精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由阶乘的定义求值即可. 【详解】由． 故选：D 2. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由命题为真分别求出的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】由知，在上有解， 所以； 因为的对称轴方程为，由知，， 因为不能推出，， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦型函数性质计算可得对称中心的横坐标，，再计算其中在区间中的个数即可得. 【详解】对于函数，其对称中心的横坐标满足， 故，，解得，， 其在区间上的横坐标可以为，，，，， 于是曲线在区间上有个对称中心. 故选：D. 4. 已知今天是星期三，则过天后是（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，求得除以7的余数，进而得到答案. 【详解】由， 因为， 所以过除以7的余数为1，所以今天是星期三，过天后是星期四. 故选：C. 5. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可发现与在R上单调递增，继而求解不等式即可. 【详解】假设， 所以，所以， 所以为奇函数， 而， 则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的， 所以的对称中心为，所以， 因为，所以， 易得，当且仅当时等号成立， 而，则， 所以恒成立，即在上单调递增， 所以在R上单调递增， 因为得， 所以，解得. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数，利用其奇偶性结合函数图象的平移和函数导数与单调性的关系即可得到，解出即可. 6. 在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，可证平面，由线面夹角可得，求相应长度即可得体积. 【详解】作，垂足为，连接， 因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及和两角和与差的三角函数公式可得. 【详解】由，再由同角三角函数关系得，， 即，两边平方得， 令，则，解得或（舍去）， 所以， . 故选：A. 8. 已知，函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象下方（所有点均不重合），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立.再设，求导，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，则，所以在上恒成立， 又，所以在上恒成立. 令，则， 当时，，当时，0， 所以在上单调递增，在上单调递减，故. 由题意可知，，所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则样本相关系数 B. 若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则决定系数 C. 样本点均匀地分布在由样本数据得到的经验回归直线的两侧 D. 样本点的中心一定在由样本数据得到的经验回归直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据经验回归直线的性质与相关系数的概念即可判断选项A；根据决定系数的公式即可判断选项B；根据经验回归直线的性质即可判断选项C；由经验回归直线的推导公式即可判断选项D. 【详解】若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则样本相关系数的绝对值，当回归直线的斜率为正时，；当回归直线的斜率为负时，，故选项A错误； 若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则，故决定系数，故选项B正确； 回归直线的残差和为0，但样本点不一定均匀地分布在经验回归直线的两侧，故选项C错误； 由经验回归直线的推导公式可知样本点的中心必满足经验回归直线方程，故样本点的中心一定在由样本数据得到的经验回归直线上，故选项D正确. 故选：BD. 10. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A直接用面面垂直的判定定理可得，对BCD则用空间向量分别计算点到面，点到线的距离及线面角可得. 【详解】设的中点为O，连接.因，所以. 又因，所以O为直角三角的外心，且， 所以，，得. 因，， ，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故A正确； 故以所在直线为轴，以过B点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，. 设平面的法向量，， 由，得，令，，. 与同方向的单位法向量， 所以在单位法向量上的投影向量的模， 得点到平面的距离为，故B错误； 再由，直线与平面所成角的正弦值为 ，所以C正确； 再由，取与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为，故D错误； 故选：AC. 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为1 C. 的最小值为6 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为正数即可得A；借助基本不等式计算即可得B、C；借助基本不等式“1”的活用计算即可得D. 【详解】对A：，则，又，则，故A正确； 对B：， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最大值为1，故B错误； 对C：， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对D：、 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为2，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列组合即可结合古典概型的概率公式求解. 【详解】从这7个数中任取3个不同的数，所有的情况有种， 要使得这3个不同的数的中位数为4，则需要从1,2,3中任选一个数，从5,6,7中任选一个数，再加上4，即可满足，故有, 故概率为， 故答案为： 13. 随机变量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算. 【详解】，． 故答案为： 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 【答案】2016 【解析】 【分析】应用分类计数及排列组合数求同年级的同学不相邻的站法数. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若存在，使得，求的取值范围 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； 【小问2详解】 由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 16. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1）； （2）①0.0072；②. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，①应用全概率公式求概率即可；②应用贝叶斯公式求所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率，再应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【小问1详解】 ，，所以， 则，故y关于t线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. （1）求抛物线E的标准方程； （2）记点，为上一点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义进行求解 （2）不妨设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再由直线与直线的斜率乘积为-1进行证明． 【小问1详解】 不妨记，，由，可知， 由抛物线的定义可得，解得， 故抛物线E的标准方程为. 【小问2详解】 证明：由可知，即 不妨设直线，联立， 可得到， ∴，， ∴， 代入可得 ∴，整理得， 易知，代入可得，故 ∴的斜率，而的斜率， ∴， ∴ 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点. （1）求证：； （2）已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1） 取中点，连接， 在直角梯形中， ， 故四边形为正方形，则， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ，平面，平面， ∴平面，平面， ∴. （2）①过作，∵平面， ∴平面， 由（1）可知，∴以为原点如图建立空间直角坐标系， 由（1）可知在直角中，为的外心， 故过的球的球心在直线上， 设，则，，∴， 设，则，即， 则，当时，方程无解， 故与平面不平行. ② 【解析】 【分析】取中点，在直角梯形中，证明，由线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，然后得到线线垂直； （2）①过点作的平行，得到三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系.然后证明球心在轴上，设和的坐标，得到点坐标，通过建立方程，假设平面，证明方程无解即可得到结论； ②写出平面的一个法向量，由线面角的正弦值建立方程，结合①中的方程，即可解得的值，即可求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 即，即，又∵且 ∴，即，， 即 19. 已知函数，. （1）求的极值点的个数； （2）证明：当时，有且仅有两个零点； （3）当存在两个零点，时，证明：. 【答案】（1）一个 （2） 当时，. 当，；当，； 若，， 由（1）知，在区间上单调递减，在上单调递增， 故， 由函数零点存在定理，在区间上恰有一个零点；在上恰有一个零点，共存在两个零点. （3） 由题，可得，， 所以， 由，故，所以， 故， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性，判断极值点个数； （2）当时，判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断； （3）根据零点的定义得，，进而得，结合，得，得证. 【小问1详解】 函数定义域为，对函数求导得， 令，整理得方程，解得， 又因为，显然，不在定义域内， 而，在定义域内， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 2. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知今天是星期三，则过天后是（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 5. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象下方（所有点均不重合），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则样本相关系数 B. 若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则决定系数 C. 样本点均匀地分布在由样本数据得到的经验回归直线的两侧 D. 样本点的中心一定在由样本数据得到的经验回归直线上 10. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为1 C. 的最小值为6 D. 的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为______． 13. 随机变量，若，则______． 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若存在，使得，求的取值范围 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. （1）求抛物线E的标准方程； （2）记点，为上一点，求证：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点. （1）求证：； （2）已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数，. （1）求的极值点的个数； （2）证明：当时，有且仅有两个零点； （3）当存在两个零点，时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $