第一讲 集合的概念与运算讲义-2026年高中数学竞赛

第一讲 集合的概念与运算

1. 元素与集合的关系

用描述法表示一个集合，基于下面的:

概括原则:对任意给的一个性质 ，存在一个集合 ，它的元素恰好是具有性质 的一些对象,即 ,其中 表示 “ 具有性质 ”。

由这种描述,我们知道,判断一个对象 是否为集合 的元素,等价于判断 是否具有性质 。

例 1 设集合 中的最大元素与最小元素分别为 、 ,求 的值。

解 由 知, ,当 时,得最大元素 。又 ,当 时,得最小元素 。

因此, 。

例 2 设 是两个整数平方和的集合,即

(1)  证明:若 ，则 ；

(2)  证明:若 ，则 ，其中 、 是有理数。

分析 欲证 ,只需说明 是两个整数的平方和即可。

证明 (1) 由 ,可设 ,其中 均为整数。于是

即 st 是两个整数的平方和。故 。

(3)  由于 ，由(1)可知， 。于是可令 、 是整数。 又 ,因此 。

而 均为有理数,故命题得证。

例 3 设 是 4 个有理数,使得

求 的值。

解 由条件可知, 是 6 个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知, 的绝对值互不相等,不妨设 ,则 中最小的与次小的两个数分别是 及 ，最大与次大的两个数分别是 及 ，从而必须有

于是 。故

结合 ,只可能 。

由此易知 或者 , 。经检验知这两组解均满足问题的条件。故 。

例 4 设 为满足下列条件的有理数集合:

(1)  若 ， ，则 ， ；

(2)  对任意一个有理数 ，三个关系 ， ， 有且仅有一个成立。

证明: 是由全体正有理数组成的集合。

证明 对任意的 ,由 (2) 知, 或 之一成立。再由 (1), 若 ,则 ; 若 ,则 。总之对任意的非零 ,均有 。

取 ,则 。由 ,可知全体正整数都属于 。

设 ,由 (1) 知 。又由前面证明知 ,所以 。 因此, 含有全体正有理数。

再由 (2) 知，0 及全体负有理数不属于 。故 是全体正有理数组成的集合。

2. 两个集合之间的关系

在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是 “子集”“真子集” “相等” 这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。

例 5 设函数 ,集合

(1)  证明: ;

(2)  当 时，求集合 。