湖北黄石市2026-2027学年高三上学期9月质量监测数学试卷

机密★启用前 2026年全市高三（9月）质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）． A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则 A. B. C. D. 6. 已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（ ）． A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小，减小 7. 已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数，则下列实数中属于函数值域的有（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 下列表达式中，满足数列是单调递减的有（ ）． A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 13. 已知,分别是双曲线的左、右焦点，,为双曲线的两条渐近线，设过点且平行于的直线交于点,若,则该双曲线的离心率为_____. 14. 已知平面直角坐标系中的点满足，若函数（，分别为的横，纵坐标）在处取得最大值（因，取值的不同而变化），则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 16. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 18. 某公司“团建”活动中设置转盘抽奖环节．如图，转盘外形为规则圆盘，其中A，B，C三个区域的面积相等．假设转盘指针不会落在区域的分界线上，指针只能随机地落入三个区域之一．当落入A时为获胜，得2分；当落入B或者C时得1分． （1）若指针转动三次，求三次得分之和的分布列和数学期望； （2）若指针转动次，，将次得分之和为的概率记为，求（用含的代数式表示）； （3）若将“指针转动次，至少获胜次”的概率记为，则“指针转动次，至少获胜次”的概率可记为．对于，分别求出和并比较大小，说明其大小关系的统计意义． 19. 分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． （1）试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； （2）对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． （3）若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 机密★启用前 2026年全市高三（9月）质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）． 【17题答案】 【答案】(1) ； （2）（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：. 设PQ的中点为，则 又TF的方程为，则得， 所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ. （ⅱ） 【18题答案】 【答案】（1）分布列如下： X 3 4 5 6 P （2） （3）设“指针转动次，至少获胜次”为事件C，要使事件C发生，有两种情况： 前次至少获胜n次，记此事件为，和前次获胜少于n次，记此事件为， 则． 事件又可以分为两种情况，即前次指针转动恰好获胜n次和至少获胜次． 若是后者，则再转两次时无论结果如何已经实现了事件C； 若是前者，则再转两次都无法获胜的概率为， 则的概率为． 对于事件，则必须恰好获胜次，否则再转两次时无论结果如何都无法实现事件C， 则． 因此，综合以上情况 所以， ． 其统计意义为，因为指针落入A的概率只有，比一半小，所以当指针转动的次数越来越多时，要想有一半以上的情形落入A，这样的可能性只会越来越小． 【19题答案】 【答案】（1）可以 （2）函数为，取，可得一个函数为. （3）取得最大值，其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $