第 6 讲 复数形式结合几何解题讲义-2026年高中数学竞赛

第 6 讲 复数形式结合几何解题 1. 复数的三种形式 (1) 代数形式: . (2) 三角形式及几何意义: ，其中 为复数 的模， 为复数 的辐角，它表示以原点为顶点，以实轴为始边，以向量 所在的射线为终边的角，而满足 的辐角 叫作复数 的辐角主值，记作 “ ”， 在复平面内对应点 ( ). (3) 指数形式 ( )，其中代数形式为高考考点，三角形式是高校自招高频考点，两种形式可以相互转化: ， ， ， . 2. 复数几何形式的乘法与除法公式 乘法: ; 除法: ; 乘方: ; 开方: 若 ,则 ,其中 -1 , 其几何意义是复数 在复平面上均匀地分布在圆 上. 3. 单位根 方程 的 个根 在复平面内对应的点均匀地分布在单位圆 上,这 个点构成一个正 边形的 个顶点,通常记 . 4. 代数基本定理 次方程 有 个根 (重根按重数计算),实系数高次方程的虚根按共轭成对出现. 热点课堂 【例 1】已知复数 ,满足 , 2),求 . 【分析】考虑两个复数的模长为 1 , 借助三角恒等变换可以简便计算. 【解答】设 , 则 , 整理可得 ,解得 . 同理可得 ，所以 . 所以 . 【例 2】已知 ,求 的值. 【分析】实质上考查的就是指数形式 转为三角形式. 【解答】 又因为 , 所以 ,即原式 . 【例 3】已知复数 满足 是实数，则 的最小值为( ) A.3 A. B. C. 1 D. 前三个答案都不对 【分析】由 联想到其几何意义是复平面上 表示的点与一个定点的距离,还需知道 要满足的条件. 若从条件 “ 是实数”联想到 “ 的虚部为零”,则需选用一种形式把它表示出来,于是产生解法一与解法二,若想到的是 “ ”,则产生解法三. 解法一: 设 , 则 . 因为 ,所以 ,即 , 所以 或 ,因此, 所表示的点在 轴上或在圆 上运动. 又因为 的几何意义是 表示的点 与点 的距离,所以 . 解法二: 设 , 则 , 得到 或 ，以下同解法一. 解法三: , 整理得 , 即 ,所以 或 ,以下同解法一. 【解答】D 【例 4】设 ,则 ( ) A.4 B. 10 C. 11 D. 12 【分析】一方面,看到 “ 型” 联想到 的单位根,可构造方程; 另一方面,由于方程 有两个共轭虚根,可把 用两个根式表示. 由题意知, 是方程 的单位根,所以 . 又因为 ,所以 , 另一方面,设 与 为 的两个零点, 则 ,其中 , 所以 【解答】C 【例 5】已知复数 满足 与 有相同的模且 ，其中 为非零实数,求 的值. 【分析】条件中出现了模与共轭,关键是 “ ” 的转化,如果直接用复数的两种形式进行求解,计算量较大,而利用公式 ,可使计算量大大减少. 【解答】由题意知 , 整理得 . 因为 ,所以 ,代入 式得到 , 所以 . 【例 6】设复数 满足 ,且 (其中 表示复数 的实部). (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值. 【分析】条件中出现了复数的实部形式, 所以要把复数表示成代数形式, 然后根据不等式进行放缩；第(2)小题中出现了复数的模，可以考虑复数的几何意义，转化成线段的长度问题. 【解答】(1) 对 ,设 , 由条件知, , 因此, 又当 时， ，这表明 的最小值为 2 . (3) 对于 ，设 ， 将 对应到平面直角坐标系 中的点 ,记 是点 关于 轴的对称点, 则点 均位于双曲线 的右支上. 设点 分别是双曲线的左右焦点,易知 . 根据双曲线的定义，有 , 进而得到 等号成立当且仅当点 位于线段 上 (例如,当 时, 恰是 的中点). 综上可知, 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $