学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（福建专用，新教材人教版九上第25-26章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，结合芯片研发、草莓种植等真实情境，通过基础巩固、综合应用及创新探究题梯度设计，适配九年级9月学情检测，有效落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、二次函数顶点坐标|第6题以芯片研发投入考增长率模型| |填空题|6/24|根的判别式、抛物线增减性|第16题结合抛物线对称求交点距离| |解答题|8/86|方程应用、抛物线建模、新定义探究|23题以景区三孔桥建抛物线模型，25题“邻交函数”新定义考察创新思维|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2007年秋季九年级数学9月学情自测卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．_________ 12．_________ 13．_________ 14．_________ 15．_________ 16．_________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （8分） 19． （8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（13分） （备用） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2007年秋季九年级数学9月学情自测卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码. 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 斯 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 7 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 .23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 45 破. 6 5 正确填涂■ 789 6789 23456789 23456789 23456789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][CI[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][CI[D] 6[A1[B1[C1[D1 10[A][B][C][D] 設 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、 填空题：本题共6小题， 每题4分，共24分 11 13 14 15 16. 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤) 17.(8分)解方程 期 (1)2x2-2x-1=0: (2)(x-22=3x-6, 茶 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19. (8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) y 22.(10分) 75 80 (图1) (图2) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) -10 10 8m .-20m 图1 图2 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) A (备用) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.下列各方程是一元二次方程的是() A+是 B.（x-1)(x-2)=x2+1 C.ax2+bx+c=0 D.x2-5=0 2.一元二次方程x2-4x-12=0的两个根是（). A.x=-2,x2=6 B.x1=6,x2=-2 C.x=-3,x2=4 D.x=-4,x2=3 3.下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x B.y=x3+1 C.y=x2+x D.y=3(x-10(x+1)-3x2 4.抛物线y=5(x-2)的顶点坐标是() A.（-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2) 5.若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 6.为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入.该企业2023年研发 投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的 平均年增长率为x,则下列方程正确的是() A.30(1+2x)=50B.301-2x)=50 C.30(1-x)}2=50 D.30(1+x)2=50 1/8 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2-1与x轴的交点的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 8.x=4牡一4-4x5x(-)是下列哪个一元二次方程的根（) 2×5 A.4x2+5x+1=0B.5x2-4x-1=0 C.4x2-5x-1=0 D.5x2-4x+1=0 9.已知抛物线y=ax2+bx+c过(1,0)，(2,0)，(3,4)三点，则该抛物线的解析式为()· A.y=x2-3x+2 B.y=2x2-6x+4 C.y=2x2+6x-4 D.y=x2-3x-2 10.己知点(x,y),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上，下列说法正确的是() A.若乃=2，则x=x B.若x≠x2,则≠y2 C.若0<x<x2,则y>y2 D.若x<x2<0,则>y2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分 11.一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为。 12.关于x的一元二次方程2x2+x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为 13.抛物线y=x-4+3的顶点坐标为一 14.抛物线y=(x+2m)2-1,当x<4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是 15.设x,x2是一元二次方程x2-3x-4=0的两个实数根，则(x+2:+2)的值为一· 16.如图，y与y2关于y轴对称，且y=(x+1)(x<0),一条平行于x轴的直线与和y2共有四个交点， 从左到右依次记为AB、C、D,当AB=BC=CD时，则AD= 2/8 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分. 17.解方程： (1)2x2-2x-1=0: (2)(x-2)=3x-6. 18.如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的 矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的：，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设 计四周边衬的宽度？ 19.已知关于x的一元二次方程x2-（m+2)x+2m=0. (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 3/8 学科网·学易金卷 www .zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 20.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个.经过市场调查发现，若这种商品售价每 提高1元，其销售量就会少10个. (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数： (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 21.如图，菱形01BC的项点Q4C在抛物线y-写上，其中点0为坐标原点，对角线0B在辅上，且 OB=2. B 0 (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积. 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题. 信息及素材 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改 素材一 进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10 千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同. 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖. (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体 纸盒（如图2），为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm的纸盒，设此时纸盒的高为 acm 则可列方程为 75 80 (图1) (图2) 5/8 画学科网·学易金卷 www .Zxxk com 做好卷，就用学易金卷 23.综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常 水位时，大孔水面宽度为20m,顶点距水面8m,小孔顶点距水面5m. 【建立模型】 -10 10 8m 20m 8 图1 图2 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函 数表达式 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点1m时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号） 6/8 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.如图是抛物线y=(x+m)2+k,其顶点为ML,-4),与x轴的交点为A,B（点A在点B的左边)· M (1)直接写出抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标： (3)在抛物线上是否存在点卫，使Sa- S△MB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 7/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函 数”.例如，二次函数y=x2-5x+6与x轴的两个交点分别是(2,0)，(3,0)，两点的距离为1，则此函数 y=x2-5x+6是“邻交函数 (1)判断二次函数y=4x2-1是不是“邻交函数” (2)若二次函数y=x2-2ax+2是“邻交函数”，求a的值. (3)若二次函数y=ax2+bx+l(a>0)是“邻交函数”，令t=10a-b2,求t的最大值. 8/8 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B C D B B B D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． 12． 13． 14． 15． 16．3 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第25题13分． 17． 【详解】（1）解：， ∵，，，······（1分） ∴，······（2分） ∴， ∴， ；······（4分） （2）解：， ， ，······（6分） ， ∴或， ∴，．······（8分） 18． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和，······（1分） 由题意得， 整理得，······（4分） 解得或（不符合题意，舍去），······（6分） 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为．······（8分） 19． 【答案】(1) 【详解】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，，······（1分） ∴ ，······（3分） ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根；······（4分） （2）解：把代入，得：······（5分） ， 解得：．······（6分） 则方程为， 方程变为：， 或，······（7分） 解得：，， ∴方程的另外一个根为2．······（8分） 20． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元），······（1分） 销售量减少（个）······（2分） 此时销售个数为（个）；······（3分） （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个，······（4分） 由总利润为8000元，得，······（5分） 整理得， 解得，，······（6分） ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴；······（7分） 答：售价应提高10元．······（8分） 21． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D，······（1分） ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，，······（2分） ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：，······（3分） ∴．······（4分） （2）解：∵轴，， ∴，即，······（6分） ∴菱形的面积是：．······（8分） 22． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ，······（1分） 解得，（舍去），······（4分） 则草莓产量的年平均增长率为；······（6分） （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：．······（10分） 23． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为，······（1分） ∵抛物线过，代入得： ，······（3分） ∴解析式为······（4分） （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时，······（6分） ， 解得，······（8分） ． 答：此时大孔的水面宽度．······（10分） 24． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为．······（3分） （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得，······（5分） ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为．······（6分） （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则，······（7分） ∴，解得．······（9分） ∵点P在抛物线上， ∴， ∴，······（11分） 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或．······（13分） 25． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得，······（1分） ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为，······（2分） ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”；······（3分） （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1，······（4分） 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴，······（5分） ∴， 解得或，······（6分） 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，；······（7分） （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1，······（8分） 在中，当时，， 解得，······（9分） ∴，即， ∴，······（10分） ∴， ∴， ∴，······（11分） ∴ ，······（12分） ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9．······（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 10．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 13．抛物线的顶点坐标为_____． 14．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 15．设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 16．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 20．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 21．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 22．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 23．综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 24．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $。。: 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 : (考试时间：120分钟，分值：150分) : 。: 注意事项： : : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 : 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 第I卷 .: 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 : 1.下列各方程是一元二次方程的是() 1 A.x2+ B.(x-1(x-2)=x2+1 C.ax2+bx+c=0 D.x2-5=0 O . 2.一元二次方程x2-4x-12=0的两个根是(). A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=-2 C.x=-3,2=4 D.x=-4,x2=3 3.下列各式中，y是x的二次函数的是() : A.y=2x B.y=x3+1 C.y=x2+x D.y=3(x-1)(x+1)-3x2 : : 拟 : 4.抛物线y=5(x-2)的顶点坐标是() .: A.（-2,0) B.(2,0) c.(0,-2) D.(0,2) : 5.若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 c.m≥-4 D.m>-4 6.为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入.该企业2023年研发 投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的 的 平均年增长率为x,则下列方程正确的是() A.30(1+2x)=50B.30(1-2x)=50 C.30(1-x)2=50 D.30(1+x)2=50 : : 7.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2-1与x轴的交点的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 试题第1页（共4页） 可学科网·学易金卷做好费：就限彩是普 8.x=4±y44×5x-D是下列哪个一元二次方程的根() 2×5 A.4x2+5x+1=0B.5x2-4x-1=0 C.4x2-5x-1=0 D.5x2-4x+1=0 9.已知抛物线y=x2+bx+c过(1,0)，(2,0)，(3,4)三点，则该抛物线的解析式为（). A.y=x2-3x+2 B.y=2x2-6x+4 C.y=2x2+6x-4 D.y=x2-3x-2 10.己知点(x,),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上，下列说法正确的是（) A.若=y2,则x=x B.若x卡x2,则乃≠2 C.若0<x<x2,则y>y2 D.若x<x2<0,则>y2 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分. 11.一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为 12.关于x的一元二次方程2x2+x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为 18。数物线y=x-4+3的顶点坐标为一 14.抛物线y=(x+2m)2-1,当x<4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是 15.设x,x2是一元二次方程x2-3x-4=0的两个实数根，则(x+2)(x2+2)的值为 16.如图，与y2关于y轴对称，且片=（x+1)(x<0),一条平行于x轴的直线与和2共有四个交点， 从左到右依次记为A、B、C、D,当AB=BC=CD时，则AD= V B 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13 分 17.解方程： (1)2x2-2x-1=0: (2)(x-2)2=3x-6 18.如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的 矩形画。如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的写上、下边村等宽，左、右边村等宽，应如何设计 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好機：就限景是鲁 四周边衬的宽度？ 19.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0. (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 20.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，若这种商品售价 每提高1元，其销售量就会少10个. (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数： (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 1 21.如图，菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线y=二x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且 3 OB=2. B (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积. 22.丹东草莓是丹东市的特产之一.请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题. 信息及素材 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使 素材一 产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025 年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同. 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖。 (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸 盒（如图2）.为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm的纸盒，设此时纸盒的高为acm,则 可列方程为 试题第3页（共4页） 75 80 (图1) (图2) 23.综合与实践： ® 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常 兵 水位时，大孔水面宽度为20m,项点距水面8m,小孔顶点距水面5m. 【建立模型】 张 Y -10 10 8m 20m 图1 图2 游 数 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函 : 数表达式。 【解决问题】 S (2)当水位上涨到距小孔顶点1时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号） O 24.如图是抛物线y=(x+m)2+k,其顶点为M(L,-4),与x轴的交点为A,B（点A在点B的左边). M (1)直接写出抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标： 5 (3)在抛物线上是否存在点P,使SAP= S△M？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 25.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”.例 如，二次函数y=x2-5x+6与x轴的两个交点分别是(2,0)，(3,0)，两点的距离为1，则此函数y=x2-5x+6 是“邻交函数” (1)判断二次函数y=4x2-1是不是“邻交函数” (2)若二次函数y=x2-2a+2是“邻交函数”，求a的值. (3)若二次函数y=ar2+bx+1(a>0)是"邻交函数”，令t=10a-b2,求t的最大值. 试题第4页（共4页） 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 10．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 13．抛物线的顶点坐标为_____． 14．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 15．设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 16．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 20．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 21．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 22．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 23．综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2) 当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 24．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 4．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 5．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 6．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 8．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 9．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 10．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 13．抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 14．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 15．设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 16．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题13分，第25题13分． 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； （2）方程，先变形，移项后提取公因式，使用因式分解法求解，不能直接两边同除含未知数的因式，避免丢失根． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 20．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】(1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 21．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 22．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 23．综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 24．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 25．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． / 学科网（北京）股份有限公司 $