＝7， 配方得（x+2）2＝7， ∴m＝2，n＝7， 故选：A． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，掌握完全平方式的特征是解题关键． 【练习5】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解即可． 【解答】解：方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程， 则|k|+1＝2且k﹣1≠0， 由|k|+1＝2，解得k＝±1， 由k﹣1≠0，解得k≠1， 因此若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为：k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【练习6】（2026•上海自主招生）a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根，则（a﹣1）（a﹣2025）＝　4050　 ． 【答案】4050． 【分析】利用一元二次方程的解，可得出a2﹣2026a﹣2025＝0，进而可得出a2﹣2026a＝2025，再将其代入原式＝a2﹣2026a+2025中，即可求出结论． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根， ∴a2﹣2026a﹣2025＝0， ∴a2﹣2026a＝2025， ∴原式＝a2﹣2026a+2025＝2025+2025＝4050． 故答案为：4050． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 【练习7】（2025秋•闵行区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0的两个实数根分别为a、b，且满足（a﹣1）（b﹣1）+8＝0，那么实数m的值是　8　 ． 【答案】8． 【分析】本题先根据韦达定理得出a+b与ab关于m的表达式，再将（a﹣1）（b﹣1）+8＝0展开并代入a+b与ab的表达式，进而求出m的值，最后根据判别式判断m的值是否符合方程有两个实数根的条件． 【解答】解：在方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0中， 因为a、b是该方程的两个实数根， 所以a+b＝2m﹣1，ab＝m﹣2， 又（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1， 将a+b＝2m﹣1，ab＝m﹣2代入上式， 可得（a﹣1）（b﹣1）＝m﹣2﹣（2m﹣1）+1＝m﹣2﹣2m+1+1＝﹣m， 因为（a﹣1）（b﹣1）+8＝0， 所以﹣m+8＝0， 移项可得m＝8， 在方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0中，则Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）， 当m＝8时，Δ＝（2×8﹣1）2﹣4×（8﹣2）＝152﹣4×6＝225﹣24＝201＞0，满足方程有两个实数根的条件， 综上，实数m的值是8． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理的运用． 【练习8】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】由（x+y）2＝16可得x+y＝±4，再分别代入x2+y2＝2（1+a），整理得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3，最后根据方程组只有两组实数解，得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解，即可得到a﹣3＝0． 【解答】解：由（x+y）2＝16可得x+y＝±4， ∴x＝4﹣y或x＝﹣4﹣y， 把x＝4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 得（4﹣y）2+y2＝2（1+a）， 展开整理得y2﹣4y+7＝a， ∴（y﹣2）2＝a﹣3， 同理把x＝﹣4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 整理得（y+2）2＝a﹣3， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3的解的个数一致， ∵方程组只有两组实数解， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查二元二次方程组，解一元二次方程，掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 【练习9】（2025秋•上海校级期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为（x+a）2＝b的形式．现如果用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0，那么此时a+b的值是　2027　 ． 【答案】2027． 【分析】通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【解答】解：原方程移项得x2﹣4x＝2025， 配方得（x﹣2）2＝2029， 与（x+a）2＝b对比可得a＝﹣2，b＝2029， 所以a+b＝﹣2+2029＝2027． 故答案为：2027． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 【练习10】（2026春•兴隆台区校级期末）解下列关于x的方程 （1）4（x﹣1）2＝（x+2）2 （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0 （3）x2+8x﹣2＝0 （4）2x2﹣3x﹣4＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先求出b2﹣4ac的值再代入公式求出即可； （4）先求出b2﹣4ac的值再代入公式求出即可． 【解答】解：（1）4（x﹣1）2＝（x+2）2， 移项得：4（x﹣1）2﹣（x+2）2＝0， [2（x﹣1）+（x+2）][2（x﹣1）﹣（x+2）]＝0， 2（x﹣1）+（x+2）＝0，2（x﹣1）﹣（x+2）＝0， x1＝4，x2＝0； （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣5+4）＝0， x﹣5＝0，x﹣5+4＝0， x1＝5，x2＝1； （3）x2+8x﹣2＝0， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣2）＝72， x， x1＝﹣4+3，x2＝﹣4﹣3； （4）2x2﹣3x﹣4＝0， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41， x， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 【练习11】（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣9； （2）x1＝2，x2； （3）x1＝1，x2＝7； （4）x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【分析】（1）先利用配方法得到（x+4）2＝25，再把方程两边开方得到x+4＝±5，然后解两个一次方程即可； （2）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （3）先把方程两边开方得到x﹣4＝±3，然后解两个一次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+3﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2+8x+16＝25， （x+4）2＝25， x+4＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣9； （2）方程化为一般式为3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49， ∴x， ∴x1＝2，x2； （3）x﹣4＝±3， 所以x1＝1，x2＝7； （4）（x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+3﹣2＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法和公式法． 【练习12】（2026•东港区校级开学）解下列方程： （1）（2x+3）2﹣81＝0； （2）x2+2x﹣5＝0； （3）x2+2x﹣6＝0； （4）5x（3x+2）＝6x+4． 【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝3； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用公式法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可； 【解答】解：（1）（2x+3）2﹣81＝0， （2x+3）2＝81， 则2x+3＝±9， 所以x1＝﹣6，x2＝3； （2）x2+2x﹣5＝0， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， 则x+1， 所以； （3）x2+2x﹣6＝0， 0， 则x， 所以； （4）5x（3x+2）＝6x+4， 5x（3x+2）﹣2（3x+2）＝0， （3x+2）（5x﹣2）＝0， 则3x+2＝0或5x﹣2＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【练习13】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【答案】（1）x1＝7，x2＝3； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）4（x﹣5）2＝16， （x﹣5）2＝4， x﹣5＝±2， x1＝7，x2＝3； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10， （3x﹣5）2﹣2（3x﹣5）＝0， （3x﹣5）[（3x﹣5）﹣2]＝0， （3x﹣5）（3x﹣7）＝0， 3x﹣5＝0或3x﹣7＝0， ，； （3）x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， ， ，； （4）3x2+2x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，直接开平方法，配方法及公式法是解题的关键． 【练习14】（2026春•市中区校级期末）解方程： （1）； （2）x2﹣4x+1＝0． 【答案】（1）原分式方程无解； （2），． 【分析】（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）； 去分母得：1+3（x﹣2）＝x﹣1， 整理得：1+3x﹣6＝x﹣1， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴x＝2是方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）∵Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×1＝12， ∴， ∴，； 【点评】本题考查了解分式方程和一元二次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键． 【练习15】（2025秋•青浦区校级月考）2x2+（3m﹣n）x﹣2m2+3mn﹣n2＝0． 【答案】． 【分析】利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：2x2+（3m﹣n）x﹣2m2+3mn﹣n2＝0， Δ＝（3m﹣n）2﹣4×2×（﹣2m2+3mn﹣n2） ＝9m2﹣6mn+n2+16m2﹣24mn+8n2 ＝25m2﹣30mn+9n2 ＝（5m﹣3n）2≥0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【练习16】（2025秋•徐汇区校级期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【答案】（1）b＝﹣8，c＝2； （2）8； （3）2028． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $