21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，从具体方程求根、计算根和与积入手，引导学生观察规律，再通过求根公式推导，形成从特殊到一般的学习支架，衔接方程解法等前置知识。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），通过实例观察到公式推导，结合例题对比代入法与韦达定理，规范数学语言表达。帮助学生理解知识形成，提升运算推理能力，为教师提供清晰教学路径和多样化例题。

一元二次方程 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1 求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0 的两根 x1 和 x2， 计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？ (x + 1)(x－ 4)= 0 x1 = 1，x2 = －4. x1 + x2 =－3，x1x2 = －4. x2 + 3x －4 = 0 二次项系数为 1 一次项系数为 3 常数项为 －4 等于一次项系数的相反数 等于常数项 因式分解 对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 1.理解一元二次方程根与系数的关系. 2.会应用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题. 一、一元二次方程的根与系数的关系 1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和x1·x2 的值． 做一做： 解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4， 于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4. 2. 观察两根之和、两根之积与方程的系数a，b，c有什么关系？你能进行描述吗？ 我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2－4q ≥ 0） 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 ＝ ， ＝ . ＝ + = p. ＝ · = = q. 解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4， 于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4. 想一想：对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢? 发现：这个方程的二次项系数为 1，它的两根之和 -3 等于一次项系数 3 的相反数，两根之积等于常数项 -4. 我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )． 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 所以 概 括 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 ＝ －p. ＝ q. 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q. 例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）x2 + 3x－5 = 0； （2）2x2 － 3x －5 = 0. 解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －3，x1x2 = －5. （2）方程两边同除以 2 ，得 x2 － x－ = 0. 设两根为 x1、x2 ，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = － . 对于任意方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) ，它的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系： 注意：前提条件 b2 - 4ac ≥ 0. 文字语言：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比． 例 9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系. 解 方程两边同除以 a ，得 x2 + x + = 0. 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 已知方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） x1 + x2 = －，x1x2 = 没有实数根 整理 代值计算 Δ ≥ 0 Δ < 0 判断 1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1) x1 + x2 = -( -6 ) = 6，x1x2 = -15. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0， 2.不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 解:（1）方程化为一般形式为 3x2 + 5x + 1＝0， 则 Δ ＝ 52－4×3×1 ＝13 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. （2）方程化为一般形式为 x2 － 4x － 7＝0， 则 Δ ＝ (－4)2－4×1×(－7) ＝44 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 3. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 - 2x = 0 的两个实数根，则下列结论错误的是 (　　) A. x1 ≠ x2 B. x12 - 2x1 = 0 C. x1 + x2 = 2 D. x1• x2 = 2 D 4.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________. m＞ 1. 试由一元二次方程的求根公式，直接推导方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与系数的关系. 【选自教材第36页 练习 第1题】 解: 因为 x = ， 所以 x1 + x2 = + ， x1 · x2 = · . 2.方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值___________． －1或－3 解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1， ∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， ∴(－m－3)2－2(m＋1)＝4， 解得m1＝－1，m2＝－3， 并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解， ∴m的值为－1或－3. 3. 试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: 【选自教材第37页 练习 第3题】 （1）已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的两个根是 1 和 －3， 求 m 和 n 的值； 解:（1）解法一: 将 x＝ 1 和 x ＝ －3 分别代入方程， 得 1 + m + 2n = 0， 9－3m + 2n = 0， 解得 m = 2， n = － . 解法二: 根据根与系数的关系，得 1 + (－3)＝ －m， 1×(－3)＝ 2n，所以 m = 2，n = －. （2）已知关于 x 的方程 x2 + mx－20 = 0 的一个根是 －4， 求它的另一个根和 m 的值. （2）解法一: 将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0， 解得 m ＝－1. 将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5， x2 ＝－4，所以另一个根是 5. 解法二: 根据根与系数的关系，设另一个根为 a， 则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，所以 a ＝ 5，m ＝－1， 即另一个根为 5，m 的值为 －1. 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . $