第 2 讲 韦达定理 方程函数讲义-2026年高中数学竞赛

第 2 讲 韦达定理 方程函数 1. 三次方程的韦达定理 设三次方程 的三个根分别是 ,则有 ,只要把式子展开,比较 的同次项系数即可得三次方程的韦达定理: 2. 函数单调性在方程中的应用 若 为单调函数,则 . 热点课堂 【例 1】若实数 是方程 的两根,且满足 ,则实数 的可能取值有_____个. 【分析】一元二次方程的根满足 ,可以用韦达定理整体代入,解得其中一个根. 由韦达定理得 将 代入 消去 可得, 解得 或 2 或-3, (1) 当 时， ，解得 有两个解，符合条件； (2) 当 时， ，解得 有两个解，符合条件； (3) 当 时， ，无实数根； 故实数 的可能取值有 4 个. 【解答】4 【例 2】方程 的实根个数为( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 以上选项都不对 【分析】求根式方程的实根个数,首先通过换元将一元方程问题转化为两个参数 的问题,接着通过消去变量建立方程组,即可求解参数 . 令 , 则有 所以 , 可得 解得 或 当 时,代入可得 ,解得 或 13 ; 当 时,代入可得 ,解得 或 15 ; 综上, 实根个数为 4 . 【解答】C 【例 3】已知三个不同的实数 满足 ,则 等于( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 前三个答案都不对 【分析】利用三者形式的一致, 构造方程是解决这一问题的关键. 设 ,可得 是方程 的三个不同的根. 解法一: 直接使用三次方程的韦达定理可得 . 解法二: 构造方程 ,展开后与 对应系数可得 . 【解答】D 【例 4】设 满足 ,则点 ( ) A. 只有有限个 B. 有无限个 B. 位于同一条直线上 D. 位于同一条抛物线上 【分析】通过变换方程构造出一个五次单调的奇函数, 借助函数的增减性实现两边相等. 注意结构,因为 , 所以 , 所以 . 记 为增函数,则 , 所以 ,即 , 故有无限个点, 这些点构成一条直线. 【解答】BC 【例 5】关于 的方程 的实数解为( ) A. B. C. D. 【分析】将高次方程通过因式分解或构造函数降低次数是解决这一问题的常用解法, 利用选项信息可以试一试因式 进行因式分解; 或者根据式子特点构造 型的方程. 因为 , 所以 . 解法一: 分解因式得 , 所以 ,解得 或 (舍去), 故 . 解法二: 因为 , 所以 , 两边同时除以 得 , 所以 . 令 ,则 是增函数,且 , 故 ,解得 . 【解答】D 【例 6】方程 的所有实数根的平方和等于( ) A.3 B. 2 C. 4 D. 前三个答案都不对 【分析】本题无法通过函数的单调性解决, 实质上需要构造迭代函数. 因为 ,所以 , 记 ,则原方程可化成 . 解法一: (因式分解) 因为 , 所以 , 所以 , 所以 . 再由 解得 或 , 所以所有实数根的平方和为 4 . 解法二: 先证一个引理: 若 为 上的增函数,记 ,则 . 证明: 显然 ,下一步证明 , 对任意 ,假设 ,即 , 若 ,则由增函数性质可得 ,矛盾, 同理 也不符合, 所以 ,即得 ,所以 ,故 . 因为 , 所以 ,解得 或 . 所以所有实数根的平方和为 4 . 【解答】C 学科网（北京）股份有限公司 $