第三十七讲 复数的概念与运算 讲义-2026年高中数学竞赛

第三十七讲 复数的概念与运算

1. 复数的概念

一个复数 可以写成几种不同的形式:

代数形式: ;

三角形式: ;

指数形式: .

上面, ,角 为复数 的辐角,除相差 的一个整数倍外, 是确定的。

我们称 的满足 的辐角 为 的主辐角,记为 。指数形式中, 是 的模长,记为 。代数形式中,实数 分别称为 的实部和虚部,记为 和 。而 是虚数单位,满足 。

两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等, 或者它们的模与辐角主值对应相等。

如果 ,那么 。

在几何上对应于以 和 为邻边的平行四边形的一条对角线。

如果 ,那么 。注意到 ,以及 等于 或者与 相差 的整数倍, 因此在相乘时，模相乘，辐角相加。

例 1 设 ，其中 、 、 是实数，且均不大于 2025。 若 ,求 的值。

解 因为 ,所以 。于是

所以

所以 。由于 均不大于 2025,所以 ,进而 。

故 。

例 2 设复数 满足 。证明: 都是 1 的立方根。

证法一 运用代数形式,设 ,则由

有

①

再由 ,根据复数相等的条件得

②

将上述①、②中 4 式联立，解得 。

所以 。可见 。

证法二 运用三角形式。由 ,可设

再由 ,有

由此求得 ,从而 。

                      

例 2 图

所以 。

证法三 考虑几何意义。由 及 ,可设 ,如图。根据复数加法的几何意义,可知四边形 是平行四边形，且各边相等，从而 ， 。

因此 。

证法四 运用共轭复数的运算技巧,由 ,知 ,即 。

展开上式,并利用 进行化简,得

将 代入上式并化简,得 。

将上式两边同乘以 ，得 。所以 。同理 。

上述例子中采用的 4 种证明方法是处理复数问题的基本方法和技巧。

2. 复数的运算

这里暂只涉及复数的四则运算及开(乘)方运算。