第三十九讲 复数与方程 讲义-2026年高中数学竞赛

第三十九讲 复数与方程

随着数的概念的发展, 对方程的求解要求也在变化。在复数范围内, 我们不加证明地给出下述一些结论。

对于一元 次方程

(1)  此方程在复数集内恰有 个根。

(2)  设 为该方程的 个复根,则它们与方程的系数之间成立如下关系(即著名的韦达定理):

(3)  若 都为实数，则对方程的任意复根 ，数 也是该方程的根，这就是著名的虚根成对原理。

1. 解方程

例 1 已知实系数方程

①

有一个模长为 的虚根。求 的值,并解此方程。

解 由虚根成对原理,可知①有一个实根和两个模长为 的共轭虚根,设这三个根为 ,则

②

由韦达定理,有

结合②整理得

③ ④ ⑤

由 ③、⑤知 ,并将其代入 ②,可得 或 3 。再求解方程 ① 知:当 时,① 的解为 ;当 时,① 的解为 。

例 2 设实系数方程 有 3 个正实根。证明: 方程 必有一个正实根和两个互为共轭的虚根。

证明 设方程

①

的 3 个正根为 。又设方程

②

的 3 个根为 。由韦达定理得

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

由④、⑤知 ，因此方程②的系数恰好正负相间。这说明方程②不可能有负数根和零根。由于方程②是三次方程，故它必有一实根，此根只可能是正根。

为证方程②还有一对共轭虚根，只需证明它不可能有 3 个正根，以下应用反证法。 假设 。由⑥、⑧知 。所以

⑨

由⑦知 。同理由 ④、⑤ 可得 。所以

从而 ,即 。与⑨矛盾。故命题得证。

例 3 设 。若关于 的方程 有 4 个互不相等的复数根 ,且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为 1 的正方形的四个顶点,求 的值。

解 记二次方程 。不妨设 为 的解, 为 的解。

若 均为实数,则它们在复平面上对应的点均在实轴上,不合