13.3三角形的内角与外角 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以“三角形内角与外角”为核心，通过基础巩固、能力提升、素养拓展三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点|内角和、直角三角形性质与判定、外角定义及性质|基础计算与辨析，如内角和基本应用、外角识别| |过能力|折叠、新情境、跨学科（物理光学）、易错题|一题多解（如三角尺放置）、实际应用（单车骑行）| |过素养|几何直观、综合探究、活动（搭三角形、三角剖分）|动态问题（点P运动）、传统文化（抖空竹）、规律探究|

13.3三角形的内角与外角 课时1 三角形的内角 知识点 三角形的内角和 1.在△ABC中,若∠A+∠C=4∠B,则∠B的度数为 ( ) A.36° B.72° C.108° D.144° 2. [2026西安莲湖区期末]如图,AB∥ED,∠A=35°,∠C=15°,则∠D的度数是 ( ) A.120° B.130° C.110° D.135° 3. [2026台州温岭期末]如图,将△ABC沿DE 折叠,使点C的对应点C'与点B 重合,若∠A=76°,∠C=32°,则∠ABE的度数为 ( ) A.40° B.32° C.30° D.45° 4.>教材P13T2变式|一题多解如图,点E,D分别在AB,AC 上. 若∠B = 30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为( ) A.85° B.80° C.75° D.70° 5. [2026南昌二中月考]在△ABC中,∠A是∠B的2倍，且∠C 的度数比∠A +∠B 的度数和大12°,试判断△ABC的形状. 6.>教材P17T7变式[2026舟山期中]如图，一艘轮船从B处沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段时间后到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,求∠BAC的度数. 过能力 解题能力提升 7.一题多解[2026 石家庄桥西区一模]一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在边DE上，点F在边BC上,AD⊥AC,则∠BFD的度数为 () A.45° B.60° C.75° D.80° 8.新情境[2026青岛市南区期末]单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD,∠ACD =70°,CE 平分∠ACD,∠BAE=60°,则∠AEC 的度数是 . 9.>易错题[2026中山期中]当三角形中一个内角β的度数是另一个内角α的度数的二分之一时，我们称此三角形为“友好三角形”，这个内角α为“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 . 10. [2026 榆林期中] 如图,在△ABC中,点O 是△ABC内部∠ABC 平分线上的一点,连接OC,点 P 是∠BOC,∠OCB 平分线的交点. 若∠P =100°,则∠ABC的度数为 . 11.>跨学科·物理 [2026鸡西期末]如图1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等(即∠1=∠2).如图2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上……若∠α=55°，∠γ=75°,则∠β= 过素养 综合创新应用 12.》几何直观[2026 湛江期中]问题情景：如图1，有一块含30°角的直角三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC类题讲解内),使三角尺 PMN 的两条直角边 PM,PN恰好分别经过点 B 和点 C.试问∠ABP 与∠ACP 之间是否存在某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若∠A =50°,则∠ABC +∠ACB= 130 °.∵ ∠PBC +∠PCB = ,∴∠ABP+∠ACP= . (2)类比探究:请探究∠ABP +∠ACP 与∠A之间的数量关系. (3)类比延伸：如图2，改变直角三角尺 PMN的位置，使点 P 在△ABC外，直角三角尺PMN的两条直角边 PM，PN分别经过点C和点B，则(2)中的结论是否仍然成立?若不成立，请直接写出你的结论. 课时2 直角三角形的性质与判定 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 1. [2026长沙期末]如图,在△ABC 中,∠C=90°,EF∥AB,∠B=39°,则∠1 的度数为 () A.39° B.51° C.38° D.52° 2.>教材P14T1变式[2026 哈尔滨三十九中期中]如图，在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD 是△ABC的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点 E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是 () A.3 B.4 C.5 D.6 3. >教材P14例3变式如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点B 作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若∠DBE=25°,则∠CAB 的度数为 . 4. 》易错题 [2026新乡期末]如图,∠AON=56°,点P是射线ON上一动点.∠AON 的平分线OB交AP于点B.