精品解析：湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题

武汉市2027届高中毕业生九月调研考试 数 学 试 卷 2026.9.16 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面向量的夹角为，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（ ） A. 万片 B. 万片 C. 万片 D. 万片 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 100 7. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若函数与的最大值相等，则a的值所在区间为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 双曲线的离心率是 B. 若，则的周长为 C. 存在四条不同直线使得 D. 线段的中点坐标可能是 11. 在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”.如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面上截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小.现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l，记其顶点锥口的立体角为.另有四棱锥，其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥口的立体角为.则下列说法中正确的有（ ） A. 对任意， B. 若，则 C. 当平面时，若，则 D. 当四棱锥是正四棱锥时，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 13. 记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______. 14. 记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. （1）求的值，并估计女生评分的平均数； （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若，求的取值范围. 18. 已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形. （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为. （i）若，求所在直线的斜率； （ii）若，求. 19. 已知个正整数，，…，满足：，这个数两两成对可组成对数，这对数中每对的两个数求和后形成一个数列：.例如1，2，4求和后形成3，5，6. （1）当时，形成对求和数列：，，，，，.试写出，，，可能的两组值. （2）当时，对于形成的，，…，，证明：，，，，的解是唯一的. （3）当时，证明：存在两个不同的数列，，…，和，，…，对应同一个求和数列，，…，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市2027届高中毕业生九月调研考试 数 学 试 卷 2026.9.16 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为. 因此， 所以，对应区间为. 2. 平面向量的夹角为，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得：. 3. 某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（ ） A. 万片 B. 万片 C. 万片 D. 万片 【答案】C 【解析】 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再根据奇函数的定义验证函数是奇函数即可. 【详解】的定义域为且， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，即. 所以， 的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数.所以. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先对已知式子切化弦，利用两角和差正弦公式化简，再用正弦定理完成边角互化，化简求出的值，结合三角形内角范围得到角. 【详解】将题中所给等式切化弦得，，则， 由两角和公式化简可知，， 因为，所以两边同时乘以得，， 由正弦定理得，， 因为，所以两边同时除以得，，所以， 因为，所以. 6. 某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】第1天：5 个人任选1人，5种选择； 第2天：不能和第1天是同一个人，剩下4人，4种选择； 第3天：不能和第2天是同一个人，剩下4人，4种选择； 总方法数：. 7. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 8. 已知，若函数与的最大值相等，则a的值所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的最大值；再把换元改写成与同构的形式，比较得应满足，并说明这样的唯一，最后由单调性定位根所在的区间. 【详解】（），则. 设满足， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 所以的最大值为. （）. 令，则， 代入得. 当，即时，，此时的最大值与的最大值相等. 下证使最大值相等的唯一. 记，则当且仅当， 故的最大值在某点处取得. 当时，， 于是且，所以的最大值， 即越大，的最大值越小. 所以使最大值相等的至多一个，故恰为方程的根. 设（），则，单调递增， 方程有唯一根. 因为，， 所以根. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】设，，， A.法一：∵，∴， 即，而 ，显然 条件推不出结论， 法二：举反例，取， 满足，但是， ，A错误. B.∵，∴， 即，∴，B正确. C.∵， ∴，即 ，其几何意义 是圆上任意两个点， 又，其几何 意义是两个点之间的距离小于等于2， ∵圆上任意两点(直径），∴C正确. D.举反例，当时，， 满足，但是，D错误. 10. 记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 双曲线的离心率是 B. 若，则的周长为 C. 存在四条不同直线使得 D. 线段的中点坐标可能是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误. 【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确； 对于B，，， 的周长为，B正确； 对于C，当斜率不存在时，即时，； 当斜率存在时，设，，， 由得：， 且，则，， ，解得：，即， 方程为：； 综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为； 当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为， 则，，解得：， 当方程为时，线段的中点坐标为，D正确. 11. 在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”.如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面上截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小.现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l，记其顶点锥口的立体角为.另有四棱锥，其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥口的立体角为.则下列说法中正确的有（ ） A. 对任意， B. 若，则 C. 当平面时，若，则 D. 当四棱锥是正四棱锥时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题明确立体角的定义：以锥顶点为球心作半径为1的单位球面，锥在球面上截取的曲面面积就是该立体角的大小.结合圆锥、正四棱锥几何特征，利用球面几何知识，正方体几何知识，逐一分析选项. 【详解】对于A，由题可得，如图所示，圆锥在球面上截取的曲面面积小于该球表面积的一半， 记球的表面积为，则；A正确； 对于B，如图所示，因为，所以圆锥的高， 作圆锥底面圆的外接正方形，设顶点为，分别连接正方形各顶点，则该四棱锥为正四棱锥，设其立体角为，易得， 以该正方形为底面作正方体，则单位球在该正方体内，且该正方体与单位球都是关于点的中心对称图形， 又因为正方体能分成6个如图所示的正四棱锥， 所以，所以；B错误； 对于C，将正方形边长扩大两倍形成如图所示大正方形，将顶点分别连接大正方形各顶点，得到大正四棱锥， 设其立体角为，则， 以大正方形为底面，形成一个正方体，该正方体边长为4， 由B可得，所以，且为该正方体的中心，则；C正确； 对于D，同理B可得，此时单位球面与正方体面相切，则点到底面的距离，.D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后解析式为： ， 要使其与原图象重合，即，， 所以，， 因为是正实数， 所以，当时，最小为8. 13. 记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______. 【答案】15 【解析】 【详解】因为是等差数列，设公差为d， 因为， 所以， 即， 所以解得. 14. 记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，由椭圆定义得，利用余弦定理、勾股定理得；再由角平分线及正弦定理建立与角的关系，通过三角恒等变换求出比值，进而解得. 【详解】设， 则 设平分，记， 又设，因为，所以， 在与中由正弦定理得：①，②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由勾股定理得： 两式相等，且，整理得， 由①②相乘：， 又，所以， 于是， 由①②相加： 两边平方： 所以，即 由①②消去，整理得 于是， 代入，， 计算可得， 又由勾股定理：. 所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. （1）求的值，并估计女生评分的平均数； （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），74.5分. （2） 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 没有关联. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1求，用各组中点乘对应频率求和得到女生评分平均数； （2）由直方图算出男女生合格、不合格人数填写列联表，计算卡方值与临界值比较，判断评分等级和性别是否有关联. 【小问1详解】 由女生直方图各矩形面积之和为1，得， 解得. 以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为. 所以，女生评分的平均数约为74.5分. 【小问2详解】 男生合格频率为，女生合格频率为，故列联表为： 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算得. 因为，所以在小概率值的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评分等级与该校报名者的性别有关联. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由参数值求出函数在时的函数值和导数值，再由点斜式方程求出切线方程； （2）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，分别求出导函数值的正负，进而求出函数的单调区间； （3）根据函数恒成立的条件，判断函数最小值为正，由函数单调性求出函数最小值，进而列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 函数定义域为，且. 当时，，. 故切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，导数的符号由决定. 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 【小问3详解】 要使定义域内恒有，只需且必须使其最小值大于0. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为， 所以等价于，得到. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 最小值为， 所以等价于，得到. 综上，. 18. 已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形. （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为. （i）若，求所在直线的斜率； （ii）若，求. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）联立方程求出圆与抛物线的三个公共点，根据这三点恰好构成等腰直角三角形求出即可； （2）设直线方程为，，，联立，写出韦达定理，（i）利用到角公式表达出，代入韦达定理求解即可；（ii）由，得，根据三角形相似得到，且，分别表达出，，进而得出，解得，且，利用弦长公式计算出即可. 【小问1详解】 联立，得，即， 所以或. 故圆与抛物线的三个公共点分别为，. 这三点恰好构成等腰直角三角形，所以，解得或（舍去）. 故的标准方程为. 【小问2详解】 易知的斜率不为，设直线方程为，，，. 联立，得，所以. （ⅰ）因为，到距离，即. 因为， 所以， 而， 且. 所以，解得或， 但时，舍去. 故，，故直线的斜率. （ⅱ）由，得，所以，从而. 由（ⅰ）知，而. 所以，解得，且. 又由，即， 由弦长公式知， 所以. 19. 已知个正整数，，…，满足：，这个数两两成对可组成对数，这对数中每对的两个数求和后形成一个数列：.例如1，2，4求和后形成3，5，6. （1）当时，形成对求和数列：，，，，，.试写出，，，可能的两组值. （2）当时，对于形成的，，…，，证明：，，，，的解是唯一的. （3）当时，证明：存在两个不同的数列，，…，和，，…，对应同一个求和数列，，…，. 【答案】（1）或 （2）设.每个原数出现4次，所以， 由所给和数列唯一确定. 利用递增关系，可确定四个极端和：，，，. 于是中间项首先被唯一确定：.再依次得到，，，. 右端均由已知的和数列唯一确定，因此，，，，的解唯一. （3）先证明一个扩充构造.设两组互异的数U、V各有k个元素，并具有相同的两两和多重集.取足够大的正整数h，使平移后的数都大于未平移的数，构造，. 这里表示将V中每个数都加上h.的两两和分为三类：U内部的和、V内部的和再加2h、形如的交叉和.的前两类只交换了U、V的角色，两类多重集均不变；第三类仍由同样的所有组成.因此、也具有完全相同的两两和多重集. 从第（1）问的，出发，第一次取，得到，. 第二次取，得到两组16个递增的正整数：， ； ， . 由两次扩充构造，它们的个两两和连同重数完全相同，而，两数列不同，所求存在性得证. 【解析】 【分析】（1）分两种情况列式求解未知数，得到两个正整数解，分别代入，算出完整数组，再检验两组数组的全部两两和，排序后都与题目给出的和序列完全一致，就得到两组可行解. （2）设五个数总和为T，每个原始数字会和其余4个数配对，因此在全部两两和中每个数恰好出现4次，将全部10个两两和相加再除以4，就能算出五数总和T，这个总和由给出的和序列唯一确定. （3）通过（1）的两组数组不相同，但经过构造保证构成的多重集完全一致，再排序之后得到完全一样的数列，从而得证. 【小问1详解】 每个原数在两两和中出现3次，所以. 最小的两个和分别是，. 设，则，，. 尚未确定的两个中间和为，，它们应分别取16，20.故或. 得到两组值：或. 逐对相加，两组均得到8，14，16，20，22，28. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $