第三十八讲 复数及其运算的几何意义 讲义-2026年高中数学竞赛

第三十八讲复数及其运算的几何意义 由于复平面的建立，我们可在复数集与复平面上的点之间建立一一对应（对 比复数的代数形式)，又可以在复数集与从原点出发的复平面上的向量之间建立 一一对应（复数的三角形式）。 利用向量运算，复数的加、减运算可以用平行四边形（或三角形）法则进行， 乘、除运算可以理解为向量的旋转和伸缩。因而，复数的四则运算具有相当明 显的几何意义，从而为两者（复数与几何）之间的相互运用提供了方便。 1.平面上点的轨迹 例1已知平行四边形的两个顶点A0,0、B4,-3,点P内分对角线 AC为2：1。当点D在以A为圆心，3为半径的圆周上运动时，求点P的轨 迹。 解如图，设点B、C、D、P分别对应复数zB、 A(O) B(4,-3) 例1图 2c、zn、zp,则 ZC=ZB+ZD, ①② 0得z0=2。-2。由2=3及①、②知号2。 22p-2=3。所以 2 2p3=2。 ③ 将=43i代入国得，骨21-2·这说明所求的轨迹是以点 -2 为圆心、半径长为2的圆。 说明利用复数来处理轨迹问题，可以视为复数在解析几何中的运用。从本 质上而言，它们都是向量的具体表达形式，在向量观点下，两种方法是统一的。 当涉及对象只限于向量的加减或旋转、伸缩时，不妨利用复数来试试问题的求 解。 例2设复数2满足}的一个辐角的纶对值为石。试求复数z所对 z+2 应的点Z的轨迹以及复数z的辐角主值的取值范围。 解设-2、-1对应的点分别是A、B。依题意设∠AZB=乃，如图所 示，点Z的轨迹为两段弓形弧（除去端点），它们的圆心分别是O1、O2,其对应 的复数为 3+51、-33, 22 22 例2图 圆的半径长均为1。 3 ，且B=arcsin- 3 如图所示，tana= 3,a=. 6 3 所以，所求复数z的辐角主值的取值范围为 5π V +arcsin- 3 -arcsin 6 3,uπ，6 3/ 例3设正△ABC的A点固定，B点在定直线1上。求第三顶点C 的轨迹。 C(c) A m B(b) 例3图 解如图所示，置A于原点，且使直线1与实轴垂直，交实轴于 mm>0。设B、C两点对应的复数为b、c。 先考虑△ABC为正向绕行的情况，令a四c=0,则amgb=0-号。因B 在直线1上，故Reb=m, b=- m s0-哥 c=lbe°= m 广eB 从而C点可表示为 os0- 它是过两点2m和m号的直线方程。为证实这一点，只需验证 me c-2m me号-2m 是实数即可。事实上， meio -2m cos0、π cos0-2cos 0- 3 +isin0 c-2m 03 me号-2m me-2m o56-3∥ sin0(-3+i 2sin0 要m9--3o0-号 为实数。 若△ABC是负向绕行的情况，可得另一与上述直线关于实轴对称的直 线。 2.运用几何方法解复数问题 前面举例介绍了用复数方法求轨迹的技巧。反过来，对任意给定的一个复数 的方程（或等式），它对应到复平面上是某条曲线（或直线），因而可以用几何方 法来处理复数问题。 例4（①）设z为复数。若乙-？为实数(1为虚数单位)，求2+3的最小 2-i 值； (2)若复数z满足2-3+2+3=4，求z+i的最大值。 解(1)方法一：设z=a+bia,b∈R),由条件知 1m引-3a2t-a-2b-4b a+b-1i a2+b-12 =a+2b-2=0, a2+b-12 故a+2b=2。从而52+3=1+2a+3P+6≥a+31+2b=5,即 2+3≥5。当a=-2,b=2时，等号成立。 故z+3)的最小值为5。 方法二：由？-？∈R及复数除法的几何意义，可知复平面中2所对应的点 a-i 在2与ⅰ所对应的点的连线上(i所对应的点除外)，故z+3)的最小值即为 平面直角坐标系Oy中的点-3,0到直线x+2y-2=0的距离，即 -3-2=5。 712+22 (3)由复数的几何意义知，Z在复平面上对应的曲线是椭圆： X+y=1。 4 设z=2cos0+isin8,0≤0<2π，则 +ip-4co50+sin0+1P--3sim0-1616 3+3≤3， 所以2+≤4，当s如0-月即2-4时等号成立。 3 33 故最大值为43 3° 例5设A、B、C分别是复数2，=ai,2=号+bi,=1+cila,b,c∈R对 应的不共线的三点。证明：曲线z=Zocos4t+2z1cos2 tsint+z2sin4tt∈R与 △ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求此点。 解设z=x+yix,y∈R),则 x+yi-acos4-i+2}+bicowst-sin+1+cisint. 由复数相等的充要条件可得x=cos2 tsin't+sin4t=sint, 即 y=a1-x2+2b1-xx+cx20≤x≤1， y=a+c-2bx2+2b-ax+a。 ① 又因为A、B、C三点不共线，故a+c≠2b,可见所给曲线是抛物线的一 部分。如图所示，其中AB、BC中点分别是D 1a+b 3 b+c 、 E ,所以直 4’2 4’2 线DE的方程为 y=lc-ax*+号3a*2b-c: ② B D 例5图 由①、②式联立得 flate-2b)x-= =0，由于a+c-2b≠0，故 x0,十是x号注意到子所以0物线与Ac中平行于 424 AC的中位线DE有且仅有一个公共点，此点坐标为 1a+c+2b,其对应的 2’4 复数为 1+a+c+2bi. Z= 24 例6设n≥3个复数Z1,Z2,…,Zn满足： (0)Z1+z2+…+zn=0 (2）z,<1,i=1,2,",n 证明：存在i、j,使得1≤i<j≤n,且z;+z1。 证明两个复向量（以原点为起点的复向量）所成的角为它们之间所夹的不 超过180°的部分所构成的几何图形。只需证明：复数z,1≤i≤n中，必有两个 复数k和zk1,它们之间的夹角不小于120°。 对此用反证法予以证明，若不存在满足条件的Zk和Z,。经过对复平面作 适当的旋转，不妨设Z1对应的向量O乙，落在实轴的正半轴上，作射线 OA、OB,使得 ∠xOA=120°，∠AOB=120°， Z 例6图1 则z2,z3,…,2n对应的向量0乙2，O7,…,0乙n都落在∠xOA与∠x0B 内，如图1。 由条件(1)，乙+22+…+2n=0,可知22,23，“，2n中必有一个复数的实部小于 0。从而O乙2，O7,…,O艺n中必有一个向量落在∠y0A或∠yOB内，不妨 设072的落在∠y0A内。作射线0C,使得∠Z20C=120°，则z3,,Zn对 应向量不能落在∠BOC内。 综上所述，可知0乙1,0乙2，“，0乙n都落在∠Z,0C内，于是，将该复平面适 当旋转后，可使向量O乙1,0乙2，“，0乙n都落在y轴的右方，它们的实部都不 小于零，这与()矛盾。 所以，在z1,z2,…,zn中，存在i、j,1≤i<j≤n,使得z;+z<1。 说明证明中没有考虑存在某个Z:=0的情形，因为此时结论是平凡的。另 外，当证完存在向量0之、0立，所成的角不小于120°后，只需利用图2，令 z=2+2,,则可知∠Z,02和∠Z0Z中必有一个≥60。而 Z2=0立、Z之，=0Z,及∠0z,Z=∠0Z,Z=180-∠Z,02,≤60，就可知 z≤maxz,zl<1。 例6图2 例7设n是正整数，aj=1,2,…,n为复数，且对集合{1,2，“，n}的任一 非空子集【，均有 1+a1证明2as3 证明设1+a,=r,e,8,sπ，j=1,2,,n则题设条件变为 ① 先证如下引理：设、0为实数r>0,≤m,re”-1s号则}≤r≤号， g≤g,re-1sr-1+8l. 例7图 引理的证明：如图，由复数的几何意义，有 是rss 6 又由 rei-1=r(cos0+isin0)-1) =r-1)cos0+isin+[cos0-1+isin]) ≤r-1+Vcos8-12+sin20 =r-1+V21-cos0 -1+2m引 ≤r-1+0, 得引理的另一部分。 由①及引理，对用数学归纳法知 2区小岩 ② 由①及引理知 a,=r,e0-1sr,-1+0,b 因t三oe2r,1山+2D 2云-+会三 由②知 22,1i1*小12-1 ,-1-r小s-1-r-1s2-1=1, 云立-三后号 综上，有