当△BOP 为直角三角形时,∠A的度数为 5. [2026 嘉兴期中] 如 图,在△ABC中,∠C=90°,过点A的直线交BC 于点D，若∠CAD=∠B,且∠BAD=m∠CAD,则我们称AD 是Rt△ABC 的m倍形似线.已知直线AD是Rt△ABC 的2倍形似线,则∠B= . 6. [2026 吉林龙潭区期末] 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AC 于点E,AD,BE相交于点 F. (1)若∠CAD=36°,求∠AEF 的度数 (2)证明:∵BE平分∠ABC, 知识点2两个锐角互余的三角形是直角三角形 7.>教材P21T1变式[2026漯河实验中学期中]给出下列条件:①∠A+∠B =∠C,②∠A:∠B:∠C =1:2:3,③∠A = 90° - ∠B,④∠A = ∠B= ∠C,⑤∠A=2∠B = 3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.(1)如图1,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边 AC,AB 上,且∠ADE =∠B,判断△ADE的形状，并说明理由. (2)如图2,在△ABC和△DBE中,∠C=90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E在同一条直线上，判断∠A 与∠D 之间的数量关系，并说明理由. 一题多变 三角形的角平分线与高的夹角问题 1.>不共顶点的高与角平分线 [2026 抚顺期中]如图，AD是△ABC的角平分线,∠ACB>∠B,过点 C作CE⊥AD,垂足为点 E.课内提分区 (1)若∠B=35°,∠ACB=85°,则∠ECD的度数是 25°; (2)猜想∠ECD与∠B,∠ACB 之间的数量关系，并说明理由. 2.>共顶点的高与角平分线 [2026大同一中月考]如图，AD是△ABC的高,AE平分∠BAC,交BC于点E. (1)若∠B=62°,∠C=46°,求∠DAE的度数; (2)若∠B-∠C=30°,求∠DAE的度数. 3.亮底边的垂线与角平分线所在直线相交在△ABC中,AE平分∠BAC,交BC于点 E,F为直线AE 上的一点，且FD⊥BC 于点D.(∠C>∠B) (1)如图1,若∠B=40°,∠C=60°,点F在线段AE上,求∠EFD 的度数; (2)如图2，当点F在AE的延长线上时，请猜想∠EFD 与∠B,∠C 之间的数量关系,并加以证明. 课时3 三角形的外角 知识点 1 三角形外角的定义 1. [2026厦门十一中期末]如图,AC 与 BP 交于点D,连接AB,CP,点 M在BC的延长线上.其中，∠PCM 是图中某个三角形的外角，则该三角形是 () A. △ABC B. △PCD C. △DBC D. △PBC 2.[2026宁波期中]三角形的一个外角为90°，则这个三角形一定是 () A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 知识点 2 三角形外角的性质 3.[2026南昌新建区期末]体育课上，学生侧压腿时的一个瞬间可以抽象为如图所示的图形，此时，该学生的一条腿与地面垂直.若∠1=125°,则∠2 的度数为 () A.35° B.30° C.25° D.20° 4.》跨学科·物理 [2026天津河东区期末]如图，一个平面镜EF 放置在两个互相平行的挡板l₁和l₂之间，平面镜EF与挡板l所成的锐角∠FEG为33°.一光₁束从A处投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板 l₂上的点 C 处. 若∠ABE =∠CBF =63°,则∠BCA 的度数为( ) A.96° B.95° C.90° D.88° 5. ◇一题多解 [2025 湘西州期末]如图,D,B,C,E四点在同一 条 直 线 上,∠ABD +∠ACE=240°,则∠A的度数为 ( ) A.80° B.70° C.60° D.50° 6. [2025汕头澄海区期中]如图，点 D，E分别在线段BC,AC 上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的度数为 . 7. 》一题多解 [2026池州期末]如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,∠BAC=75°,求∠DAC的度数. 8. [2026南京金陵汇文学校期末]如图,CE平分△ABC的外角∠ACD,且CE交BA的延长线于点 E. (1)若∠B=32°,∠E=36°,求∠BAC的度数; (2)试猜想∠BAC,∠B,∠E三个角之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 9. 新趋势·传统文化如图1 是“抖空竹”时的一个瞬间,小明把它抽象成图2,且AB∥CD,∠E=30°,∠ECD=110°,则∠A 的度数是 () A.60° B.70° C.80° D.90° 10. [2026南昌中学教育集团期末]如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角(∠A,∠B,∠C,∠D,∠E)的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数为 ( ) A.40° B.36° C.35° D.30° 11.◇一题多解一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°,∠B,∠C分别为21°和32°.检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，这是为什么? 一题多变 三角形的折叠 1.对应点在三角形边上[2026 抚顺期末]如图，在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其沿CD折叠,使点 A 的对应点 A'落在边 CB 上，则∠A'DB= .