第三章 函数的概念与性质 章末复习课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念与性质，涵盖具体函数、三要素、图象及应用等核心内容，通过知识网络梳理从具体函数到抽象定义、性质的逻辑脉络，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于以例题与变式训练为载体，通过定义域求解、分段函数图象分析等实例，培养学生逻辑推理与直观想象素养。采用问题驱动教学，学生能深化知识理解，教师可高效开展章末复习。

章末复习课 第三章 <<< 知识网络 函数的三要素 1.函数的三要素是指函数的定义域、对应关系、值域.其中定义域是研究函数时首先要考虑的,求函数的定义域多转化为解不等式问题.函数三要素的探求多用到换元、数形结合等方法. 2.掌握函数的三要素,提升逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养. 【例1】 (1)若函数f(x)的定义域为[0,3],则函数g(x)=的定义域为 (　　) A.(-1,1)∪(1,8] B.[-1,1)∪(1,8] C.[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2] D.[-2,-1)∪(1,2] D 解析 由于函数f(x)的定义域为[0,3],所以g(x)=的定义域需要满足解得1<x≤2或-2≤x<-1,故定义域为[-2,-1)∪(1,2].故选D. (2)已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=　　 　　. 2 解析 因为f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24, 所以(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24, 所以a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24, 所以解得 所以5a-b=5-3=2或5a-b=-5-(-7)=2, 所以5a-b的值为2. (3)函数y=的最大值为　　　　　.  解析 易知y=(x∈R), 当x=0时,y=;当x≠0时,x2>0. 易知, 所以y=. 综上,y=的最大值为. 变式训练1 (1)我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.在研究函数的图象时,常和性质来分析,已知f(x)=x+,则其倒数的大致形状是(　　) A 解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},由于f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),可知f(x)为奇函数,即得函数也为奇函数,因此图象应关于原点对称,故排除B,C选项;又当x>0时,f(x)=x+>0,得>0,故排除D选项.故选A. (2)(2026四川外国语大学附中期中)定义max{a,b}=设函数f(x)= -x+3,g(x)=-(x-1)2+4,记函数F(x)=max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,4],则|m-n|的最大值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 解析 令-x+3=-(x-1)2+4,解得x=0或x=3,作出F(x)的大致图象如右. 令-x+3=-(x-1)2+4=4⇒x=-1或x=1,结合图象可知,若函数F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,4],可知n=3,m∈[-1,1], 所以|m-n|的最大值为|-1-3|=4.故选C. (3)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2x,则当x<0时,y=f(x)的解析式为　　　　　　　　.  -1-2x 解析 y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2x, 则当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[1-2(-x)]=-1-2x, 所以当x<0时,y=f(x)的解析式为f(x)=-1-2x. 函数图象的画法及应用 1.画函数的图象,可以用描点法,也可以用变换法,要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图. 2.利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. (1)画出f(x)的大致图象; (2)若x∈[-2,3],求f(x)的最大值和最小值; (3)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围. 解 (1)当x≤0时,f(x)=x2,图象为抛物线的一部分,当x>0时,f(x)=4-2x,图象为直线的一部分,可得图象: (2)x∈[-2,3],由图象可知,当x=-2时,f(x)取得最大值,最大值为4; 当x=3时,f(x)取得最小值,最小值为-2. (1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)的图象; (2)根据图象写出函数的单调递减区间; (3)如果直线y=a与函数f(x)的图象有三个交点,求a的取值范围. 解 (1)描点连线,作图即可. (2)单调递减区间为(-∞,0),[0,2]. (3)当a∈(-2,0)时,直线y=a和函数f(x)图象有三个交点. 函数的性质应用 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型,解不等式时经常结合图象,一定要注意定义域的影响.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会综合运用函数的性质,进一步提升逻辑推理和直观想象素养. (1)求实数m和n的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值. ∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增. 变式训练3 已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在[0,3]上的最大值为3,最小值为-1. (1)求f(x)的解析式; (2)若∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx,求实数m的取值范围. 解 (1)f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=2, 函数的应用 1.将现实生活中的实际应用问题建立合适的数学模型并解决,这是需要具备的一项重要素养. 2.通过构造数学模型解决实际问题,提升数学建模和数学运算素养. 【例4】 天气转冷,某暖手宝厂商为扩大销量,拟进行促销活动.根据前期调研,获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元(x≥0)满足关系式a=8-(k为常数),而如果不搞促销活动,该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元,厂家将每件产品的销售价格定为(36+)元,设该产品的利润为y万元.(注:利润=销售收入-投入成本-促销费用) (1)求出k的值,并将y表示为x的函数; (2)促销费用为多少万元时,该产品的利润最大?此时最大利润为多少? 变式训练4 (2026浙江台州期中)经过调研发现,某机器工厂每月生产的机器数量W(单位:台)和成本x(单位:万元)满足如下关系: W(x)=已知该机器的市场售价为1万元/台,且供不应求,记工厂每月的利润为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的函数解析式; (2)当成本x为多少万元时,该工厂每月的利润最大?最大利润是多少万元? 解 (1)由题意f(x)=W(x)-x= 所以f(x)= (2)当0<x≤3时,x+1∈(1,4], f(x)=19--x=20-(+x+1)≤20-2=16, 当且仅当=x+1,即x=1时等号成立,此时f(x)max=16; 当3<x≤6时,f(x)=-x2+8x-5的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=4,所以当x=4时,f (x)max=f(4)=11. 综上,当成本为1万元时,该工厂每月的利润最大,最大利润是16万元. 随堂演练 1.[2026山东聊城期中]函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题意可得解得且 ，故该函数的定义域 为 . 35 2.已知函数是定义域为的奇函数，当时， ， 则 ( ) D A. B. C. D. 36 【解析】 因为函数是定义域为 的奇函数，所以 . 令，则，所以,又 是定义域为的奇函数，所以,所以当 时， ，所以 . 37 3.[2026陕西西安高陵三中期末]函数 的图象为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由，及函数 的 定义域为，得是偶函数，其图象关于 轴对称，故排除A，C.因为 ，所以排除B，故选D. 38 4.已知定义在上的奇函数在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为为上的奇函数，且在 上单调递增，所以 在上单调递增.由不等式 可得 解得 ，故选A. 39 5.[2026广东广州期末]对实数和定义运算“ ”: 设 函数,，若有三个根，则实数 的取 值范围是( ) B A. B. C. D. 40 【解析】 由，得 ；由 ，得或 ，则 画出函数 的图象及 直线 ，如图. 由有三个根，得函数的图象与直线 有3个交点，观 察图象，得，所以实数的取值范围是 . 41 6.已知函数在区间上单调递增，则, 的取值可以是 ( ) C A., B., C., D., 【解析】 （分类讨论）当时， ，因 为函数在区间上单调递增，所以，故B错误；当 时，，因为函数 在区间 42 上单调递增，所以结合反比例函数的性质可知， 即 故A，D错误，C正确. （代入法）对于A， ，结合反比例函数的性质知函数 在和 上单调递增，A错误；对于B， ，函数在 上单调递减，B错误；对于 C， ，结合反比例函数的性质知函数 在 上单调递增，C正确；对于D， ，结合反比例函数的性质知函数 在 和 上单调递减，D错误. 7.[2026江西赣州期末]已知函数的定义域为且 ， 其图象是一条连续不断的曲线，且满足.若 , ，当时，总有 成立，且满足 的实数的取值范围是 ，则 的值为( ) C A.1 B.4 C.5 D.8 45 【解析】 由知为奇函数且 , ，当时，总有，即 ，令 ，则,所以在 上单调递增，又 ,的图象是连续不断的曲线，所以在 上单调递增.又 为奇函数，所以，即 为偶函 数，所以.因为 ，所以 ，即 ，即 ，解得且 .又 46 ，所以 ，则有 解得 .故选C. 8.定义在区间上的函数满足 ，且当 时，.若，， ，则 ( ) B A. B. C. D. 48 【解析】 设，由，得 ，则 ，可得，则 ，因为 时，所以，即 ，所以 ，故函数在 上单调递增.因为 ，所以，取 ， ，则，则，因为 ，所以 ，即 . 49 9.（多选）已知定义在上的偶函数，它在 上的图象如 图所示，则该函数( ) AC A.有两个单调递增区间 B.有三个单调递减区间 C.在其定义域内有最大值7 D.在其定义域内有最小值 50 【解析】 由题意作出该函数在 上 的图象,如图所示.由图象可知该函数有两 个单调递增区间,两个单调递减区间,A正 确，B错误；由图可知该函数在其定义域 内有最大值7,最小值 ，C正确，D错误. 51 10.（多选）用表示不小于的最小整数，例如， .已知 ，则( ) AD A. B. 为奇函数 C.的值域为 D.方程的所有根的和为 52 【解析】 . 因为，且 ， 即，所以函数 不是奇函数. 当,时， ，可得 ，所以的值域为 . 若，即，则 ，因为 ，所以，解得，当 时， 满足方程，即是方程的根；当时， ， 故，解得，故方程所有根的和为 . 53 11.（多选）[2026湖北武汉六校联考]已知函数的定义域为， 为偶函数， ，则( ) ACD A. B. 为奇函数 C. D. 【解析】 因为为偶函数，所以 ，即 ，所以函数的图象关于直线 对称，又 ，且 ，所以 ，即,所以函数 的图象关于 点中心对称，故B错误；由 ,得 54 ，又，所以 ， 故，故C正确； ，故A正 确；，， ,故 ， 所以 ，故D正确. 12.已知点在幂函数的图象上，则函数 在区间 上的值域为_______. 【解析】 因为函数是幂函数，所以 ，解得 ，所以，因为点在幂函数 的图象上，所以 ，解得.因为在 上单调递增，所以函数 在上的值域为 . 56 13.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 （不超过按起步价付费）；超过但不超过 时，超过部分按 2.15元/收费；超过时，超过部分按2.85元/ 收费;另外每次乘车 需支付燃油附加费1元．若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则他乘坐出 租车行驶了___ . 9 57 【解析】 设出租车行驶时,乘客需付费 元,则 即 由,知 , 所以,解得 . 58 14.已知函数在上的最大值比最小值大 ， 则 ___. 1 【解析】 函数的定义域为 ,关于原点对称，又 ，所以 为奇函数.因为 在上的最大值比最小值大，所以在 上的最大值比最 小值大.由对勾函数的性质可得在上单调递减，在 上 单调递增.当，即时，在 上单调递增，则 59 ，解得 .当，即时,在 上单调递减，在 上单调递增， ，因为 ，所以 ，所以 ，解得 （舍去） 或9（舍去）.综上， . 15.（13分）已知二次函数满足，且 . （1）求 的解析式； 【解析】 设 ， 由题意知 （2分） 整理得解得 所以 .（5分） 61 （2）若在区间上，的值域为，求实数 的取值范围. 【解析】 因为 ， 所以其图象的对称轴为直线，当时，,当 时， .（7分） 结合的图象（图略）可知解得 . 所以实数的取值范围是 .（13分） 62 16.（15分）已知函数， . （1）用定义法证明函数 为增函数； 【解析】 取任意的，，且 ， 则 ，（4分） 由，可得， ，（6分） 所以，即 ， 所以 为增函数.（7分） 63 （2）对任意的都有成立，求实数 的 取值范围. 64 【解析】 由 为增函数， 得时， ，（8分） 依题意得， ， 又，当且仅当，即 ， 即 时取等号，（12分） 所以，即 ， 解得或 ， 所以实数的取值范围是 .（15分） 65 17.（15分）[2026江苏常州田家炳中学期末]已知幂函数 在 上单调递增. （1）求 的值； 【解析】 因为函数 是幂函数， 所以，即 ， 解得或 .（3分） 当时，在 上单调递减，不符合题意，舍去; 当时，在 上单调递增，符合题意. 所以 .（4分） 66 （2）若函数，求函数 的最小 值 . 【解析】 由（1）知， ,所以 .（5分） 当（ 函数图象的对称轴为直线.），即 时，在上单调递增，可得 ；（8分） 当，即 时，可得 ；（11分） . . 67 当，即时，在 上单调递减，可得 .（14分） 综上， （15分） 18.（17分）[2026河南TOP20名校大联考]设函数 （1）求当时， 的解析式； 【解析】 令，则，所以 ， 所以 ，（2分） 所以当时， .（3分） 69 （2）判断 的奇偶性，并证明； 【解析】 是奇函数.证明如下： 当时， ， 则，即 .（5分） 当时，，由（1）知 ， 又 ， 故当时， .（7分） 又，所以是定义在 上的奇函数.（8分） 70 （3）设，若, , ，求实数 的取值范围. 【解析】 第1步：求函数 的解析式. 由（1）知 所以当时， ； 当时，, ； 71 当时， . 所以 （11分） 第2步：去不等式中绝对值，问题转化为, , . 若,, ， 则,， .（12分） 72 第3步：求,其中 . 当时，在上单调递减，在 上单调递增，且 时，,时，，时， . 又时， , 所以当时， ， 所以 ，（15分） 73 第4步：解不等式,得到实数 的取值范围. 所以，即,即 ， 所以或 . 故实数的取值范围为 .（17分） 74 19.（17分）[2026安徽皖江名校联盟期末]我们把满足“对任意 ，总 存在唯一的，使得成立”的函数 ，称为函数 在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间 上 的“ 阶自搭配函数”. 75 （1）判断函数是否为区间 上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； 【解析】 假设是区间 上的“5阶自搭配函数”，则对任意 ,总存在唯一的,使得 ，即 , 令，得，此方程在 上无解，（2分） 故不是区间 上的“5阶自搭配函数”.（3分） 76 （2）若函数是函数在区间 上的“4 阶搭配函数”，求 的最大值； 【解析】 第1步:由“4阶搭配函数”的定义得到 . 由题意得对任意,总存在唯一的 ,使得 成立，即 成立. 第2步：求，在 上的值域. 当时,单调递减，值域为, ， 当时,单调递减，值域为, .（6分） 77 第3步：由两值域间的包含关系，得 的最大值. 所以, ，（7分） 则又，所以且, 不同时成立， （8分） 所以，当且仅当， 时等号成立， 故 的最大值为2.（9分） 78 （3）若函数是函数在区间上的“ 阶搭 配函数”，求实数 的取值范围. 【解析】 第1步：由“阶搭配函数”的定义得 . 由题意得对任意,总存在唯一的 ，使得 成立，即 成立. 79 第2步：求在 上的值域. 当时,单调递增，值域为, .（11分） 第3步：分析在上的图象，得满足题意的 的值域. 在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 80 在区间 上的图象如图所示： （13分） 由图可知若存在唯一的使，可得 ， 此时的值域为 ，（14分） 81 第4步:由两值域的包含关系，得 的取值范围. 所以,，即解得 ， 所以的取值范围是， .（17分） 82 (4)函数y=的值域是　　　　 　.  解析 y=. ∵≠0,∴y≠. ∴函数的值域为. (4)函数y=2x-的值域是 　　　　.  [,+∞) 解析 令=t,则t≥0,x=t2+1.∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-)2+. ∵t≥0,∴y≥. ∴函数y=2x-的值域是[,+∞). 【例2】 已知函数f(x)= (3)当x≤0时,f(x)=x2,令x2≥2,解得x≤-; 当x>0时,f(x)=4-2x,令4-2x≥2,解得0<x≤1. 综上,实数x的取值范围是(-∞,-]∪(0,1]. 变式训练2 已知函数f(x)= 解 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴=-. ∴n=-n,即n=0. 此时,f(x)=的定义域是{x∈R|x≠0}. 又f(2)=,∴,解得m=2. ∴实数m和n的值分别是2和0. 【例3】 已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=. (2)由(1)知f(x)=. 任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1-x2)·. ∴f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为f(-1)=-,最小值为f(-2)=-. 所以在区间[0,3]上最小值为f(2),最大值为f(0),即 解得所以f(x)=x2-4x+3. (2)依题意∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx, 即x2-4x+3<mx⇒m>x+-4, 由于x>1,x+-4≥2-4=2-4, 当且仅当x=,即x=时,等号成立. 所以m>2-4, 故m的取值范围为(2-4,+∞). 解 (1)由题知,当x=0时,a=4,于是,8-=4,解得k=4, 所以a=8-.根据题意,y=a(36+)-20a-x, 即y=16a+10-x=138--x, 所以y=138-x-(x≥0). (2)y=138-x-=139-(x+1+)≤139-2=123, 当且仅当x+1=,即x=7时,等号成立. 所以当促销费用为7万元时,该产品的利润最大,最大利润为123万元. $