1.4正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，以基础巩固为起点，通过综合应用与拓展探究形成梯度，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正方形性质（边、角、对角线）、简单判定|单选1-5（坐标计算、对角线性质），填空11-13（最值、面积），夯实概念理解| |综合应用|性质与判定综合、图形变换（折叠、动点）|单选6-10（折叠求长、动点面积），填空14-16（角平分线、垂直平分线），提升推理能力| |拓展探究|动态几何、跨知识结合（函数、坐标系）|解答19-20（动点探究、多问证明），渗透创新意识与模型观念|

· 2026-2027学年度山东省滕州市龙阳中学晚自习培优试卷 · 九年级数学（1.4正方形的性质与判定） 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 4．如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤的最小值为．其中正确的结论是（  ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②③④ D．①③④ 8．如图1，在等腰直角三角形中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图像如图2所示．则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 9．如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 12．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 13．如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②的面积保持不变； ③； ④EF的最小值为． 其中正确说法的序号是_______．（把你认为正确的序号都填上） 14．如图，正方形的边长为5，点E在上，，的平分线交于点F，则的长为__________． 15．如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____． 16．如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 三、解答题 17．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 18．结合图形，证明以下结论： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 19．如图1，点C是线段上一动点，分别以线段、为边，在线段的同侧作正方形和等腰直角三角形，，连接、． (1)猜想线段与线段的数量关系和位置关系（不用证明）． (2)当点C在线段上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由． (3)在图1的条件下，探究：当点C在线段上运动到什么位置时，直线垂直平分线段？ 20．如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作交外角平分线于． (1)如图1，若为边的中点，求证：． (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，交边于点，连接，求证：平分． (4)如图4，以点为坐标原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，，为边的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 试卷第6页（共6页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A A D C B B 1．C 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴. 2．C 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．B 【分析】设对角线交点为，连接，利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，结合面积法建立等式，即可求出的值． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 4．B 【分析】设与交于点，与交于点，证明，阴影部分面积转化为面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，，， ． 又， ． )， ， ， ，即正方形边长为， 正方形面积为， ， ，即阴影部分面积为． 5．A 【分析】根据多边形的内角和和正方形的性质计算． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 正十二边形的每个内角为，即， ∴． 6．A 【分析】先由正方形的性质算出，用面积法求出，再利用勾股定理求出，通过证明得到，最后用算出． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 7．D 【分析】连接，根据正方形性质证，得，由矩形性质得，从而判断①；由全等和矩形性质导角判断③④；根据垂线段最短求最小值判断⑤；根据点运动情况判断②． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ，故①正确； ， ，即， ，故④正确； 延长交于，交于， ， ， ∵， ， ，即，故③正确； 为动点，与不一定相等，故②错误； ∵，即求最小值， 当时，最小，此时为中点， ， ， ， 的最小值为，故⑤错误． 8．C 【分析】 根据题意，动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，故第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，证明四边形是正方形，进而解得，再证明为等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】解：∵动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动， ∴第一个拐点的位置在点D处，此时点P运动到点D，如下图， ∵图2中拐点的纵坐标为4， ∴此时四边形的面积为4， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵此时正方形的面积为4， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 9．B 【分析】利用折叠的性质和证直角三角形全等得到，设，在中用勾股定理列方程求出，最后在中勾股算出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 把沿折叠得到，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，即， 故． 10．B 【分析】先求点坐标，可得正方形边长为，即可得，同理求，，，，，得出，代入即可求解． 【详解】解：直线与轴交于点，令得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， ∵点在直线上且纵坐标为，代入解析式得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， 同理得：，，，， ∴， 当时，即． 11． 【分析】连接，则可得，那么，故当点共线时，取得最小值，为，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是正方形 ∴垂直平分， ∴ ∴ 当点共线时，取得最小值，为 ∵M为中点， ∴ ∴． 12． 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 13．①③④ 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【详解】解：正方形的对角线，相交于点， ，，， 又， ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵当点E在上运动时，的长是变化的， ∴的面积随着的变化而变化，故②错误； 连接， 平分， ， 又，， ， ， ， ， ∵在中，， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 当有最小值时，的值最小， 是等腰直角三角形， 当时，的最小值等于的一半， 即的最小值等于2， 的最小值为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 14．/ 【分析】延长到，使，连接，由证得得出，然后得出，则，由勾股定理求得，便可求得，进而求得即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 又∵， ， ， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ∴ ． 15． 【分析】过点作，交于点，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，证明，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，边长为， ∴，，， 过点作，交于点，交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即，解得， ∴． 16． 【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理可得， ∴． 17．(1)证明：， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． (2)解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵D为中点， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，D为中点， ， ，四边形是菱形， 当时，， ， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）证明，然后结合证明四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，然后得到，证明四边形是菱形，当时，求出，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 【分析】（1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)， (2)成立，理由如下： 如图， 四边形为正方形， ，． 等腰直角三角形中，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． (3)当时，直线垂直平分线段． 【分析】（1）利用即可得出，进而可得出； （2）首先得出，再利用全等三角形的性质得出，以及，进而得出答案； （3）根据直线垂直平分线段时，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点M， 四边形为正方形， ，． 等腰直角三角形中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． （2）略． （3）解：连接， 四边形为正方形， ，． ， 垂直平分线段， ， ． 故当时，直线垂直平分线段． 20．(1)如图，在上截取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， 又是中点， ， ， ，即是中点， ∴， ， ，°， 是等腰直角三角形， ， ， 又平分，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ． (2)． (3)证明：如图3所示，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ∴，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即平分． (4)点的坐标为或． 【分析】（1）在上截取一点，使，通过证明即可得出结论； （2）在上取一点，使得，连接，同理（1）可得，进而可得，再根据勾股定理得出结论； （3）延长到，使，连接，构造全等三角形，通过证明，得出，，再证明，得出，根据等角的余角相等即可得出结论； （4）根据，可得，故当点与点重合， ，得出第一个符合条件的点，再利用对称得出符合条件的的位置，根据点坐标求出直线和解析式、以及它们的交点即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． （3）略 （4）解：过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）有， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∴点所在的直线的解析式为：， 连接，由（3）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴当点与点重合， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∴点的坐标为，即点的坐标为； 设直线的解析式为：， 把，代入，得：解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 作点关于直线的对称点，可得， 此时， ∴当点为直线与的交点时，， ∴由待定系数法可求直线的解析式为， 联立，解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 答案第20页（共20页） 答案第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $