4.4 二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，课堂导入先复习一元二次方程判别式作为旧知支架，再通过观察三个二次函数图象与x轴交点，引导学生发现交点横坐标与方程根的联系，构建知识衔接脉络。 其亮点在于以“形数结合”为主线，通过“观察与思考”活动培养学生几何直观的数学眼光，结合例1分类讨论、例2判别式推理发展推理意识的数学思维，铅球运动等实际问题体现模型意识的数学语言。环节包含典例、练习、小结，助学生深化理解，也为教师提供清晰教学流程。

教学课件 2026 湘教版 · 九年级上册 · 新教材 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 第4章 二次函数 ／ 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 数学 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 1 第4章 二次函数 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 本节导航 导 新课导入 讲 讲授新课 练 当堂练习 结 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 3 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值.（重点） 3.能在实际问题中理解二次函数与一元二次方程之间的联系.（重点） 学习目标 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 新课导入 教学目标 教学重点 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的判别式： 式子b²-4ac叫作方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 复习引入 新课导入 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 6 讲 讲授新课 典例精讲 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 7 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 观察与思考 1 二次函数与一元二次方程的关系 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 8 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 知识要点 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． 因为一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， 所以k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． 因为二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 所以Δ＝b2－4ac≥0. 因为b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， 所以－4k＋16≥0.所以k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 例1 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； 因为m≠0， 所以Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. 因为(m－2)2≥0， 所以Δ≥0， 所以此抛物线与x轴总有交点； 例2 证明： 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2， 即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数， 求正整数m的值． 解： 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 练一练 1.抛物线 y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．0 C 2.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3， 求a的值． (1)证明：因为Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， 所以不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：因为x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， 所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 2 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 方程 x²－2x－1=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 例1 典例精析 分析： 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 解：设二次函数y=x²－2x－1. 如图所示，画出函数 y=x²－2x－1 的图象. 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点在－1与0之间,另一个交点在2与3之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x²－2x－1=0 的实数根约为x1≈－0.4，x2≈2.4. 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 我们还可以借助计算器分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下： x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1 结合图象可以看出，使y=0的一个x值在-0.5与-0.4之间，即-0.5＜x＜-0.4.题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04；当x=-0.5时，y=0.25.前者的函数值更接近于0.因此选x=-0.4.同样，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x=2.4. 可以发现，当x=-0.5时，y=0.25＞0；而当x=-0.4时，y=-0.04＜0. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，所以x2≈0.5；又因为对称轴为x＝－1，则 ＝－1，所以x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 练一练 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 如图， 小李在扔铅球时，若将铅球看作一个点，则铅球贝扔出后其运行轨迹可函数用 的图象来刻画，其中 x（m）是铅球离初始位置的水平距离， y（m）是铅球离地面的高度. 例3 3 二次函数与一元二次方程的联系的实际应用 典例精析 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 2.1 1 5 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的 水平距离是1m或5m. 由抛物线的表达式得 即x²－6x+5=0，解得x1=1，x2=5. 你能结合上图，指出为什么在不同的水平距离，铅球的高度均为2.1m吗？ 解： 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. 2.5 3 由抛物线的表达式得 即x²－6x+9=0，解得x1=x2=3. 解： 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的 水平距离是3m. 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 3 因为 (－6)2－4 ×1×14=－20<0, 所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. 由抛物线的表达式得 即x²－6x+14=0. 解： 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 练一练 3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h =－4.9t2 ＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)画出函数h = －4.9t2 ＋19.6t的图象； (2)当t=1, t=2时，足球距地面的高度分别是多少？ (3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？ 解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 解：方程－4.9t2＋19.6t＝0 的根的实际意义是当足球距地面的高度为0 m 时经过的时间； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7 的根的实际意义是当足球距地面的高度为14.7 m 时经过的时间． 方程－4.9t2＋19.6t＝0 的根在图象上表示出来如图中O，A两点； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如图中M，N两点． (3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？ 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 练 当堂练习 当堂反馈 · 即学即用 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 27 当堂练习 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 答案　D 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 当堂练习 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值 6.（教材习题变式）利用二次函数的图象求一元二次方程 根的近似值. 解：图略，方程根的近似值是， . 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 当堂练习 知识点3 二次函数与一元二次方程的联系的实际应用 7.自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，地球 上物体自由下落的距离与下落的时间 之间的函数关系式是 .我们知道，同一物体，在月球上所受的重力大约是在地球 上所受重力的，因此，月球上物体自由下落的距离 与下落的时 间之间的函数表达式大约是.求物体下落 时，在地 球上和月球上分别所需要的时间（结果保留根号）. 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 解：在中，当时，，解得 （负值舍去）.在中，当时， ，解得 （负值舍去）.答：在地球上需要的时间约为 ，月球上需要 的时间约为 . 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 结 课堂小结 构建脉络 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 32 y=0 解方程 图象 由“数”到“形” 由“形”到“数” 一元二次方程 二次函数 一元二次方程的根 与x轴交点情况 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 33 THANKS FOR WATCHING 感谢观看 湘教版 · 初中数学 第4章 二次函数 ／ 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 湘教版 · 初中数学 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 $