江西南昌市第五高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷

南昌五中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x∈Z-4<c≤2}，B={x-1<x≤4}，则A∩B= () A{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{x-4<x≤4} D.{x-1<x≤2} 2已知柴合M=(-1,1,24,V=1,2,416}给出下列四个对应法则：①g=:②y=+1 ③y=x；④y=x.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是 () A①③ B.①② C.③④ D.②④ 3.函数fx)= 3-3 的大致图像是 4.若实数a,b满足a≥0，b≥0，且ab=0,则称a与b互补，记(a,b)=√a2+b-a-b那么 p(a,b)=0是a与b互补的 () A必要不充分条件 B.充分不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2-ac+5,c≤1 5.已知函数f(x)= c>1 满足对任意实数c1≠c2,都有(r2一c1)[f()-f(c1)]< 0成立，则实数a的取值范围是 () A(0,3] B.[2,3] C.(0,+∞) D.[2,+00) 6已知胶数a≥0,6≥0，满足a+2必=4，则。1+6异2的最小值是 () A ·1 C.1 D.2 7设f@=+,则f+f2+f3)++f05)+号）+f号)++0)=（） A0 B.1 C.2 D.3 8.已知定义在(-0,0)U(0,+o)上的函数f(x),满足f(cy)+2=f(x)+f(y),且当c>1时， f(x)>2,则是 () Af(-1)=1 B.f(x)为奇函数 C.f(2025)>f(2026) D.若f(x+2)<2,则x的取值范围为（-3，-2)U(-2,-1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法不正确的是 A若对Vx∈R,都有f(x)≤1，则f(c)的最大值为1. 日若a>b>0,则}>8 C.函数f(x)=[x]为增函数 [1,x∈Q D.1 函数D(x)= 为偶函数 l0,x∈CaQ 10.已知函数f(x)=√ax2-2x-3,则下列结论正确的是 A若a=1,则函数f(x)的递增区间为(1，+∞) B.若a=1,则函数f(x)的值域为[0，+oo) C.若fx)的值域为[0，+∞)，则a的取值范围为[0，十∞) D若f✉)的定义域为R,则：的取值范围为-0，一号》 11.已知不等式ac2+bx十c>0的解集是(-2,3)，则下列说法正确的是 () A a0 B不等式cx+b如+a<0的解集是（←号，号）》 C.当c=2时，f(x)=3ac2+6bx,x∈[n1,n2]上的值域为[-8,1]，则2-n1的取值范围是 [3,6] 0若关于m的不等式m一m>,有解，则实数m的取值范围是{mm>2或m< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数y=5的值域为 13.已知1og2x-1(32+2x-1)=1,则x= 14.已知f(x)、g(x)分别是R上偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2,若g(f(x)-a)≥0恒成 立，则a的取值范围是 .2 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15(四计算器-青g5+ev2西+s×M时 (2)是否存在这样的正数m,n,使得logm十logn=log(m+n)?若存在，求出m十n的最小 值，若不存在，说明理由. 16.(1)求关于x的不等式x2+(1-a)x-a>0的解集，其中a为常数. (2)求关于a的不等式x2+(1-a)x-a>0的解集，其中c为常数. 1已知函数=3+号》 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)求证：fx)>0. ·3. 18.已知函数f(x)=a,a>0且a≠1. (①)若函数go)=[f(+(3-a)f)-1在x∈[，1]上单调递增，求a的取值范围 （2若a=2,函数h回=faP+3,p=-m+2-1,若对v1[-1,1,都，∈[0， fx)+1 十∞)，使得h(x2)=p(x),求m的取值范围. 19.