第一章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

第2课时 正 不抓基础·达标练 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,添加下列条件，能判定菱形ABCD是正方 形的是 () A.AB=BD B.BC=OC C.BC⊥CD D.∠C0D=90° D D B 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,添加下列条件，不能判定矩形ABCD是正 方形的是 A.∠0BC=45° B.BC=CD C.AC⊥BD D.∠AOB=60° 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°， ∠BDC=90°，BD=CD,点E是BC的中点，连接 DE.求证：四边形ABED是正方形 4.数学活动课上，探究小组的同学利用直角三 角形画菱形 ①如图，作Rt△AOB,其中∠AOB=90°； ②延长A0至点C,使CO=A0;延长B0至点D, 使DO=BO; ③连接BC,CD,AD,形成四边形ABCD. IⅡ12名校作业数学(BS)9年级上 方形的判定 当Rt△AOB满足什么条件时，四边形ABCD是 正方形？请说明理由 5.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过 点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，探究四边 形CODP的形状； (2)如图②，若四边形ABCD是菱形，探究四边 万形CODP的形状； （3)如图③，若四边形ABCD是正方形，探究四 边形CODP的形状， ① ③ 学抓重点·提升练 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分 线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF, 添加下列条件，仍不能判定四边形BECF是正 方形的是 A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF D 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是BC,AB, AC的中点，则下列说法不正确的是（) A.四边形AEDF是平行四边形 B.若∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形 C.若AD平分LBAC,则四边形AEDF是正方形 D.若ADLBC.且AD=BC,则四边形AEDE是 正方形 8.【教材P27复习题T13变式】如图，在等腰直角 三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是 AB的中点，过点D分别作DE⊥AC于点E,DF1 BC于点F,连接EF. (1)求证：四边形CEDF是正方形 (2)若AC=6,求EF的长 9.如图，将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA 顺次延长至点E,F,G,H,且BE=CF=DG=AH, 连接EF,FG,GH,EH.求证：四边形EFGH是 正方形. A D 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在斜 边AB上，过点D作DE⊥BC于点E,延长DE 至点F,使得CF∥AB,连接CD,BF (1)求证：AD=CF (2)当点D是AB的中点时， ①求证：四边形BDCF是菱形 ②若LA=45°，求证：四边形BDCF是正方形. 第一章特殊平行四边形131[ 第2课时正方形的判定 1.C 2.D 3证明：AD∥BC, .∴.∠A=180°-∠ABC=90° :BD=CD,点E是BC的中点， .DE⊥BC. ∴.∠BED=90°. .·.∠ABE=∠A=∠BED=90°」 .四边形ABED是矩形 :∠BDC=90°，点E是BC的中点， DE-2BC,BE-2BC. .DE=BE .矩形ABED是正方形 4.解：当OA=OB时，四边形ABCD是正方形 理由：OA=0C,0B=OD, ·.四边形ABCD是平行四边形 ∠AOB=90°，.AC⊥BD. ∴.口ABCD是菱形 .'OA=0C,0B=0D, 智想 ..AC=20A,BD=20B. .0A=0B, ..AC=BD. ∴菱形ABCD是正方形. 5.解：(1)DP∥0C,DP=0C, .四边形CODP是平行四边形 四边形ABCD是矩形 ..AC=BD,OC=AC,OD=BD. 2 2 ∴.0C=0D .口CODP是菱形. (2)DP∥OC,DP=OC, .四边形CODP是平行四边形 四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD..∠COD=90°. .口CODP是矩形 (3)DP∥OC,DP=OC, .四边形CODP是平行四边形 ·四边形ABCD是正方形， ACiBD.AC-BD.OC-AC.OD-BD. ∴.∠C0D=90°，0C=0D ∴.口CODP是正方形 6.D解析EF垂直平分BC, .∴.BE=CE,BF=CF 又BE=BF,∴.BE=CE=CF=BF .四边形BECF是菱形 选项A:BC=AC,∠ACB=90°， .∠ABC=45°. 由菱形的对称性，得∠FBC=45°」 .∴∠EBF=∠ABC+LFBC=90°. .菱形BECF是正方形 选项B:CFBF, ∴.LBFC=90° <菱形BECF是正方形 选项C:四边形BECF是菱形， BD=CD=)BC,DB=DF2之EF 又BD=DF, ..BC=EF. .菱形BECF是正方形 由选项D中的条件不能判定四边形BECF是正方形， 7.C解析A.点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点， .DE,DF是△ABC的中位线..DE∥AC,DF∥AB. .四边形AEDF是平行四边形， B.∠BAC=90°， .□AEDF是矩形. C.AD平分LBAC,∴∠BAD=∠CAD. DE∥AC,.∠ADE=∠CAD. .∠BAD=LADE.∴AE=DE. .口AEDF是菱形，无法证明四边形AEDF是正方形. D.,AD⊥BC,点D是BC的中点， .AD垂直平分BC. ∴AB=AC 点E,F分别是AB,AC的中点， AF-AB.AF-AC. ..AE=AF. .口AEDF是菱形 点D是BC的中点，CDBC AD-2 BC..AD-CD. 又点F是AC的中点，.DF⊥AC ∠AFD=90° 菱形AEDF是正方形， 8.(1)证明：如图，连接CD A .DE⊥AC,DF⊥BC, ,∴.∠CED=∠CFD=90° 又：∠ACB=90°，.四边形CEDF是矩形 :AC=BC,点D是AB的中点， ∴.∠ACD= 40n=45 .∠CDE=45 ∴LACD=LCDE. 智想 ∴CE=DE. :矩形CEDF是正方形 (2)解：.·AC=BC,AC=6,..BC=6. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=VAC2+BC2=6V2. :∠ACB=90°，点D是AB的中点， CD-AB-3V2. 由(1)得四边形CEDF是正方形， ..EF=CD=3V2. 9.证明：四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°. ∴.∠EBF=∠HAE=90° .BE=CF. ∴.BC+CF=AB+BE,即BF=AE 又BE=AH, .·.△BEF≌△AHE(SAS) .∴.EF=HE,∠EFB=∠HEA 同理可得EF=FG,EF=GH. .·.EF=FG=GH=HE. .四边形EFGH是菱形 ∠EBF=90°，∴∠EFB+LFEB=90°. .∠HEA+LFEB=90°，即∠HEF=90°. ∴菱形EFGH是正方形 10.证明：(1)，DE⊥BC,..∠BED=90° .∠BED=LACB.∴AC∥DF 又，CF∥AB, .四边形ACFD是平行四边形 ..AD=CF (2)①点D是AB的中点， ..AD=BD. 由(1)AD=CF, ·.BD=CF. 又CFAB, .四边形BDCF是平行四边形 又DF⊥BC, 口BDCF是菱形 ②∠A=45°，LACB=90°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB=45° .∠A=LABC.∴.AC=BC. 点D是AB的中点， ..CD⊥AB .∠BDC=90° 菱形BDCF是正方形