2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考重难点学情自测卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过基础题巩固概念、综合题提升能力、创新题（如“新定义”“朴实沉毅函数”）培养数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|二次函数定义、抛物线对称轴、方程根的判别式|第9题函数图像辨析考查几何直观，第10题多结论判断提升推理能力| |填空题|6题/18分|二次函数最值、抛物线与x轴交点、函数图像交点范围|14题结合图像求取值范围体现空间观念，16题根与系数关系考查运算能力| |解答题|9题/72分|解方程、配方、利润问题、菱形与抛物线综合、新定义问题|21题利润问题建立模型意识，24题“倒方程”新定义培养创新意识，25题“朴实沉毅函数”考查抽象能力|

2026年9月份第一次月考重难点学情自测卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：第25章一元二次方程，第26章二次函数 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是(   ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 9．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   10．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 13．抛物线与轴只有一个交点，则________． 14．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 15．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为______． 16．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 21．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 22．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 23．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 24．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 25．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： (3)已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C C A B B C 11． 12．10 13． 14．或 15． 16． 17．【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 18．【详解】（1）解：． (2)图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 19．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20．【详解】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. 21．【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 22．【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 23．【详解】（1）解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 24．【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 25．【详解】（1）解：由题意得：，即， 解得：， “朴实点”为， 当时，即， 解得：， “沉毅点”为：； （2）解：二次函数图象可以由二次函数平移得到， 则抛物线的表达式为：． ∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即， ∴抛物线的表达式为： ∵还经过一个“沉毅点”， 即， 将点代入抛物线表达式得：则， 解得：或6， 即抛物线的表达式为：或； （3）解：由题意得，点， 当时，， 即点N的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点M的坐标代入上式得：，解得：， 直线的表达式为：， 经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合， 且， 解得：，． 抛物线的表达式为：. 当，函数有最小值， 抛物线在顶点处的最小值为， 不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $