1.3矩形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶训练，通过多样化题型构建从单一知识点到动态综合问题的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质（对角线、直角）与判定的直接应用|单选题1（判定条件选择）、填空题11（对角线计算），夯实概念理解| |中档|矩形与平行四边形/菱形的性质综合、简单推理|单选题6（中位线与矩形结合）、解答题17（菱形判定矩形），强化知识关联| |提升|动态几何、多结论证明及坐标系应用|单选题10（多结论判断）、解答题21（折叠与坐标系综合），发展空间观念与创新意识|

1. 2026-2027学年山东省滕州市张汪中学课时作业 1. 北师版九年级数学上册--1.3矩形的性质与判定 一、单选题 1．如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的长和宽分别为、，其周长为，面积为，则的值为（     ） A．80 B．96 C．144 D．192 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长为______． 12．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为12，则的长等于_______． 13．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，则对角线的长为_______． 14．若一个矩形的长和宽分别为和，它的一个内角的平分线把一条长边分为两部分，则这两部分的长度分别为______________和______________． 15．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 16．如图，在矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，则矩形的面积为_____． 三、解答题 17．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 19．如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求平行四边形的周长． 20．已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D A A B B C C 1．C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 2．A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 3．C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 4．D 【分析】根据矩形周长与面积公式求出 及 的值，对待求式提取公因式变形后代入计算． 【详解】解：∵矩形的周长为 ，面积为 ， ∴，， ∴， ∴． 5．A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 6．A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 7．B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 8．B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 9．C 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 10．C 【分析】根据题目条件先证，得出，，故①正确；再证，得出，，故③错误；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； 在和中， ， ， ，， ， , ，故③错误； ，即， ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；故④正确； 故正确结论的个数是3个． 11．18 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ． 故答案为：18． 12． 【分析】根据菱形的性质，得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可； 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 菱形的周长为12， ， 解得， H为边中点，， . 13． 【分析】过点作轴，轴，根据B的坐标求出，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 过点作轴，轴， ∵B的坐标为， ∴，， ∴， ∴对角线的长为． 14． 【分析】矩形每个内角为，内角平分线得到角，可推出等腰直角三角形，利用直角边相等即可求出两部分长度 【详解】解：∵矩形的内角为，内角平分线将内角平分为两个的角， ∴内角平分线与矩形的边相交后形成的三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长度相等，其中一条直角边等于矩形的宽，即， ∵被分割的是长度为的长边， ∴其中一段长度为，另一段长度为． 15．10 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 16．60 【分析】连接，则，设，由矩形的性质可得，，利用勾股定理得到，则，进而可得，解方程求出的值，再根据矩形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵， ∴可设， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 解得或（负数舍去）， ∴， ∴矩形的面积． 17．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 18．(1)证明：， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ． (2) 四边形为矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， 四边形为平行四边形． 在中，，， ， ， 四边形为矩形． 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理． （1）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再利用等角对等边证明． （2）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形来判定四边形是矩形． 【详解】（1）略． （2）略． 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形； (2)64 【分析】（1）由平行四边形得，由平行四边形得，，进而证明，，即可得出结论； （2）先证明平行四边形是菱形，再证明平行四边形是矩形，求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴． 由（1）得：四边形为平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形， ， ∴平行四边形的周长． 20．(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，即可得证； （2）利用矩形的性质可得，由菱形的性质可得，，即，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积为． 21．(1) (2)； (3)或 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 答案第2页（共13页） 答案第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $