4.4 二次函数与一元二次方程的关系课件--2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数一般式入手，通过“当y=0时即为一元二次方程”建立联系，结合探究活动让学生画图观察函数图象与x轴交点，再用表格总结交点个数、横坐标与方程根的对应关系，逐步引入判别式△形成学习支架。 其亮点在于以动手探究和实际情境为载体，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。如探究1通过画图抽象交点与根的关系，探究2用铅球运动问题建立方程模型。学生能在实践中理解数学本质，教师可借助结构化练习提升教学效率。

4.4 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数的一般式：_________________，____是自变量，____是____的函数. 2.二次函数与一元二次方程有什么联系？ 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ 当y=0时，ax2+bx+c=0. y=ax2+bx+c（a≠0） x y x b2-4ac＞0 方程有两个不等的实数根； b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac＜0 方程无实数根. 探究1 探索二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系 活动：画出下列二次函数的图象，它与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此 ，说一说相应的一元二次方程的根的情况. （1）y=x2-2x-3； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-2x+2. y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 y=x2-2x-3 解析式 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y=x2-2x-3 y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 0 个 1 个 2 个 x2-2x+2=0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -1 和 3 x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3 思考：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 y=x2-2x-3 ax2 + bx + c = 0 判断 Δ 的情况 是否有解 当 a＜0 时，是否同样存在公共点？尝试动手画一画 一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可得如下结论． （1）如果抛物线 y＝ax2＋bx十c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是一元 二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根． （2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根． 一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系： 二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根 判别式△=b2-4ac △ = 0 △ > 0 有两个相等实数根x1=x2=- x1 x1=x2 x2 没有实数根 △ < 0 有两个不相等实数根x1，x2（x1<x2） 不画图象，判断下列二次函数的图象与x轴公共点的个数. (1) y=-x2 - 3x＋1 解：∵∆ = b2-4ac =13>0，∴图象与x轴有两个公共点. (2) y=x2 - 4x＋4 解：∵∆ = b2-4ac =0， ∴图象与x轴有一个公共点. (3) y=2x2 + 3x＋2 解：∵∆ = b2-4ac =-7<0，∴图象与x轴没有公共点. 思考：从前面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？ 求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数与x轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的． 例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）． 分析：一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标． 以上这种解一元二次方程的方法叫作图象法． 解：设二次函数y=x2-2x-1．画出二次y=x2-2x-1的图象，如图所示． 可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间． 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4． 思考：借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．同学们课后去尝试用这种方法做一下，然后和同学交流结果. 探究2 通过具体情境，理解二次函数与一元二次方程之间的联系 活动：如图，小李扔铅球时， 若将铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 的图象来刻画，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. （3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ (1)当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？ 解:（1） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 5 = 0 ， 解得 x1 = 1， x2 = 5. 即当铅球离地面的高度为2.1 m时， 它离初始位置的水平距离是1 m或5 m. 你能结合图指出,为什么在不同的水平距离，铅球的高度均为2.1m吗？ (2)铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. （2） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 9 = 0 ， 解得 x1 = x2 = 3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时， 它离初始位置的水平距离是 3 m. （3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ （3） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 14 = 0 ， 因为 Δ = （-6）2 - 4×1×14 = -20 < 0, 所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t-t2． （1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10 m； （2）经过多少秒钟，球又落到地面． 解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=10， 解得t1=2，t2=5， 答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10 m； （2）把h=0代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=0， 解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间）， 答：经过7秒钟，球又落到地面． 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系: 说说本节课学到了哪些知识？ 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c（a>0） 的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y △＞0 △＝0 △＜0 x1、x2 没有实数根 x1 =x2＝－ 1.若一元二次方程 x2 - mx + n = 0 无实数根，则抛物线y = x2 - mx + n 图象位于( ) A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限 A 2.抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴的交点个数是（ 　　） A．0 B．1 C．2 D．3 D 3. 用图象法求一元二次方程 x2＋ x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到 0.1）． y = x2＋ x － 1 解：通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 1.6 或 0.6， 即一元二次方程 x2 + x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 1.6， x2 ≈ 0.6． 4.判断下列函数的图象与x轴的公共点情况，并说明理由． （1）y=2x2-3x； （2）y=-x2-4x-1； （3）y=x2+2x+5． 解：（1）令y=0，则2x2-3x=0，所以△=（-3）2-4×2×0=9＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根，即函数y=2x2-3x与x轴有两个公共点； （2）-x2-4x-1=0，所以△=（-4）2-4×（-1）×（-1）=12＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根，即函数y=-x2-4x-1与x轴有两个公共点； （3）x2+2x+5=0，所以△=22-4×1×5=-16＜0， 所以该方程没有实数根，即函数y=x2+2x+5与x轴没有公共点． 5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，求k的取值范围． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数． ∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意. 当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数． ∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点， ∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即 k≤4 且 k ≠ 3. 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. $