对于定义在区间[a,b]上的函数f(x),定义：R(x)=max{ft)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),rf(x)= min{ft)la≤t≤x}(xe[a,b]) ①已知f=(号，g)=,h()=x-x+1,x[0,,试写出R,小、R,(小、n的表 达式 (2)若存在最小正整数k,使得r(x)-T(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立，则称函数f(x)为 [a,b]上的%阶收缩函数"，已知b>1,函数f代)=x+1是[1，b]上的3阶收缩函数"，求b的取 值范围 ·4 1.【答案】A 【分析】根据交集概念求出答案， 【详解】A={xEZ-4<x≤2}，B={x-1<c≤4} ∴.A∩B={x∈Z-1<x≤2}={0,1,2} 故选：A 2.【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可. 【详解】对打①，y=十，当0=2时。y=分N,故①不满足题意 对于②，y=c+1,当x=-1时，y=-1十1=0生N,故②不满足题意； 对于③，y=x,当c=1时，y=1∈N,当x=-1时，y=1∈N, 当x=2时，y=2∈N,当x=4时，y=4∈N,故③满足题意； 对于④，y=x2,当x=1时，y=1∈N,当x=-1时，y=1∈N, 当x=2时，y=4∈N,当x=4时，y=16∈N,故④满足题意. 故选：C 3.【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D,再根据函数在(1，十∞)上的单调性排除C 【详解】函数f(x)=ln1-x,令1-x>0,解得c≠1， 所以函数fx)=|lnl1一x‖的定义域为{xc≠1}，故排除B、D； 当>1时fo)=1-l=|n(z-1l=n(x-1, c≥2 -ln(c-1),1<c<21 所以f(x)在[2，十∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故排除C 故选：A 4.【答案】C 【详解】试题分析：由g(a,b)=0得√a2+b-a-b=0→√a2+b=a+b→a2+b=(a+b)2→ ab=0且a≥0，b≥0；所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：a≥ 0,b≥0，且ab=0;从而有a2+b2=(a+b)2→√a2+b=a+b→p(a,b)=√a2+b-a-b= 0,所以(a,b)=0是a与b互补的必要条件；故得p(a,b)=0是a与b互补的充要条件；故 选C. 5.【答案】B 8>1 a≥2 【详解】由题意知，函数f(x)在R上为减函数，所以 1a>0 ,即a>0,解得2≤a≤3， 1-a+5≥a a≤3 所以实数a的取值范围是[2,3]. 故选：B 6.【答案】C 【分析】利用(a+1)+(2b+4)=9,结合基本不等式求解 【详解】因a≥0，b≥0，满足a+2b=4,则(a+1)+(2b+4)=9, 于是。+6子，=点+，a-1++0a壮+2+ 9\a+1 b+2 ≥×√2022少-1，当日仅当号8格时，即a=2.6等号成 a+1b+2 ·5 立， 纹+品2的最小值是1 故1 故选：C 7.【答案】A 】由女)乡可得)）=王三三f,再由奇函数化简函数值 1+1x+1 解 催解)由@)三可得)=在= x+1 =fx), 所以f2)+3)=0.f6)+f专)=0.f2025)+325)=0 所以f）+f2)+f3)++f2025)+f2)+f(号)++f202）=f)=0 故选：A. 8.【答案】D 【分析】A选项，先令c=y=1,可得f(1)=2,再令x=y=-1,可判断选项正误； B选项，令y=一1，结合f(x)定义域可判断选项正误： C选项，由题可判断f(x)在(0，十∞)上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式f(x+2)<2. 【详解】A选项，在f(xy)+2=f(x)+f(y)中，令x=y=1, 得f(1)+2=f(1)+f(1),解得f(1)=2;再令x=y=-1, 得f(1)+2=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=2,故A错误； B选项，令y=-1,得f(-x)+2=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x), 又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数，故B错误； C选项，设0<1<，则t=>1,所以f(t)>2, 所以f(x2)=f(t1)=f(t)+f(c)-2>f(c1), 所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，因为f(c)是偶函数， 从而f(2025)>f(2026),故C错误； D选项，因为f(c)是偶函数，则f(x+2)<2台f(x+2)<f(1), 又f(x)在(0，+0)上是增函数，所以x+2<1,解得(-3，-2)U(-2,-1),故D正确. 故选：D. 9.【答案】ABC 【详解】选项A,若对任意x∈R,都有f(x)≤1，但函数f(x)可能永远达不到1。 破如f四十，满足f)<0<1,但它的最大值是0，不是工 因此，“f(x)的最大值为1”的说法不正确。 选项6，已知a>6>0,我们比较牛}和号： a+1-a=(a+1b-a(6+1-b-a b+1b-(b+1)bb(b+1)(b+1)b ·6 因为a>6>0,所以b-a<0,且b+1)>0,因此B1<0,即8}<合 b(b+1) 所以“号计>号”的说法不正确 选项C,函数f(x)=[]是取整函数（地板函数）。 取x1=0.5,x2=0.9,则f(x1)=[0.5]=0,f(x2)=[0.9]=0,此时x1<x3但f(c1)= f(c),不满足严格增函数的定义。 因此，f(x)=[x]不是增函数，该说法不正确。 法颜西数D。-代化Q是秋克带西故 若x∈Q,则-x∈Q,所以D(-x)=1=D(x)。 若x∈CaQ,则-x∈nQ,所以D(-x)=0=D(x)。 因此，对任意x∈R,都有D(-x)=D(x),函数D(x)是偶函数，该说法正确。 综上，不正确的选项是：A、B、C. 10.【答案】BC 【详解】选项A, 当a=1时，f(x)=Wx2-2x-3=√(x-3)(x+1)=√(x-1)-4。 定义域：x≤-1或x≥3，值域为[0，十∞). 令t=x2-2x-3=(c-1)2-4,则f(x)=无。 t在(-0∞，-1]上单调递减，在[3，十∞)上单调递增。 根据复合函数“同增异减”，f(x)的递增区间为[3，+∞)，而非(1，+o)。 因此，选项A错误，选项B正确。 选顶C, 要使f(x)的值域为[0，十o∞)，需a2-2x-3能取到[0，+o∞)内的所有值： 当a=0时，ax2-2x-3=-2x-3,这是一次函数，能取到[0，+0)内的所有值（当x≤ 是时。 当a>0时，ax2-2c-3是开口向上的二次函数，判别式△=4+12a>0,能取到[0，+∞) 内的所有值。 当a<0时，ax2-2x-3是开口向下的二次函数，存在最大值，无法取到十∞。 因此a的取值范围是[0，十∞)，选项C正确。 选项D, 要使f(x)的定义域为R,需ax2-2c-3≥0对所有x∈R恒成立： 当a=0时，-2x-3≥0不能对所有x成立。 当a≠0时，需满起8≥9+12a≤0：但a>0时A>0,无解 因此不存在这样的a,选项D错误。 综上，正确的选项是B、C 故选：BC 11.【答案】BD 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B,由解集得到b=一a,c=一6a,a< 0,从而cx2+bc+a<0化为6ax2+c-1<0,求出解集；C选项，先确定f(x)max=f(1)=1, ·7 进而味出：=？或：4时，水=5，进而可失解：D法颜，先求出青>多，从而限 据不等式有解得到m-m>】,求出答案， 【详解】因ax2+bx+c>0的解集是(-2,3)，所以a<0, -2,3是关于x的方程ax2+bc+c=0的两个根，且a<0 于是得-b=1,e=-6,即b=-a,c=-6a,所以b>0. 0 不等式c+bm+a<0化为：6+红-1<0，解得-<<分，B正确； b>0,令6十=>2，由对构函数得=计在t(2.+四)上单调递增， √b+4 贿青之多，因m-m>有解，则m-m> √b+3 2 解得m<号-I或m>号+5v,C不正确， 当c=2时，因为5=-a,c=6a,所以a=号6-日 3 则f(x)=3ax2+6bx=-x2+2=-(c-1尸+1，f(x)max=f(1)=1, 依题意，1∈[1，n2],由f(x)=-8得，x=-2或c=4, 因f(x)在[n1,n]上的最小值为-8， 从而得n1=-2,1≤2≤4或-2≤n1≤1，n2=4, 两种情况均有3≤n2-≤6，D正确， 故选：BD 12.【答案】(0,1)U(1,+∞) 【解析】函的定义域为x≠0，因此指数1的取值范围是：1∈(-0,0)U(0,+) m 令t=1，则函数变为y=5,指数函数y=5是单调递增的。 m 当t∈(-∞，0)时，5∈(0,1)i 当t∈(0，+o∞)时，5∈(1，+∞)。 综合以上两种情况，函数y=5云的值域为：(0,1)U(1,+∞) 13.【答案】-2 【详解】根据对数的定义，loga=1等价于b1=α，同时要满足对数的定义域条件： 底数2x2-1>0且2x2-1≠1 真数3x2+2x-1>0 ∫2x2-1=3x2+2x-1>0 由log2x-1(3x2+2x-1)=1可得： 2x2-1≠1 解得x=0或x=-2。 检验 当x=0时： 底数2(0)2-1=-1，不满足>0的条件，舍去。 当x=一2时： 底数2(-2)2-1=8-1=7>0且7≠1，满足条件。 真数3(-2)2+2(-2)-1=12-4-1=7>0，满足条件。 故答案为：-2 ·8 14.【答案】(-0∞，1] 【详解】已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且： f(x)+g(x)=2(1) ∴.f(-x)+g(-x)=2-(2),即f(x)-g(x)=2-(2) 联立(1)(2)解方程组： (1)+(2):2f)=2+2→fx)=2+2 2 (1)-(2):2gm)=2-2→gx)=2-2 2 又9(x)是单调递增函数：因为2递增，2递减，故一2-递增，整体g(x)递增。 g(0)=0:代入x=0得g(0)=11=0。 因此，g(t)≥0等价于t≥0（由单调性，t≥0→g(t)≥g(0)=0)。 又g(f(x)-a)≥0恒成立台f(x)-a≥0，Hx∈R,即a≤f(x)对所有c∈R恒成立，因此a需 小于等于f(x)的最小值。 由基本不等式，对2”>0、2”>0： 2+2≥2√22=2，当且仅当2=2（即x=0)时取等号。 2 因此：f)=2+2≥1，f四)的最小值为1。 2 由a≤f(x)恒成立，得a≤1，即a∈(-0,1]。 故答案为：（-00,1] 15【答案】（①3：(2 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案， 【详解】(1)解法一： 原式=号lg2-1e7网-吉le23+lg(T×5)+2d×2=多1g2-lg7-2e2+lg7+号lg5+2 =)e2+e5)+2=3 解法二：原赋-g9-g1+w5+2×2-g+好5+2=g2x5)+2=号 7×4 (2)由题意，l1ogm+logn=log(m+n)=log mm,由于对数函数单调，可得： mn=m+n(m>0,n>0)→1+1=1 m+n=(m+n)(+2)=1+1+位+0≥2+2巴%=4，当且仅当 n m (即 m n m n m n 1+1=1 m m=n=2)时取等号 综上，存在正数m=2,n=2满足条件，且m十n的最小值为4. 16.【详解】由题：x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a) 二次函数y=(x十1)(c-a)开口向上，方程(x+1)(x-a)=0的根为x1=一1，w2=a。 1),当a>-1时，开口向上，不等式(x十1)(x-a)>0的解集为：{xlx<-1或c>a}。 2),当a=-1时，不等式变为(c+1)>0,解集为：{xc∈R且c≠-1}。 3),当a<-1时，开口向上，不等式(x+1)(x-a)>0的解集为{xx<a或x>-1}。 (2)由题：x2+(1-a)x-a=c2+x-ax-a=(c+1)x-a(x+1)>0, ·9 即(x+1)x>a(x+1), 1),当x>-1时（即x+1>0),a={ala<x} 2),当x=-1时（即x+1=0),a= 3),当c<-1时（即c+1<0),a={a|a>c.} 综上述 (1)当a>-1时，解集为{xx<-l或c>a; 当a=-1时，解集为{xlx∈R且x≠-1}； 当a<-1时，解集为{xlc<a或c>-1}。 (2)当x>-1时，解集为a={ala<x}: 当c=-1时，解集为0； 当x<-l时，解集为a={aa>c.} 17.【答案】(1)f(x)为偶函数，理由见解析； (2)证明见解析 【分析】(1)根利用奇偶性定义判断f(一x),f(x)的关系及定义域是否关于原点对称： (2)根据偶函数的对称性，只需(0，十∞)上(x)>0,利用指数函数、幂函数性质判断函数值符 号，即可证 【详解】(1)由解析式知，3”-1≠0，可得x≠0，故函数定义域为{xx≠0}，定义域关于原点 对称， --川g+号)-（是+号-州2+号）=- P中”(2」 L2(1-3)J (3之1十号)=i,则fa为偶函数： (2)由(1)知，f(x)为偶函数，只需证明(0，+∞)上f(x)>0, 时3”-1>0，故31+号>0.又>0， 丽以=+号>0在0，+m)上恒成立 结合偶函数对称性可知，f(x)>0在定义域上恒成立，得证. 18【答案】()1,9]：2-，-1U9+o 【详解】(1)求a的取值范围 令t=f(x)=a”,则g(x)=t2+(3-a)t-1,这是关于t的开口向上的二次函数，对称轴为t= a-3 2。 1),当0<a<1时，t=f(o)=a在[，1]上单调递减，故te[a,Wa]。 要使g(x)单调递增，需二次函数在t∈[a,√a]上单调递减，即对称轴在区间右侧：a,3≥√a 且a-3<0,√a>0,所以不等式无解。 2),当a>1时，t=f(a)=a在[号，1上单调递增，故te[Va,al。 要使g(x)单调递增，需二次函数在t∈[√ā，a]上单调递增，即对称轴在区间左侧： ·10 3≤√a,令u=√a(u>1),不等式化为u2-2u-3≤0，解得1<u≤3，即1<a≤9。 2 综上，a的取值范围为(1,9]。 (2)当a=2时，f(x)=2,令k=2(x≥0，故k≥1)，则 是+2誉-2+÷2壳2-2当组吸 k+1 当k+-十1时，即=1时取等号故A(的最小值为2，值域为2，+0 若对Hc1∈[-1,1]，都3x2∈[0，十oo),使得h(x)=(x),需满足的值域是[2，+∞)的子集，即 p(c)mn≥2. 1,当m≤-1时，()=x+x-m-1,对称轴x=一号，最小值在=-号处，(-号)=- -m, 令5-m≥2，解得m≤-8。 2),当m≥1时，)=++m-1,对称轴x=号，最小值在x=号处，p(号)=m- 令m-1≥2，解得m≥日。 3),当-1<m<1时，p(m)=m2-1<0<2,最小值小于2，不满足条件。 综上，m的取值范围为(-，只1U[,+w。 故答案为：一m,1u[9,+ 19.【答案】(1)(c)=1,x∈[0,1]；g()=x，x∈[0,1，r(c)= -+1.0<≤号：2) 星，3≤≤1 (1,+0∞) 【详解】 (1)根据定义： Rr(x)=max{ft)la≤t≤x} rf(x)=min{f(t)|a≤t≤c} ①R,f)=(},xe[0.山 f女)-（号在区间0，】上单调递减，其大值为f0)=(传尸=1。 故(x)=1,x∈[0,1]。 ②R,()(g()=x,xe[0,1]) 9(知)=x÷是单调递增函数，因此在区间[0，d]上的最大值为g()=。 故R,(x)=x,x∈[0,1]。 ③r(x)(h(x)=x2-x+1,c∈[0,1]) h(如)=云-x+1是开口向上的二次函数，对称轴为x=号，在[0,2]上单调递减，在 [},山上单调递增。 1),当0≤x≤}时，hd在[0，d上单调递减，最小值为h()=-+1 .11 2,当≤x≤1时，h(在[0，刘上的最小值为hM2)=(号-3+1= 2-+1,0≤c≤2 故n){3,占≤1 (2)已知f()=x+4是[1，b]上的“3阶收缩函数”，需满足： 对任意x∈[1，b],R(x)-Tr(x)≤3(x-1); k=3是满足条件的最小正整数（即k=2时不等式不恒成立）。 1:易得f(x)x+4在[1,2]上单调递减；f()在[2，b]上单调递增。 2:r(c)=min{f(t)l1≤t≤c}, ①当1≤≤2时，ft)递减，r,()=f(=x+4; ②当2≤c≤b时，f(t)在t=2处取得最小值f(2)=4,故r(x)=4。 r(x)=max{ft)|l≤t≤x}, ①当1≤x≤4时，f(x)≤5(f(1)=5,f(4)=5),故R(x)=5; ②当4≤x≤b时，f(x)≥5，故R()=f(x)=x+4 3):验证不等式R(x)-r(x)≤3(c-1). ①当1≤x≤2时， (四-@)=5-(+)，不等式为5--1≤3红-1)，化简得2≤2+1 因x∈[1,2]时x+1≥2（当且仅当x=1时取等号），故不等式恒成立。 ②当2≤x≤4： R()-r)=5-4=l,不等式为1≤3(-1)，即x≥告，显然成立。 ③当4≤x≤b: R(）-)=x+-4,不等式为x+-4≤3(x-1),化简得2x2+x-4≥0。 该不等式对x≥3-1≈1186成立，而r≥4满足条件，故不等式恒成立。 4 4):验证k=3是最小正整数， 卡=2时，取=1.2则e)-7=5-(后+2小032，而2a- 0.309,此时(x)-rr(x)>2(x-1),故k=2不满足。 综上，对任意b>1,k=3是满足条件的最小正整数，因此b的取值范围为(1，十∞)。 .12