课内提分 2.对应点在三角形内[2025 广州海珠区期末]如图，在三角形纸片ABC 中,∠A =75°,∠B=65°,将纸片的一角沿DE 折叠，使点 C 落在△ABC 内部的点C'处,若∠1=45°,则∠2= . 3.对应点在三角形外[2026安阳文峰区期末]如图,在△ABC中,∠A =54°,∠C=46°,D 是线段AC上的一个动点，连接BD，把△ABC沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处.当 C'D平行于△ABC 的边时,∠CDB 的大小为 . 4. 两次折叠 [2026新乡十中期中]已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠ABC=∠C.将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到AB 边上的点E处，折痕为BD(如图乙)，再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙).在原三角形纸片ABC中,∠A 的度数为 . 过能力 解题能力提升 活动 /1搭等边三角形 1.[2026朝阳一中期末]用若干根长度相等的火柴棒按照如图所示的规律搭等边三角形，则搭出2026个等边三角形时，需要的火柴棒数量为 ( ) A.4054 B.4053 C.4052 D.4051 2.[2026武汉江岸区期中]用若干根等长的磁力棒(图1)可以搭成平面图形也可以搭成立体图形，用3根磁力棒最多可以搭成1个等边三角形(图2)，用6根磁力棒最多可以搭成4个等边三角形(图3)，则用18根磁力棒最多可以搭成的等边三角形的个数为 ( ) A.12 B.14 C.15 D.16 活动2多边形的三角剖分 3.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.将下面的多边形进行三角剖分，如图1. (1)图1中四边形可以剖分出 个三角形，五边形可以剖分出 3 个三角形，六边形可以剖分出 个三角形. (2)已知一个多边形有10个顶点，在对其进行三角剖分时，从一个顶点出发最多能 引出 7 条对角线用于三角剖分，这些对角线将多边形分成了 8 个三角形.已知一个多边形有n个顶点，在对其进行三角剖分时，从一个顶点出发最多能引出 条对角线用于三角剖分，这些对角线将多边形分成了 个三角形. (3)如图2，将一个四边形进行三角剖分，容易看出有2种剖分方法，请在图3中将五边形进行三角剖分，并说明五边形共有多少种剖分方法. (4)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(Dn)的公式，后来数学家发现并证明：当n≥3 时， ，请利用此公式，计算六边形、七边形的三角剖分方法数. 解释版 13.3三角形的内角与外角 课时1 三角形的内角 知识点 三角形的内角和 1.在△ABC中,若∠A+∠C=4∠B,则∠B的度数为 ( A ) A.36° B.72° C.108° D.144° 2. [2026西安莲湖区期末]如图,AB∥ED,∠A=35°,∠C=15°,则∠D的度数是 ( B ) A.120° B.130° C.110° D.135° 3. [2026台州温岭期末]如图,将△ABC沿DE 折叠,使点C的对应点C'与点B 重合,若∠A=76°,∠C=32°,则∠ABE的度数为 ( A ) A.40° B.32° C.30° D.45° 4.>教材P13T2变式|一题多解如图,点E,D分别在AB,AC 上. 若∠B = 30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为(A) A.85° B.80° C.75° D.70° 5. [2026南昌二中月考]在△ABC中,∠A是∠B的2倍，且∠C 的度数比∠A +∠B 的度数和大12°,试判断△ABC的形状. 解:∵∠A是∠B的2倍,∠C的度数比∠A+∠B的度数和大12°, ∴∠A=2∠B,∠C=∠A+∠B+12°, ∴∠C=3∠B+12°. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴6∠B+12°=180°, ∴ ∠B = 28°,∴ ∠A = 2∠B = 56°, ∠C =3∠B+12°=96°, ∴△ABC为钝角三角形. 6.>教材P17T7变式[2026舟山期中]如图，一艘轮船从B处沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段时间后到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,求∠BAC的度数. 解:如图,根据题意,得∠ABD=75°,∠BCE=∠DBC=30°,∠ACE=60°, 所以∠ACB = ∠BCE + ∠ACE =30°+60°=90°, ∠CBA = ∠ABD - ∠DBC = 75°-30°=45°. 在△ABC 中,∠BAC =180° - ∠CBA ﹣∠ACB=180°-45°-90°=45°. 过能力 解题能力提升 7.一题多解[2026 石家庄桥西区一模]一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在边DE上，点F在边BC上,AD⊥AC,则∠BFD的度数为 (C) A.45° B.60° C.75° D.80° 8.新情境[2026青岛市南区期末]单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD,∠ACD =70°,CE 平分∠ACD,∠BAE=60°,则∠AEC 的度数是 95°. 9.>易错题[2026中山期中]当三角形中一个内角β的度数是另一个内角α的度数的二分之一时，我们称此三角形为“友好三角形”，这个内角α为“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 54°,84°或108°. 10. [2026 榆林期中] 如图,在△ABC中,点O 是△ABC内部∠ABC 平分线上的一点,连接OC,点 P 是∠BOC,∠OCB 平分线的交点. 若∠P =100°,则∠ABC的度数为 40 °. 11.>跨学科·物理 [2026鸡西期末]如图1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等(即∠1=∠2).如图2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上……若∠α=55°，∠γ=75°,则∠β= 50 °. 过素养 综合创新应用 12.》几何直观[2026 湛江期中]问题情景：如图1，有一块含30°角的直角三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内),使三角尺 PMN 的两条直角边 PM,PN恰好分别经过点 B 和点 C.试问∠ABP 与∠ACP 之间是否存在某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若∠A =50°,则∠ABC +∠ACB= 130 °.∵ ∠PBC +∠PCB = 90 °,∴∠ABP+∠ACP= 40 °. (2)类比探究:请探究∠ABP +∠ACP 与∠A之间的数量关系. (3)类比延伸：如图2，改变直角三角尺 PMN的位置，使点 P 在△ABC外，直角三角尺PMN的两条直角边 PM，PN分别经过点C和点B，则(2)中的结论是否仍然成立?若不成立，请直接写出你的结论. 解:(2)∵ ∠PBC + ∠PCB = 180°− ∠P =180°-90°=90°,∠PBC+∠PCB +∠ABP +∠ACP+∠A=180°, ∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°, ∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立.结论:∠ACP-∠ABP=90°-∠A.解法提示:在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A. ∵∠P =90°,∴ ∠PBC +∠PCB =180°-∠P =180°-90°=90°,∴ ∠ABC+∠ACB﹣(∠PBC+∠PCB) =180°-∠A-90°=90°-∠A. 又∵ ∠PBC = ∠ABP + ∠ABC, ∠ACB =∠ACP+∠PCB, ∠ABC - ∠PCB = 90° - ∠A,∴ ∠ACP -∠ABP=90°-∠A. 课时2 直角三角形的性质与判定 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 1. [2026长沙期末]如图,在△ABC 中,∠C=90°,EF∥AB,∠B=39°,则∠1 的度数为 (B) A.39° B.51° C.38° D.52° 2.>教材P14T1变式[2026 哈尔滨三十九中期中]如图，在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD 是△ABC的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点 E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是 (A) A.3 B.4 C.5 D.6 3. >教材P14例3变式如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点B 作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若∠DBE=25°,则∠CAB 的度数为 50°. 4. 》易错题 [2026新乡期末]如图,∠AON=56°,点P是射线ON上一动点.∠AON 的平分线OB交AP于点B.当△BOP 为直角三角形时,∠A的度数为 34°或62°. 5. [2026 嘉兴期中] 如 图,在△ABC中,∠C=90°,过点A的直线交BC 于点D，若∠CAD=∠B,且∠BAD=m∠CAD,则我们称AD 是Rt△ABC 的m倍形似线.已知直线AD是Rt△ABC 的2倍形似线,则∠B= 22.5 °. 6. [2026 吉林龙潭区期末] 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AC 于点E,AD,BE相交于点 F. (1)若∠CAD=36°,求∠AEF 的度数 (2)求证:∠AEF=∠AFE. (1)解:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAD=90°, ∴∠ABD=∠CAD=36°. ∵BE 平分∠ABC, ∴∠AEF=90°-∠ABE=72°. (2)证明:∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵∠BAC=90°,∠ADB=90°, ∴∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°, ∴∠AEF=∠BFD. ∵∠AFE =∠BFD,∴∠AEF=∠AFE. 知识点2两个锐角互余的三角形是直角三角形 7.>教材P21T1变式[2026漯河实验中学期中]给出下列条件:①∠A+∠B =∠C,②∠A:∠B:∠C =1:2:3,③∠A = 90° - ∠B,④∠A = ∠B= ∠C,⑤∠A=2∠B = 3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 (C) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.(1)如图1,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边 AC,AB 上,且∠ADE =∠B,判断△ADE的形状，并说明理由. (2)如图2,在△ABC和△DBE中,∠C=90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E在同一条直线上，判断∠A 与∠D 之间的数量关系，并说明理由. 解：(1)△ADE是直角三角形.理由如下：在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°. ∵ ∠ADE =∠B,∴∠A+∠ADE=90°, ∴∠AED=90°,∴△ADE是直角三角形. (2)∠A+∠D=90°.理由如下: ∵∠C=90°,∠E=90°, ∴∠ABC+∠A=90°,∠DBE+∠D=90°. ∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°, ∴∠ABC+∠DBE=90°,∴∠A=∠DBE, ∴∠A+∠D=90° 一题多变 三角形的角平分线与高的夹角问题 1.>不共顶点的高与角平分线 [2026 抚顺期中]如图，AD是△ABC的角平分线,∠ACB>∠B,过点 C作CE⊥AD,垂足为点 E.课内提分区 (1)若∠B=35°,∠ACB=85°,则∠ECD的度数是 25°; (2)猜想∠ECD与∠B,∠ACB 之间的数量关系，并说明理由. 解： 理由如下：3.亮底边的垂线与角平分线所在直线相交在△ABC中,AE平分∠BAC,交BC于点 E,F为直线AE 上的一点，且FD⊥BC 于点D.(∠C>∠B) (1)如图1,若∠B=40°,∠C=60°,点F在线段AE上,求∠EFD 的度数; 视频解题 (2)如图2，当点F在AE的延长线上时，请猜想∠EFD 与∠B,∠C 之间的数量关系,并加以证明. 解:(1)∵∠B=40°,∠C=60°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠FEC=180°-∠C-∠CAE=80°. ∵FD⊥BC,∴∠FDE=90°, ∴∠EFD=90°-∠FEC=10°. 证明如下： ∵AE平分∠BAC, ∵ FD⊥BC,∴∠FDE=90°, 在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠ACB. ∵AD是△ABC的角平分线, ∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°, 2.>共顶点的高与角平分线 [2026大同一中月考]如图，AD是△ABC的高,AE平分∠BAC,交BC于点E. (1)若∠B=62°,∠C=46°,求∠DAE的度数; (2)若∠B-∠C=30°,求∠DAE的度数. 解: (1) 在 △ABC 中,∠BAC= 180° - ∠B −∠C=72°. ∵AE平分∠BAC, ∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°-∠B=28°, ∴∠DAE=∠BAE=∠BAD=8°. (2)∵∠B﹣∠C=30°,∴∠B=∠C+30°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=150°-2∠C. ∵AE 平分∠BAC, ∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°-∠B=60°-∠C, 课时3 三角形的外角 知识点 1 三角形外角的定义 1. [2026厦门十一中期末]如图,AC 与 BP 交于点D,连接AB,CP,点 M在BC的延长线上.其中，∠PCM 是图中某个三角形的外角，则该三角形是 ( D ) A. △ABC B. △PCD C. △DBC D. △PBC 2.[2026宁波期中]三角形的一个外角为90°，则这个三角形一定是 (C) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 知识点 2 三角形外角的性质 3.[2026南昌新建区期末]体育课上，学生侧压腿时的一个瞬间可以抽象为如图所示的图形，此时，该学生的一条腿与地面垂直.若∠1=125°,则∠2 的度数为 A.35° B.30° C.25° D.20°( A ) 4.》跨学科·物理 [2026天津河东区期末]如图，一个平面镜EF 放置在两个互相平行的挡板l₁和l₂之间，平面镜EF与挡板l所成的锐角∠FEG为33°.一光₁束从A处投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板 l₂上的点 C 处. 若∠ABE =∠CBF =63°,则∠BCA 的度数为(A) A.96° B.95° C.90° D.88° 5. ◇一题多解 [2025 湘西州期末]如图,D,B,C,E四点在同一 条 直 线 上,∠ABD +∠ACE=240°,则∠A的度数为 ( C ) A.80° B.70° C.60° D.50° 6. [2025汕头澄海区期中]如图，点 D，E分别在线段BC,AC 上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的度数为 70°. 7. 》一题多解 [2026池州期末]如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,∠BAC=75°,求∠DAC的度数. 解:设∠1 = ∠2 =x,则∠4=∠3=∠1+∠2=2x. ∵∠BAC=75°, ∴∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-75°=105°,即x+2x=105°,解得x=35°,∴∠1=35°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠1=75°﹣35°=40°. 8. [2026南京金陵汇文学校期末]如图,CE平分△ABC的外角∠ACD,且CE交BA的延长线于点 E. (1)若∠B=32°,∠E=36°,求∠BAC的度数; (2)试猜想∠BAC,∠B,∠E三个角之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 解:(1)∵∠B=32°,∠E=36°,∴ ∠ECD = ∠B + ∠E =32°+36°=68°. ∵EC平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ECD=68°, ∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°. (2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如下: ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD. 又∵∠ECD=∠B+∠E, ∴ ∠BAC = ∠ACE + ∠E = ∠ECD + ∠E =∠B+∠E=∠B+∠E+2∠E,即∠BAC=∠B+2∠E9. 新趋势·传统文化如图1 是“抖空竹”时的一个瞬间,小明把它抽象成图2,且AB∥CD,∠E=30°,∠ECD=110°,则∠A 的度数是 ((C) A.60° B.70° C.80° D.90° 10. [2026南昌中学教育集团期末]如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角(∠A,∠B,∠C,∠D,∠E)的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数为 ( B ) A.40° B.36° C.35° D.30° 11.◇一题多解一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°,∠B,∠C分别为21°和32°.检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，这是为什么? 解：如图，延长CD交AB于点E. ∵工人量得∠BDC=148°, ∴ ∠BDE = 180° - ∠BDC =180°-148°=32°. ∵∠B=21°,∴ ∠AEC =∠B +∠BDE=21°+32°=53°. ∵ ∠C = 32°,∴ ∠A = 180°-∠C-∠AEC=95°≠90°, ∴这个零件不合格.B 一题多变 三角形的折叠 1.对应点在三角形边上[2026 抚顺期末]如图，在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其沿CD折叠,使点 A 的对应点 A'落在边 CB 上，则∠A'DB= 20 °.课内提分 2.对应点在三角形内[2025 广州海珠区期末]如图，在三角形纸片ABC 中,∠A =75°,∠B=65°,将纸片的一角沿DE 折叠，使点 C 落在△ABC 内部的点C'处,若∠1=45°,则∠2= 35 °. 3.对应点在三角形外[2026安阳文峰区期末]如图,在△ABC中,∠A =54°,∠C=46°,D 是线段AC上的一个动点，连接BD，把△ABC沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处.当 C'D平行于△ABC 的边时,∠CDB 的大小为 67°或117°. 4. 两次折叠 [2026新乡十中期中]已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠ABC=∠C.将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到AB 边上的点E处，折痕为BD(如图乙)，再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙).在原三角形纸片ABC中,∠A 的度数为 36°. 过能力 解题能力提升 活动 /1搭等边三角形 1.[2026朝阳一中期末]用若干根长度相等的火柴棒按照如图所示的规律搭等边三角形，则搭出2026个等边三角形时，需要的火柴棒数量为 (B) A.4054 B.4053 C.4052 D.4051 2.[2026武汉江岸区期中]用若干根等长的磁力棒(图1)可以搭成平面图形也可以搭成立体图形，用3根磁力棒最多可以搭成1个等边三角形(图2)，用6根磁力棒最多可以搭成4个等边三角形(图3)，则用18根磁力棒最多可以搭成的等边三角形的个数为 (D) A.12 B.14 C.15 D.16 活动2多边形的三角剖分 3.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.将下面的多边形进行三角剖分，如图1. (1)图1中四边形可以剖分出 2 个三角形，五边形可以剖分出 3 个三角形，六边形可以剖分出 4 个三角形. (2)已知一个多边形有10个顶点，在对其进行三角剖分时，从一个顶点出发最多能 引出 7 条对角线用于三角剖分，这些对角线将多边形分成了 8 个三角形.已知一个多边形有n个顶点，在对其进行三角剖分时，从一个顶点出发最多能引出 (n-3) 条对角线用于三角剖分，这些对角线将多边形分成了(n-2)个三角形. (3)如图2，将一个四边形进行三角剖分，容易看出有2种剖分方法，请在图3中将五边形进行三角剖分，并说明五边形共有多少种剖分方法. (4)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(Dn)的公式，后来数学家发现并证明：当n≥3 时， ，请利用此公式，计算六边形、七边形的三角剖分方法数. 解：(3)如图3，将五边形进行三角剖分，共有5种剖分方法. (4)由(3)可知, 所以 所以 由 可得 D₇=42. 学科网（北京）股份有限公司 $