第一讲 集合的概念与运算讲义-2026年高中数学竞赛

第一讲 集合的概念与运算 1. 元素与集合的关系 用描述法表示一个集合，基于下面的: 概括原则:对任意给的一个性质 ，存在一个集合 ，它的元素恰好是具有性质 的一些对象,即 ,其中 表示 “ 具有性质 ”。 由这种描述,我们知道,判断一个对象 是否为集合 的元素,等价于判断 是否具有性质 。 例 1 设集合 中的最大元素与最小元素分别为 、 ,求 的值。 解 由 知, ,当 时,得最大元素 。又 ,当 时,得最小元素 。 因此, 。 例 2 设 是两个整数平方和的集合,即 (1) 证明:若 ，则 ； (2) 证明:若 ，则 ，其中 、 是有理数。 分析 欲证 ,只需说明 是两个整数的平方和即可。 证明 (1) 由 ,可设 ,其中 均为整数。于是 即 st 是两个整数的平方和。故 。 (3) 由于 ，由(1)可知， 。于是可令 、 是整数。 又 ,因此 。 而 均为有理数,故命题得证。 例 3 设 是 4 个有理数,使得 求 的值。 解 由条件可知, 是 6 个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知, 的绝对值互不相等,不妨设 ,则 中最小的与次小的两个数分别是 及 ，最大与次大的两个数分别是 及 ，从而必须有 于是 。故 结合 ,只可能 。 由此易知 或者 , 。经检验知这两组解均满足问题的条件。故 。 例 4 设 为满足下列条件的有理数集合: (1) 若 ， ，则 ， ； (2) 对任意一个有理数 ，三个关系 ， ， 有且仅有一个成立。 证明: 是由全体正有理数组成的集合。 证明 对任意的 ,由 (2) 知, 或 之一成立。再由 (1), 若 ,则 ; 若 ,则 。总之对任意的非零 ,均有 。 取 ,则 。由 ,可知全体正整数都属于 。 设 ,由 (1) 知 。又由前面证明知 ,所以 。 因此, 含有全体正有理数。 再由 (2) 知，0 及全体负有理数不属于 。故 是全体正有理数组成的集合。 2. 两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是 “子集”“真子集” “相等” 这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 例 5 设函数 ,集合 (1) 证明: ; (2) 当 时，求集合 。 证明 (1) 对任意的 ,知 。于是 故 。所以 。 (3) 因 ，所以 解之得 -3 。 故 。由 得 因为 ,故 -1、3 是上面方程的两个根,因此方程左端含有因式 3),即 。从而因式分解可得 ,解得 , 。所以, 。 例 6 已知 为非空整数集合,且对于 的任意一个排列 、 ,若 ,则 。 (1) 证明: 、 、 三个集合中至少有两个相等； (2) 这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素? 证明 (1) 由已知,若 ,则 所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。 否则,设 中的最小正元素为 ,不妨设 。设 为 中的最小的非负元素,不妨设 。则 。 若 ,则 ,与 的取法矛盾。所以 。 任取 ,因 ,故 。所以 。同理 。所以 。 (3) 可能。例如 奇数 (偶数)显然满足条件，但 和 与 都无公共元素。 3. 交集、并集、补集和差集 由交集和并集的定义, 不难证明这两种集合运算的交换律和结合律。利用韦恩图, 还可以验证下面的两个结论: 分配律: , 摩尔根法则: 。 例 7 已知集合 。 问: (1) 当 取何值时， 为含有两个元素的集合？ (2) 当 取何值时， 为含有三个元素的集合？ 解 因为 与 分别为方程组 (i) (ii) 的解集。 由 (i) 解得 ; 由 (ii) 解得 。 (1) 使( 恰有两个元素的情况只有两种可能: ① ② 由①得 ；由②得 。故当 或 1 时， 恰有两个元素。 (2) 使 恰有三个元素的情况是 解得 。故当 时， 恰有三个元素。 例 8 已知三个有限集合 满足 。 (1) 求证: ； (2) 举例说明(1)中的等号可能成立。 这里, 表示有限集合 的元素个数。 解(1)由容斥原理及 ,得 。① 因为 ,以及 , 所以 ② 同理可得 ③ ④ 由②、③、④可得 ⑤ 于是,由①、⑤可得 。 (3) 等号成立的条件是②、③、④中的等号同时成立。 例如: 。 例 9 设 是由有限个正整数构成的集合,且 这里 ,并对任意的 ,都有 。 已知对任意的 ，若 ，则 ，求集合 的元素个数的最小值。(这里, 表示集合 的元素个数) 解 记 。 不妨设 。 设 。因为对任意的 ,都有 ,所以 互不相同, ,即 。 因为对任意的 ,若 ,则 ,所以当 时, 。 于是当 时, 。所以 若 ,则 。 若 ,则 。 故总有 。 另一方面，取 则 符合要求。 此时, 。 综上所述，集合 的元素个数的最小值 180。 为解决某些集合和组合问题的需要,我们引进下面的定义: 定义 由属于集合 但不属于集合 的全体元素组成的集合叫做集合 对 的差集,记作 ,即 例 10 设 ,对于 的任一 9 元子集 ,函数 取 之间的整数值。求证:不论 是怎样的一个函数，总存在 的一个 10 元子集 ，使得对所有的 都有 证明 如果一个 10 元子集 具有性质:对任何 ,均有 ,我们就称 为“好集”。不是“好集”的 10 元子集称为“坏集”，也就是说，如果 为“坏集”,则在 中必有一 ,使 。若令 ,这是一个 9 元子集,则对 “坏集”一方面 ,另一方面 ,即 。 上式表示了“坏集”的结构，它可由某一个 9 元子集 生成，即 与 的并集构成了“坏集”。 如果 ,那么 是一个 9 元子集,而不是 10 元子集,即构不成 “坏集”。因此任一 9 元子集按上式至多能生成一个“坏集”(由函数的定义，对于给定的 是唯一的)。于是, “坏集” 的个数 元子集的个数 元子集的个数。 最后一个不等式成立是因为,9 元子集的个数是 ,而 10 元子集的个数是 由此可知, “好集”是存在的。 学科网（北京）股份有限公司 $