3.1 等量关系和方程（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程（组）中的等量关系和方程，系统梳理等量关系模板、方程定义、方程的解及列方程步骤。通过篮球联赛得分、长方体表面积等实际问题导入，搭建从具体数量关系到抽象方程的学习支架，衔接小学算术与初中代数思维。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如用“鸡兔同笼”抽象等量关系，通过数学思维训练估算方程解（表格法），以数学语言规范列方程步骤（口诀总结）。融入数学文化与中考真题，分层设计练习，助力学生发展抽象能力与应用意识，也为教师提供系统教学资源与分层指导支持。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月23日 3.1 等量关系和方程 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册3.1 等量关系和方程 专项练习 一、核心知识点 1. 等量关系 数量之间相等的关系，叫做等量关系。列方程的关键就是找准题目中的等量关系。 常见等量关系模板： ① 部分量 + 部分量 = 总量 ② 大数 − 小数 = 相差数 ③ 单价 × 数量 = 总价 ④ 速度 × 时间 = 路程 ⑤ 原量 ± 变化量 = 现量 2. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 判断方程两个必备条件：① 是等式（有“=”） ② 含有未知数，缺一不可。 3. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 列方程的步骤 ① 审题：找出题目中的等量关系； ② 设未知数：一般设“所求量”为$$x$$； ③ 根据等量关系列出方程。 二、基础填空题 1. 含有________的等式叫做方程。 2. 能使方程左右两边________的未知数的值，叫做方程的解。 3. 一个数x，比它的3倍少5的数是10，可列方程：________。 4. 小明有x元，小红比小明多15元，小红有40元，等量关系：________，列方程：________。 5. 判断：$$2x+3$$________方程（填“是”或“不是”）。 6. 判断：$$3+5=8$$________方程（填“是”或“不是”）。 三、选择题 1. 下列式子是方程的是（） A. $$3x+2$$ B. $$5+6=11$$ C. $$2x-1=5$$ D. $$4x+3>1$$ 2. 方程$$x+4=7$$的解是（） A. $$x=2$$ B. $$x=3$$ C. $$x=4$$ D. $$x=11$$ 3. “x的2倍与3的和等于9”列方程正确的是（） A. $$2x+3=9$$ B. $$2(x+3)=9$$ C. $$2x-3=9$$ D. $$x+2\times3=9$$ 4. 已知长方形周长20，长为x，宽为3，下列方程正确的是（） A. $$x+3=20$$ B. $$2(x+3)=20$$ C. $$2x+3=20$$ D. $$x+2\times3=20$$ 四、写出等量关系并列出方程（不求解） 1. 一个数x，加上8等于20。 2. 一个数x的5倍减去6，结果是14。 3. 一本书共120页，已经看了x页，还剩45页没有看。 4. 一支钢笔x元，买4支一共花费36元。 5. 甲数是x，乙数是30，甲数的2倍比乙数多10。 五、参考答案与解析 1. 填空题答案 1. 未知数 2. 相等 3. $$3x-5=10$$ 4. 小明的钱数 + 15元 = 小红的钱数；$$x+15=40$$ 5. 不是（无等号，不是等式） 6. 不是（无未知数） 2. 选择题答案 1. C（解析：方程需要同时满足：等式+含未知数） 2. B（解析：$$x=7-4=3$$） 3. A（解析：先算x的2倍，再加3，等于9） 4. B（解析：周长公式$$2(\text{长}+\text{宽})=\text{周长}$$） 3. 列方程答案 1. 等量关系：原数+8=20，方程：$$x+8=20$$ 2. 等量关系：数的5倍−6=14，方程：$$5x-6=14$$ 3. 等量关系：已看页数+剩余页数=总页数，方程：$$x+45=120$$ 4. 等量关系：单价×数量=总价，方程：$$4x=36$$ 5. 等量关系：甲数×2−乙数=10，方程：$$2x-30=10$$ 六、本节核心总结 1. 方程判定口诀：有等号、有未知数，才是方程； 2. 列方程核心：找等量关系，把文字相等关系直接翻译成数学等式； 3. 不要直接算数，先用字母表示未知量，再根据关系列式。 能通过对实际问题的分析，理解并归纳方程和一元一次方程的概念。 估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念。 会根据简单的实际问题列出一元一次方程。 请试着列式解决下列问题： (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？ 2×12+1×(14-2) =26 (分) (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？ 长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2 (1.2×1+1×1+1.2×1)×2 =6.8 (m²) 探索新知 (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？ 思 考 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 还有其他等量关系？ 胜的场数+输的场数=总场数 设该队胜了x 场，则该队输了(14－x )场. 2x + (14－x) = 26 ① 如何根据等量关系，列出相应等式？ 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 胜的场数+输的场数=总场数 (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？ (长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积 如何根据等量关系，列出相应等式？ 设包装盒底面的宽是y m，则 (1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8 ② 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 未知数 1. 一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元 ，可列出方程__________. 2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________. 0.8x=208 x＋27=4x 练一练 ① 2x+2=18 ⑦ 4x-3=7 3.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由. ② 3y-1 ③ 3x2-3x-1=0 ④ -2x＜0 ⑤ x-2y=6 ⑥ a ⑧ -3=4 ⑨ 一个未知数，次数是1. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。 说一说 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？ 2 x + (14－ x) = 26 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 做一做 设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x + 2(35 - x) = 94 将方程左边的多项式整理得 4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 从而方程变成 2x + 70 = 94 怎么求出 x 的值？ 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 2x + 70 = 94 90 小了 100 大了 96 大了 94 相等 92 小了 由上可知，12 是方程的唯一解. 于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只. 知识要点 对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c. 2x + 70 = 94 x = 12 典例精析 例2 分别检验 x 的下列值是不是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代入原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 练一练 6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　) A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2 C 7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______. 2 学而时习之 1.有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有40个头，从下面数有110只脚，问笼中各有多少只兔和多少只鸡？列出方程. 兔的脚数＋鸡的脚数=110 解：设笼中兔有x只，则鸡有(40－x)只. 4x+2(40－x)=110 兔的只数＋鸡的只数=40 【课本P99 习题3.1 第1题】 随堂练习 2.一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价为多少？列出方程. 原价×折扣=现价 解：设该商品原价x元. 80% x=208 【课本P99 习题3.1 第2题】 随堂练习 3.估计方程 +1=7的解. 因此，9是方程 +1=7的解. 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值7比较 第1次估计 3 3 小了 第2次估计 6 5 小了 第3次估计 9 7 相等 第4次估计 12 9 大了 【课本P99 习题3.1 第3题】 随堂练习 4.下面左边的数分别是右边哪个方程的解？ 请用线连接起来. 2 -1 2.5 x+3=5 4x+5=1 2(x+1) =3 4(x-1) =6 【课本P99 习题3.1 第4题】 随堂练习 温故而知新 5.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？列出方程. 小青的年龄+27=妈妈的年龄 解：设小青今年x岁，则妈妈今年有(x＋27)岁. 小青今年的年龄×4=妈妈今年的年龄 4x=x+27 【课本P99 习题3.1 第5题】 随堂练习 6.如图，有两个圆柱形的水杯，大杯的内径为8 cm，小杯的内径为6 cm. 已知这两个杯子装的水量相等，且小杯中水的高度比大杯中水的高度高7 cm，问大杯装的水的高度是多少？列出方程. 两个杯子装的水体积相等 π·(8÷2)2x= π·(6÷2)2 (x+7) 【课本P99 习题3.1 第6题】 单位：cm 随堂练习 7.若关于 x 的方程 2x+a=-1的解是x=-4， 则a的值是多少？ 解：把x用-4代入方程，得 整理，得 2×(-4)+a= -1 -8+a= -1 【课本P99 习题3.1 第7题】 经估计，得 a= 7 随堂练习 1. 下列式子中，方程的个数是( ) ； ； ； ； ； . B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 返回 中考考法 25 2. 按照表格中的步骤，第三次估算方程 的解时， 可以取的值是( ) 估计的 的值 的值 与2.2比较 第一次估算 0 3 大了 第二次估算 1 小了 第三次估算 A A. 0.1 B. 2 C. D. 返回 中考考法 26 3.［2025长沙开福区月考］已知下列方程： ；；； ； ； . 其中属于一元一次方程的有________（填序号）. ②③⑤ 返回 中考考法 27 4. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这 部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知 数,的系数与相应的常数项，即可表示方程 ,则 表示的方程是____________. 返回 中考考法 28 5. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的 解是1的一元一次方程:___________________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 29 6. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板 上钻若干个半径为 的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为 ，设木板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________. 返回 中考考法 30 7. 2024年巴黎奥运会上，中国代表队获 得奖牌91枚，其中银牌27枚，金牌数比铜牌数的2倍少8枚. （1）若设中国代表队获得铜牌 枚，则可列出方程为______ ________________； 中考考法 31 （2）试判断中国代表队获得的铜牌数是不是24枚，并说明理由. 【解】是.理由如下：由（1）得 ， 当时，方程左边 方程 右边，所以是方程 的解， 所以中国代表队获得的铜牌数是24枚. 返回 中考考法 32 认识方程 方程的定义 一元一次方程 方程的解 课堂小结 $