第一章特殊平行四边形同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 这份同步练习以特殊平行四边形为核心，通过基础概念辨析、中档性质应用到提高综合探究的三层设计，构建从单一知识点到动态几何问题的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形、矩形、正方形定义与性质|单选1-5直接辨析概念，填空13-14基础计算，培养抽象能力| |中档|性质与三角形、折叠结合应用|单选6-8、填空15-16综合性质计算，发展推理意识| |提高|动态几何、最值与探究问题|单选9-12动态折叠，解答22-23拓展迁移，提升空间观念与创新意识|

第一章特殊平行四边形 一、单选题（本大题共12小题） 1．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B．两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形 C．矩形的对角线相等且互相垂直 D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 3．下列命题中正确的是　　 A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 4．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 5．在平面中，下列命题为真命题的是 A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 6．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A．2.4 B．2.5 C． D．2 10．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 11．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题（本大题共5小题） 13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 14．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是______． 15．如图，点在正方形的边上，连接、，延长到点，使，过点作于点，连接．若，则的长为 ． 16．如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 17．如图，点B坐标为，点A为x正半轴上一动点，，且面积为20，则最大值为_______． 三、解答题（本大题共6小题） 18．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形中，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（不需要证明） 经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取的中点H，连接，则，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立：______（填“是”或“否”）； （3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标______，以及的面积______． 19．学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为 的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 图（1） 如图（1），在平行四边形中， ，, 为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由. 20．如图（1），在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． 图（1） （1） 如图（2），当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． 图（2） （2） 如图（3），当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． 图（3） 备用图 （3） 在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 21．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答. 【初步尝试】 （1） 如图（1），在中，，过点作，，连接.点在线段上，满足，求的长. 图（1） 【类比探究】 （2） 如图（2），在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），.当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由. 图（2） 【拓展迁移】 （3） 如图（3），在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），.当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由. 图（3） 22．如图,点O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4.E,F是AC上的点(E,F均不与A,C重合),且AE=CF,连接BE,DF.用x表示线段AE的长度,点E与点F的距离为y1.矩形ABCD的面积为S,△ABE的面积为S1,△CDF的面积为S2,y2=. (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象,并分别写出函数y1,y2的一条性质; (3)结合函数图象,请直接写出y1<y2时x的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过0.2). 23．综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 参考答案 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】3 14．【答案】/ 15．【答案】 16．解：过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，如图所示： ∴，， ∴是直角三角形， ∵， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 17．解：如图，过点C作，过点A作，过点B作BEx轴，交于点E，作轴于点F，连接， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∵面积为20， ∴矩形的面积为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴点E的坐标是， 取的中点为M，连接，， ∵是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∵点A是x轴正半轴上的动点， ∴点C也是动点， ∴， 当点O，C，M三点共线时，取最大值， ∴的最大值为． 18．证明：如图2，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图3，在的延长线上取一点，使，连接． ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图4，在上截取，连接，过点作轴于点， 设点， ， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ， ， ， ， 点， 点F恰好落在直线上， ， ， 点，点， 在中， ， 在中， ， ． 19．将沿翻折得到，点的对称点为点, , . , , 四边形是菱形, . 为边的中点, 为边的中点, , . 四边形是平行四边形, , , , . 四边形是菱形, , , 四边形是平行四边形. 20．（1） （答案不唯一）. 由折叠可得，. 当 时， ， ， 是等边三角形. （2） 四边形是菱形.理由如下： 四边形是矩形， . 由折叠的性质可得 ， ，. ， ， . ， . ，， ，． ，， 四边形是平行四边形. ，是菱形. （3） 2或. 当在上时，如图（1），设，则. 由折叠的性质可得， . 在中，， ，解得， ，. 设，则. ， ， 在中，， 即，解得， ，. 图（1） 图（2） 当点在上时，如图（2），连接. 四边形是矩形， . 在和中， ，. 又, ,. 21．（1） 【解】，，，.又，，，. （2） .理由如下：连接 四边形为矩形，，，，，，，，即， 四边形为矩形，， ，，. （3） .理由如下：如图，延长至点，使得，连接，，，.同理（2）可得，，，， 四边形为矩形，，，，. 22．(1)y1=y2=(0<x<5). ∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4, ∴∠ABC=90°,∴AC==5, ∴AO=CO=. 当0<x≤时,AE=CF=x,∴y1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x; 当<x<5时,AE=CF=x,∴y1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5, ∴y1= 如图(1),过点B作BM⊥AC于点M. ∵S△ABC=AB·BC=AC·BM,∴BM==, ∴△ABE的面积S1=AE·BM=x×=x, 同理可得△CDF的面积S2=x. 又∵矩形ABCD的面积S=3×4=12, ∴y2===,∴y2=(0<x<5). 图(1) (2)作图如图(2). 图(2) 性质:当0<x≤时,y1随x的增大而减小;当<x<5时,y1随x的增大而增大(函数y1的性质不唯一). 当0<x<5时,y2随x的增大而减小. (3)结合函数图象,可得y1<y2时x的取值范围为0<x<3.3(或0<x<3.1或0<x<3.2或0<x<3.4或0<x<3.5). 23．（1）把 沿 所在直线折叠，点 落在点处， 四边形 是正方形， ， 沿 所在直线折叠使点 与点重合， ， 的度数不变且为 （2） 理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点 在正方形 中，， 由（）可知，，， 在中， 在 和中， 在中， （3）解：∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上时，的面积最大，此时 ∵ ∴， ∴ ∴面积的最大值为 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $