26.1.1 二次函数的概念 课时同步练习 - 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过选择、填空、解答题的梯度设计，从二次函数概念辨析到实际问题建模，分层巩固知识，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、一般形式、系数确定|直接考查概念辨析（如判断二次函数、确定系数），强化符号意识| |中档层|表达式转化、简单情境建模|结合实际情境（如圆环面积、栅栏问题），培养推理能力与模型意识| |综合层|复杂问题建模、综合应用|多步骤问题解决（如利润计算、动点问题），发展应用意识与运算能力|

第二十六章 二次函数 26.1.1 二次函数的概念 1、 选择题 1．下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 3.把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 4.若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 5．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 6．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误； B、关系式为t，故错误； C、关系式为：C＝3a，故C错误； D、S＝πR2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（　　） A．y＝（10+x）（200+5x） B．y＝（10+x）（200﹣5x） C．y＝（10﹣x）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200﹣5x） 【答案】B 【分析】根据多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果列式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，y＝（10+x）（200﹣5x）， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 8．已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次项系数不为0是解题的关键．根据二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选：． 9．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 10.若函数y，当函数值y＝7时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 【答案】B． 【分析】将y＝7代入函数关系式计算x值，根据x的取值范围可求解． 【详解】解：当y＝7时，y＝x2+2＝7， 解得x或， ∵x≤2， ∴x； 当y＝7时，y＝2x＝7， 解得x2， 故自变量x的值为或． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分段函数，将y值代入计算是解题的关键． 2、 填空题 11．若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是　 　． 【答案】a≠﹣1． 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：a+1≠0 解得a≠﹣1． 故答案为：a≠﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次项系数不为0是解题的关键． 12．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝　 　． 【答案】1． 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键． 13．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 14．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为　 　，其中自变量x的取值范围是　 　． 【答案】y＝16π﹣πx2，且0＜x＜4． 【分析】根据圆环的面积＝半径为4cm的圆的面积﹣半径为x的圆的面积＝16π﹣πx2，x是线段，应大于0，不能超过外圆的半径，可得自变量的取值范围． 【详解】解：半径为4cm的圆的面积为16π，半径为x的圆的面积为：πx2，则函数解析式是：y＝16π﹣πx2，且0＜x＜4． 【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围． 15．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：　 　（并写出自变量的取值范围） 【答案】s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）． 【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x）， 则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x 由图可知：24﹣4x＞0，x＞0， 所以x的取值范围是0＜x＜6， 故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）． 【点睛】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式． 16．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 17．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 【答案】见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．根据二次函数的定义，二次函数的解析式解答即可． 【详解】解：的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 18．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 19．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 20．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 21．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+2． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值； （2）当x＝6时，求y的值； （3）当y＝77时，求x的值． 【答案】（1）a＝3，b＝﹣6，c＝5； （2）77； （3）x1＝6，x2＝﹣4． 【分析】（1）把y＝3（x﹣1）2+2化为一般式，进而得二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值； （2）把x＝6代入y＝3（x﹣1）2+2，解方程即可得到结论； （3）将y＝77代入函数解析式，然后再求解即可解答． 【解答】解：（1）y＝3（x﹣1）2+2＝3x2﹣6x+5， a＝3，b＝﹣6，c＝5； （2）当x＝6时，y＝3×36﹣36+5＝77； （3）当y＝77时，3x2﹣6x+5＝77， 解得x1＝6，x2＝﹣4． 【点评】本题考查用二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题关键 22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+7x． （2） y＝x2+7x是二次函数； （3） （3）自变量x的取值范围为x≥0． 【分析】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【详解】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm， ∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）． ∵矩形的长与宽都增加xcm， ∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2， ∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x， 故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x． （2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数， ∴y＝x2+7x是二次函数； （3）∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为x≥0． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为Scm2． （1）求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）运动几秒后PQ的长度为5cm？ （3）四边形APQC的面积能否等于13cm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）∴S＝＝x2﹣5x+20（0＜x＜4）． （2）x1＝0，x2＝2． （3）∴不存在四边形APQC的面积等于13cm2． 【分析】（1）根据S四边形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ计算即可； （2）在Rt△PBQ中根据勾股定理构建方程即可解决问题； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值． 【详解】解：（1）由题意，得 BQ＝2x，PB＝5﹣x． ∴S＝S△ABC﹣S△PBQ5×82x×（5﹣x） ＝x2﹣5x+20（0＜x＜4）． （2）在Rx△PBQ中，由勾股定理，得 4x2+（5﹣x）2＝25， 解得： x1＝0，x2＝2． （3）由题意，得x2﹣5x+20＝13， 整理得：x2﹣5x+7＝0， ∵△＝25﹣28＝﹣3＜0， ∴不存在四边形APQC的面积等于13cm2． 【点睛】本题考查了三角形综合题、行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.1.1 二次函数的概念 1、 选择题 1．下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 4.若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 5．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 6．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 7．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（　　） A．y＝（10+x）（200+5x） B．y＝（10+x）（200﹣5x） C．y＝（10﹣x）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200﹣5x） 8．已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 10.若函数y，当函数值y＝7时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 2、 填空题 11．若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是　 　． 12．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝　 　． 13．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 14．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为　 　，其中自变量x的取值范围是　 　． 15．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：　 　（并写出自变量的取值范围） 16．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 3、 解答题 17．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 18．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 19．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 20．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 21．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+2． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值； （2）当x＝6时，求y的值； （3）当y＝77时，求x的值． 22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为Scm2． （1）求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）运动几秒后PQ的长度为5cm？ （3）四边形APQC的面积能否等于13cm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $