第1章特殊平行四边形检测卷-2026-2027学年北师大版 数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，覆盖性质、判定及综合应用，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质与判定|单选1-4直接考查矩形、菱形定义及性质，填空11-13强化面积与对角线计算| |中档|性质判定综合应用|单选5-8结合中位线、折叠，填空14-15融合全等与勾股定理，解答17-18巩固尺规作图与证明| |拔高|动态几何与多结论探究|单选10、填空16涉及动点与函数，解答19-21含对称、翻折及分类讨论，发展创新意识|

第1章特殊平行四边形检测卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 4．下列性质中，矩形和菱形一定都具有的是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角 5．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，画直线分别与、交于点、．则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的周长为（     ） A．20 B．18 C．24 D．15 7．如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 9．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若点坐标为则的长是（     ） A．4 B． C． D． 10．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比；③的面积是正方形面积的一半；④．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 12．如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 13．菱形的面积为28平方厘米，一条对角线长为8厘米，则它的另一条对角线的长为_______． 14．如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点，连接．若，，则的长是__________；的长是__________． 15．如图，在平行四边形中，，，．过它的中心作的垂线，分别交，于点，，请在边上取点，连接并延长，交边于点．若，将平行四边形分成面积相等的四部分，则的长是_______． 16．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则____；当时，对应的的值是____ 三、解答题 17．如图，在中，，，，，，分别为、、上的点，四边形为菱形．请尺规作图画出，，点（不写作法，保留作图痕迹）： 18．如图，已知在四边形中，，平分，点是上的点，连接并延长交于点，若． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，交的延长线于点，若，，，求四边形的面积． 19．如图①，四边形是边长为的正方形．点是边上不与点、重合的动点，连接，作点关于的对称点，连接并延长交边于点，连接、． (1)线段的长为________； (2)求证：； (3)当、、三点共线时，请你在图②中用无刻度的直尺和圆规作出点和点．不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑．结合所画的图求的度数； (4)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 20．如图，在矩形中，，，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，连接，将沿翻折，使点C落在点E处． (1)若，求的度数； (2)连接， ①若，求此时点P的运动时间t； ②当是直角三角形时，请直接写出点P的运动时间t． 21．在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形检测卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B A A D D D D 1．B 【详解】∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，即，故C选项正确，不符合题意； ，，， ∴，故D选项正确，不符合题意． 由于矩形的对角线不一定垂直，故B选项不一定正确，符合题意． 2．C 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 3．B 【分析】证出是等边三角形即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 4．B 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需逐一判断各选项性质是否为两个图形共同具有即可. 【详解】解：A、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故此选项不符合题意； B、矩形和菱形都属于平行四边形，都满足对角线互相平分，故此选项符合题意； C、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故此选项不符合题意； D、 四个角都是直角是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故此选项不符合题意． 5．A 【分析】连接，根据题意，得，得四边形是菱形，连接，根据菱形的对称轴性质，得，根据三线合一，平行线的性质，证明，利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：连接，根据题意，得， 故四边形是菱形， ， ，，， ， ， 连接，根据菱形的对称轴性质，得， 根据等腰三角形三线合一，得， ， ， ， ； 6．A 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，再根据菱形的性质可得菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， 在菱形中，， 菱形的周长为． 7．D 【分析】先证明平行四边形是菱形，得到，再根据三角形中位线定理作答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线 ∴平行四边形是菱形，是的中点， ∵菱形四条边相等，周长为， ∴边长， ∵点E为的中点， ∴． 8．D 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．D 【分析】根据正方形的性质得到，再运用两点之间距离的计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10．D 【分析】①连接，交于点，过点作交的延长线于点，先根据正方形的性质，证得四边形是矩形，得到相等的角和边，再由三角形的全等证得； ②延长交于点，构造直角三角形，由勾股定理表示出与，即可得证； ③由四边形是矩形和正方形的性质，可以表示出和边上的高，即可得到的面积； ④在上截取，连接，构造平行四边形，由两直线平行，得到相等角，可证得． 【详解】设正方形与的边长分别为， ①如图，连接，交于点，过点作交的延长线于点， 四边形与是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ， ，即是的中点，结论①正确； ②如图，延长交于点， 则四边形是矩形， 在中，， 在中，， 所以， 则与成正比，②正确； ③如图，由结论①的证明可知，，， 在中，， ， ， ， 则的面积是正方形面积的一半，③正确； ④如图，在上截取，连接， 则， 在与中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形，， 在四边形中，， 四边形是平行四边形， ， ，④正确． 11． 【分析】根据矩形的性质得出对角线相等且互相平分，从而得到，结合判定为等边三角形，求出对角线长，再利用勾股定理求出矩形的另一边长，最后计算面积． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 矩形的面积． 12． 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． 13． 厘米 【分析】本题利用菱形的面积公式求解，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知菱形面积和其中一条对角线的长，代入公式即可求出另一条对角线的长． 【详解】解：设菱形的另一条对角线的长为厘米 根据菱形面积公式可得： 解得. 故另一条对角线的长为厘米． 14． 【分析】首先证明，得出，进而证得；过点作于点，利用等腰三角形三线合一性质求出的长，再证明，从而求出的长；最后利用勾股定理即可求出的长，结合即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形 ， 在和中 过点作于点 ， 又 在和中 ， ∴， 在中， 根据勾股定理可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 15． 【分析】由于是中心对称图形，且经过对称中心，则将分成面积相等的两部分，进一步结合对称性，只要将四边形的面积两等分，就能保证，将的面积四等分，再进一步结合平行四边形及三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图1，过点作于． 四边形是平行四边形， ，，． 是中心对称图形，且经过对称中心，   为对称点，为对称点，   ，． 在中，，，   ，   ，   ． ，，   ，   又，   四边形为矩形，   ，，   ． ，   ，   ． 如图2，连接，过点作，设为上的点，满足将四边形的面积平分，延长交于． 由平行四边形的对称性可知，将的面积两等分；若将四边形的面积平分，则将满足将的面积四等分． 由题意可知，   ，   ，   ． ，   ． 将的面积四等分，   ，即， 代入 ，，，得 ， 解得． 在中， ． 在中，， ． 在中，． ． 16． 4 12 【分析】首先根据图象判断出当时，，此时点P和点B重合，求出，然后根据三角形面积求出，然后求出当时，，然后将代入求解即可． 【详解】解：由图象可得，当时，，此时点P和点B重合， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， 根据题意得，当点P在上时，即时，； 当点P在上时，即时，； ∴当时，， 解得． 17．所求图形如图所示． 【分析】作平分线交于点E；作垂直平分线交于点D，交于点F，即可． 【详解】理由：由作法得：是的平分线，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 18．(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明，则，结合可判定四边形是平行四边形，由平行线的性质和题干可得，则，因此四边形是菱形； （2）证明，则，结合可得，四边形是平行四边形，则，进而得到，因此可判定四边形是矩形，进而根据勾股定理求得的长度，得出的长，再根据矩形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴四边形的面积为． 19．(1)6 (2)证明：四边形是正方形， ，． 点与点关于对称， 垂直平分， ． ， ． ． (3)①作的平分线； ②过点作线段的垂线 ③截一条线段等于已知线段（或或） (4)或 【分析】（1）根据对称的性质可得； （2）根据正方形的性质可得，．根据对称的性质得出，进而根据证明； （3）作的平分线，过点作线段的垂线，截一条线段等于已知线段，作或或，进而根据正方形的性质以及三角形的内角和定理，即可求解． （4）分三种情况讨论，，，，根据正方形的性质，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是点关于的对称点， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接 根据作图可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ （4）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，连接， 则四边形是矩形 ∴， 在中，， ∴ 设， ∴， 在中， ∴ 解得： 即； 如图，当时，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即； 当时，此时点与点重合，点与点重合，不符合题意，此情况不存在，舍去， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 20．(1) (2)①此时点的运动时间为3秒；②点的运动时间为秒或秒或秒或8秒 【分析】（1）根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可； （2）①根据平行线的性质，结合折叠的性质，推出为等腰三角形，得到，即可得出结果；②分4种情况，根据折叠的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ； （2）解：由题意，， ①如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，， ， ，， ， ， ， ； 答：此时点的运动时间为3秒； ②当是直角三角形时，分四种情况: 当时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ； 当时，点在线段上时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ； 当时，点在线段的延长线上时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ； 当，如图， 则， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，点的运动时间为秒或秒或秒或8秒. 21．(1)证明：在菱形中，，， ， ． ， ， ． (2)证明：在菱形中，，， 为中点， ． ， ． ， ， ．     ， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ，     由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，．   ，， ∴四边形为平行四边形， ，     为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $