26.1 二次函数的概念-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 第二十六章 二次函数 学习路径 图象 实际问题 归纳 二次函数 抽象 y=ax2+bx+c 性质 目标 实际问题的答案卡 利用二次函数的 图象和性质求解 26.1 二次函数的概念 知识梳理①形成联系 【知识点】二次函数的概念 ⊙一般地，形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是 自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项！ 下列y关于x的函数是二次函数的是() A.y B.y=x+1 C.y=2x2-1 2 D.y=3* 【知识点2】从实际问题中抽象二次函数 用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若一边长为xcm,写出它的面积y与x 之间的函数关系式，并判断y是不是x的二次函数. 2⑧ 二次函数 第二十六章 例题点拨Q素养导向 【例】如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将这 4 cm 个矩形的长与宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加ycm. 3 cm (1)求y与x之间的函数关系式 (2)这个函数是二次函数吗？ -------- (3)直接写出自变量的取值范围. 图26.1 【点拨】由图形关系可知，y随x的变化而变化，矩形面积的增加量等于后来得到的矩形 与原矩形的面积差.即“增加面积=现矩形面积-原矩形面积”，进一步用代数式表示为“y (4+x)(3+x)-4x3”,化简可得函数关系. 夯实四基)达标闯关 1.若函数y=(m+1)x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范围是（) A.m=-1 B.m>-1 C.m<-1 D.m≠-1 2.下列函数中是二次函数的是( A.y=3x+1 B.y=x2-1 C.y=2 D.y=x3+x2-1 3.二次函数y=3x2-3x+2的一次项系数是（) A.-3 B.2 C.1 D.3 4.小亮爸爸想用长为80的栅栏围成一个矩形菜园，如图所示，菜园的一边靠墙，另 外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym2,则y与x之间的函数关 系式是( ) ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ A.y=80x B.y=80x-2x C.80 D.y=x(80-2x) 第4题图 5.某商品原价100元，分两次降价，设平均每次降价的百分率为x,降价后的价格为y 元，则y与x的函数解析式为() A.y=100(1+x)2B.y=100(1-x)2 C.y=100(x-1)2D.y=200(1+x)2 29 数学 九年级上册（人教版） 6.下列函数哪些是二次函数？是二次函数的写出它们的二次项、一次项和常数项 (1)y=9x2+2x; (2)y=(x+2)(1-x); (3)s=3-2t2: (4)y=2x(x2+3x-1). 能力提升蹄综合拓展 7.已知函数y=(m2+m)xm2m-+(m-3)x+m2-11是关于x的二次函数. (1)求m的值. (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项 中考链接©真题演练 8.(2023·沈阳)圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是() A.S是R的正比例函数 B.S是R的一次函数 C.S是R的二次函数 D.以上答案都不对 30数学 九年级上册（人教版） 第二十六章 二次函数 m=1,把点A(1,1),B(-2,4)代人一次函数y=kx+ 26.1二次函数的概念 b. 得+6解得三1，故一次函数的解析式为 【知识点1】C -2k+b=4. 1b=2. 【知识点2】解：设宽为xcm,由题意，得矩 1=-x+2. (2)一次函数y=-x+2与y轴交于点C(0,2), 形的周长为800cm,矩形的长为800-2x 2 cm, SFS.wtSomw-2x1+]x2x2-3. y=x800-2x=-r2+400e(0<r200).y是x的二次 14.A 2 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 函数 (第一课时) 【例】解：(1)矩形的长为4cm,宽为 【知识点1】向上 3cm,.矩形的面积=4×3=12(cm)..矩形的 【知识点2】B 长与宽都增加xcm,.增加后矩形的面积=(4+x) 【例】解：y=-x2和 (3+x)cm2,y=(4+x)(3+)-12,即y=x2+7x, =-x2+1的图象如图所示. y与x之间的函数关系式为y=+7x. (2)y=x2+7是二次函数. (1)抛物线y=-x2+1 向下平移1个单位长度得 (3)x为矩形增加的长与宽，∴自变量x的 到抛物线=-2 取值范围为x≥0. (2)对于函数y=-x+ 1.D2.B3.A4.D5.B 6.解：(1)y=9+2x是二次函数，二次项是9， 1:①当x>0时，y随x的 次项是2x,常数项是0. 增大而减小；②当x=0 (2)y=(x+2)(1-x)是二次函数，二次项是-x2,一 时，函数y有最大值，最 例题答图 次项是-x,常数项是2. 大值是1；③令y=-x2+1=0,解得=±1，·与x轴 (3)s=3-2是二次函数，二次项是-22，一次项 的交点坐标为(-1,0)，(1,0)，令x=0,解得 是0，常数项是3. =1,.与y轴交于点(0,1). (4)y=2x(x2+3x-1)不是二次函数」 1.C2.B3.A4.B 7.解：(1)由条件，可得m2-2m-l-2, 5.向上y轴(0，-3)减小0小-3= .m=3. lm2+m≠0， 6.解：(1)二次函数的图象经过点(1，-1)， (2)二次函数解析式为y=122-2,故二次项系数 ∴.a+2=-1,解得a=-3,.二次函数的解析式为y=-3x242. 是12，一次项系数是0，常数项为-2. (2)y=-3x2+2,令y=0,则-3x2+2=0,解得x= 8.C 26.2二次函数的图象和性质 ±5，…二次函数与x轴的交点为5,0和 26.2.1二次函数y=2的图象和性质 Y6,0,令x=0,则)=2，二次函数与y轴的交 【知识点1】D 3 【知识点2】B 点为(0,2)，且为顶点，该函数图象如下 【例】解：(1)抛物线对称轴是y轴，顶 V 点是原点，可设y=a2(a≠0)，把点(1，-3) 代入，得a=-3,y=-3x2. (2)a=-3<0,∴.在对称轴右侧部分，y随x 的增大而减小. (3)a=-3<0,.函数有最大值，即当x=0 时，函数最大值为0. 1.C2.A3.D4.B5.B6.C 7.抛物线y轴(0,0)向下第三、第四> 第6题答图 8.解：(1)二次函数y=a2的图象与直线y=2x-1 (3)由(2)函数图象，可知此函数的开口方向向 交于点P(1,m),把点P代人y=2x-1,得m=2×1-1= 下、对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)· 1,则P(1,1),把点P代入y=x2,得1=ax1,.a=1. (4)当x=-2时，y=-3×(-2)2+2=-10,当x=-1 (2)由(1)知y=x2,a=1>0,开口向上，.当 时，y=-3×(-1)242=-1,-10<-1,1<2. >0时，y随x的增大而增大. 7.C8.-6<y≤3 (3)由y=2,可得抛物线的顶点坐标为(0,0)， 9.解：(1)：抛物线的顶点在y轴上，.设抛物 对称轴为直线x=0(或y轴). 线的解析式是y=a2+h,把(1，-2)，(2,3)代入， 9.810.<11.412.123120 13.解：(1)二次函数y=x2的图象过点A(1, 得二：解得a号，=号，即抛物线的解新式 4a+k=3, m)和B(-2,4),∴.4a=4,解得a=1,.二次函数的解 析式为y=2.把点A(1,m)代人二次函数解析式，得 3 48