第十三讲 函数迭代与函数方程综合问题讲义-2026年高中数学竞赛

第十三讲   函数迭代与函数方程综合问题

在国内外数学竞赛中, 不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。主要有三个方面:(1)研究函数的性质;(2)求函数的值;(3)确定函数的解析表达式。下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。

例 1 设 是正整数集合, 。如果有一个函数 是严格递增的,且对于每个 ,都有 。证明: 对每个 ,都有

证明 因为 是严格递增的,故对任意的 1。于是当 时,有 。

从而 ,即 。所以

①

另一方面,用 代换①式中的 ,得 。

所以 ,即 。从而命题得证。

注 对于本题,若去求函数 的表达式,则此路不通。如果认为 ,那么有两个严重错误。一是当 不是完全平方数时, 不是 的函数,二是即使 是完全平方数, 也不是满足条件的唯一函数。

例 2 设函数 对所有 有意义,且满足下列条件:

(1)  对于 ,有 ;

(2)  在 上严格递增。

求 的值。

解 设 ,则当 时,由条件 (1) 得 。令 ,由条件 (1) 得 ,即 。

由于 在 上是严格递增的,所以 ,解得 。 若 ,则 ,矛盾。所以, ,即 。

例 3 证明: 不存在函数 ,使得对任何正实数 ,都有

①

证明 用反证法。假设存在这样的函数 ,则由①式，得

所以

②

由②式知, 是减函数。

首先,我们证明: 对任意正实数 ,都有 。

事实上,对于 ,存在一个正整数 ,使得

③

于是当 时,利用②式和③式，得

即

对于某个正实数 ,存在一个正整数 ,使得 ,于是

所以 ,矛盾。

于是命题得证。

注 在证明“否定”命题时,常常用反证法。

例 4 用 表示全体整数构成的集合。求所有函数 ,满足对任意整数 和 ,都有

解 将题中等式记为 ,由 得

①

由 得

②

比较①、②可得

③

将①、③代入原式，有