第三十八讲 复数及其运算的几何意义 讲义-2026年高中数学竞赛

第三十八讲 复数及其运算的几何意义

由于复平面的建立，我们可在复数集与复平面上的点之间建立一一对应(对比复数的代数形式), 又可以在复数集与从原点出发的复平面上的向量之间建立一一对应 (复数的三角形式)。

利用向量运算, 复数的加、减运算可以用平行四边形(或三角形)法则进行, 乘、除运算可以理解为向量的旋转和伸缩。因而, 复数的四则运算具有相当明显的几何意义，从而为两者(复数与几何)之间的相互运用提供了方便。

1. 平面上点的轨迹

例 1 已知平行四边形的两个顶点 ,点 内分对角线 为 。当点 在以 为圆心,3 为半径的圆周上运动时,求点 的轨迹。

解 如图,设点 分别对应复数 、

                      

例 1 图

,则

①  ②

由①得 。由 及 ①、② 知 。所以

③

将 代入 ,得 。这说明所求的轨迹是以点 为圆心、半径长为 2 的圆。

说明 利用复数来处理轨迹问题，可以视为复数在解析几何中的运用。从本质上而言, 它们都是向量的具体表达形式, 在向量观点下, 两种方法是统一的。当涉及对象只限于向量的加减或旋转、伸缩时, 不妨利用复数来试试问题的求解。

例 2 设复数 满足 的一个辐角的绝对值为 。试求复数 所对应的点 的轨迹以及复数 的辐角主值的取值范围。

解 设 对应的点分别是 。依题意设 ,如图所示,点 的轨迹为两段弓形弧 (除去端点),它们的圆心分别是 ,其对应的复数为

                      

例 2 图

圆的半径长均为 1 。

如图所示， ，且 。

所以，所求复数 的辐角主值的取值范围为

例 3 设正 的 点固定， 点在定直线 上。求第三顶点 的轨迹。

                      

例 3 图

解 如图所示，置 于原点，且使直线 与实轴垂直， 交实轴于 。设 两点对应的复数为 。

先考虑 为正向绕行的情况，令 ，则 。因 在直线 上，故 ，

从而 点可表示为 。

它是过两点 和 的直线方程。为证实这一点,只需验证 是实数即可。事实上，