3.1 等量关系和方程 课件--2026-2027学年湘教版 数学七年级上册

该初中数学课件围绕“等量关系和方程”展开，核心内容包括方程、一元一次方程的概念及方程的解。通过丢番图墓志铭问题导入，引导学生列出含未知数的等式，对比代数式引出方程，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前期代数式知识。 其亮点在于结合篮球联赛、包装盒表面积等现实情境，培养学生用数学眼光抽象数量关系的能力，通过鸡兔同笼问题的表格估算，发展数学思维的推理与运算意识，用“一代二算三验”口诀强化数学语言表达。帮助学生建立方程思想，提升应用能力，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

3.1 等量关系和方程 丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一，他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛.五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126 题. 问题：如果设他的年龄为x 岁，能列出含有未知数x的等式吗？ 思考：这个等式与之前学过的代数式有什么不同？如何知道一个数是不是这个等式中x的值？ 活动 小组分析下列情境，思考并回答下列问题 情境1：为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分． 问题1：总得分与胜、输场数有什么关系？ 胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分. 问题2：情境中还有其他等量关系吗？ 胜的场数＋输的场数＝14. 探究1：一元一次方程的概念 问题3：情境中明确给出的已知量有哪些？需要求解的未知量是什么？ 已知量是总比赛场数 14 场，总得分 26 分；需要求解的未知量是胜场数和输场数. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分． 问题4：如果设胜场数为 x，根据总得分的等量关系列出等式. 若该队胜了x场，则该队输了（14 x ）场. 又由于胜一场得2分，输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式： 未知量可用字母表示 情境2：如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8m². （长 × 宽＋宽×高＋长×高） × 2＝表面积. 若设包装盒底面的宽是 y m ，则根据题意可得以下等式： 问题1：情境中蕴含怎样的等量关系？ 问题2：如何根据等量关系，列出相应等式？ 思考：观察前面列出的等式，说说它们有什么特点？ 未知数 定义：等式中的 x叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 像所示方程这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程. 判断一个方程是否是一元一次方程,必须满足三个条件: ①只含有一个未知数;②未知数的次数是1;③方程中的代数式都是整式. 未知数 1.判断下列式子是不是方程，是的打“√”，不是的打×”. (1)5x＋3y－6x＝7；(　 　)　　 (2)4x－7；(　 ) (3)5x>3；(　 　) (4)6x2＋x－2＝0；(　 　) (5)1＋2＝3；(　 　) (6)m=11. ( ) √ √ √ × × × 解：(1)、(4)、(6)是一元一次方程，其他不是， (2)中含有2个未知数，(3)中未知数的次数是2且不是方程，(5)的分母中含未知数，不是一元一次方程． 2.下列式子哪些是一元一次方程？不是一元一次方程的，简要说明理由． (1)9x＝2； (2)x＋2y＝0； (3)x2－1－0； (4)x＝0； (5)＝2； (6)ax＝b(a、b是常数)． 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400年前后，传本共有上、中、下三卷 . 下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 活动 回答下列问题 探究2：方程的解 解：设兔有x只，则鸡有(35-x)只. 由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，得方程: 4x+2(35-x)=94.③ 将方程③左边的多项式整理得 4x+2(35-x)=4x+(70-2x)=2x+70， 从而方程③变成 2x+70=94.④ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 问题1：题目中有哪些等量关系？ (1)兔的只数+鸡的只数=35; (2)兔的脚数+鸡的脚数=94. 问题2：如何设未知数，列出一元一次方程？ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 问题1：x的取值有范围吗？为什么？ 有，x是正整数，因为x 表示兔子的数量，不可能为小数和负数.实际问题中的解需要符合实际意义. 分析：若要求出题中兔的只数，则只需找到一个数，将这个数代入方程后，能使方程左右两边的值相等，则这个数就是所求的兔的只数. 2x+70=94 问题2：如何找到一个数，使方程2x+70=94左、右两边的值相等? 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94相比较 第1次估算 10 90 小了 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 100 大了 94 92 96 大了 相等 小了 因此，只有一个数12符合条件. 提示：找出一个数，使得它的2倍与70的和等于94且x是正整数. 定义：对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.习惯上记作x=c. 例如，12是方程2x+70=94的唯一解.于是上题中兔有12只，鸡有23只. 对于一些比较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后在此范围内估算出方程的解. (1)代：把所给未知数的值分别代入方程等号的左右两边； (2)算：计算等号的左右两边的值； (3)验：若左边=右边，则是方程的解；若左边≠右边，则不是方程的解. 思考：判断方程解的一般步骤有哪些？ 分别检验 x 的下列值是否是方程的解. （1） ; （2） . (2)把 x 用330代入原方程得， 左边＝, 左边≠右边， 所以 x =330不是方程的解. 解:(1)把 x 用300代入原方程得， 左边＝, 左边＝右边， 所以 x =300是方程的解. 定义 一代二算三验 等量关系和方程 方程 方程的解 一元一次方程 1.已知下列方程： ① ； ②； ③； ④； ⑤ ； ⑥ . 其中属于一元一次方程的有________.（填序号） ②③⑤ 2. 小亮在解方程时，由于粗心，错把 看成了，解得 ，则 的值为( ) A A. B. 3 C. D. 3.观察表格，若第三次估算方程的解时， 可以取 的值是( ) 估计的 的值 的值 与2.2比较 第一次估算 0 3 大了 第二次估算 1 小了 B A. 2 B. 0.1 C. D. 4. 两辆汽车从相距 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的 速度快, 后两车相遇.设甲车的速度为 ,则列出的方程 为( ) D A. B. C. D. 5. 对于方程，分别检验  和  是不是它的解. 解：（1）把 x 用2代入原方程得， 左边 , 右边 左边≠右边， 所以 x 2不是方程的解. （2）把 x 用2代入原方程得， 左边 , 右边 左边右边， 所以 x 2是方程的解. 解：因为方程是关于x的一元一次方程，所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2, 所以原方程为－4x+3 = －7. 6. 已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． $