第三十六讲 含参数的不等式问题讲义-2026年高中数学竞赛

第三十六讲含参数的不等式问题 所谓含参数不等式恒成立问题，就是对不等式中的参数进行讨论，确定不 等式恒成立时参数应满足的必要条件、充要条件、取值范围等。这类问题由于 题目本身没有提供答案，而是要我们自己去寻找、探索、论证，因而难度较 大，解法灵活，无统一的方法。下面通过一些例题来介绍一下这类问题的解 法。 例1求最大的常数C,使得对任意满足x+y=1的正实数x、y,均有 x+y≥CXy 解令x=y= 代入不式得c2-2· 2 Xy 下面证明：当C=时，不等式 x6+y≥Cxy ① 对任意满足x2+y=1的正实数x、y都成立。 ①式等价于 x+ylx-xy+ylzjw -Xy*y号w tyi-axyz9 6x2y2+xy-2≤0。 令a=wfa-6+u-2,于0ews2兰3所以，0eus号 因为u在0，引上是递增的，且fo=-2<0,f0放在0，号上 fus0。从而6x2y2+xy-2<0· 综上所述，C的最大值为方· 注欲求的含在不等式中参数的最大值和最小值，可先估计参数的上界或者 下界，然后再证明不等式对于这个界是恒成立的。 当然，这个题我们也可以这样来考虑：求出+少 的最小值，此最小值即为 y C的最大值。 x+-Xy+y-1-3y=1-3y. 抄 抄 XyXy 出于0ws生兰号所以之23y号，是 22 -3≥2-3-。 Xy 229 2 当x=y=2 时，不等式等号成立。因此的最小佰为专，从面C y 的最大值为号· 例2求最大的常数M,使得不等式a2+b2+c2+3abc≥Mab+bc+ca对 所有满足a+b+c=4的非负实数a、b、c都成立。 解令a=0,b=C=2,得M≤2。下面证明不等式 a2+b2+c2+3abcz2 ab+bc+cal ① 对所有满足a+b+c=4的非负实数a、b、c都成立。 3,于是 不妨设a≤b≤c,令x=a+b,y=ab,则c≥a+h+c=4 x=a+b≤3' 8 所以 a2+b2+c2+3abcz2 ab+bc+cal =x2-2y+4-x2+3y4-x≥2y+x4-x 4x-2+y8-3x≥0， 从而①式得证。所以，M的最大值为2。 例3求最大的常数k,使得对于0,1中的一切实数a、b、c、d,都有 a2b+b2c+c2d+da+4≥ka2+b2+c2+d。 解先估计k的上界。当a=b=c=d=1时，有4+4≥4k,所以k≤2。 下面证明：对于0,1中的一切实数a、b、c、d,都有 a2b+b2c+c2d+da+4≥2a2+b2+c2+d。 先证明一个引理：若x,y∈0,1，则有 x2y+1≥x2+y2。 ① 上述不等式等价于 y-1x-y-120。 而这是显然成立的。于是引理得证。 分别用a、b;b、c;c、d;d、a代入①式中的x、y,可得 a2b+1≥a2+b2,b2c+1≥b2+c2, c2d+1≥c2+d,da+1≥d2+a2, 把上面4个不等式相加，便得a2b+bc+c2d+da+4≥2a2+b2+c2+d) 以，k的最大值为2。 例4设入是正实数，求最大的常数C=C，使得对所有的非负实数x 、y,均有x2+y2+xy≥Cx+y2。 解对入分两种情况： (1)当≥2时，x2+y2+y≥x2+y2+2xy=x+y,当y=0时，上述不等 式等号成立。 (2)当0<1<2时， x2+y2+Axy=x+y2-(2-axy 2x*y-2-刘2 22x*y呢 当x=y时，上述不等式等号成立。 1， 所以，最大的常数C=2+入 1≥2， 4 0<λ<2。 例5求最大的常数k,使得对任意整数x、y,均有 4x2+y2+1≥kxy+1。 解当x=y=1时，有k≤4X+y+1-3· x y+1 下面证明：不等式4x2+y2+1≥3xy+1① 对任意整数x、y均成立。 对于=次函致f1x子-3x+1,易知当x≤0，或者x≥2时，f20。 所以当x≤0，或x22时，有子+123x。 又因为是x+y23g23y所以42+y+1≥3xy+1。 当x=1时，①式为y-3y+2≥0，对任意整数y,上述不等式是成立 的。 综上所述，k的最大值为3。 例6设Q≤b<c是直角三角形的三边长。求最大的常数k,使得不等式 a2 b+c+b2c+a+c2a+bzkabc 对所有直角三角形都成立。 2 解当a=b=之c时，有 ksab+c)+blc+aj+ea+b) abc =2a2a+92a+2a-2a=2+32。 V2a 下面证明不等式a2b+c+b2c+a+c2{a+b≥2+32abc对所有直角三角 形的三边长a≤b<c都成立。 由齐次性，不妨设c=1,边。所对的角为0，则日∈0， 。令 t=sin0cos0,则 t=sin0cos0s sin'0+cos20 1 2 2。 于是 a b+c+b2c+a+ca+b] -sin20cos0+1+cos201+sin0)+sin0+cos0 =1+sin0+cos 0)sin 0cos0+1) ≥1+2tt+1 21+22tt+1(因为≤2，所喝2t≤0 -2ar,922+1盟 221+224+2盟： =2+32t=2+32sin 0cos0 =2+3V2abc, 当日=乃时，上述不等式等号成立。 故欲求的k的最大值为2+3V2。 注本题先取特殊值，猜测k的最大值，进而证明不等式，这种利用特殊 值“先猜后证”的方法是解决这类问题的常用方法。下面给出本题的另一种解 法。 a b+c+bc+a+ca+b -co*+a6bl后or号a6abl z2ab+V2abc+Y2abc+SV2ab-2Vab =2+3V2abc。 例7求最大的实数k,使得对任意正实数a、b,均有 a+bl川ab+1b+1≥kab2。 解法-当a=1,b=2时，有27≥4k,故k≤22 4 下面让明不等式a+hab+1b+1上子ab对在意正实数a、b都成立。 由平均不等式 (a+bllab+1lb+1=a+5+5ab+ab+ b+b+1 222222 3和号313号1 V22 2 ab2。 4 综上可知k的最大值为子· 解法二因为k≤a+bb+1b+1对任意正实数a、b均成立，所以 ab (a+bab+1b+1 k≤ ab min 下面求a+bab+1b+1的最小值。 ab2 因为la+b1lab+1b+1_b+6+1+ba+ ab2 b2 a ≥6162+1+b-2=b+1 b2 b2 =b+3++3 b b2 1 +…十 +1+3 2b b2 ≥15611 7 8 266京+3= 4 等号当a=1,b=2时成立，故最小值为 27 4 因此k的最大值为 27 4 例8设n是正整数，n≥2，求最大的实常数入，使得不等式 a2λa1+a2+…+an+2an ① 对所有正整数a1<a2<…<an成立。 解当a,=i,i1,2,“,n时，由①可得1≤2n-4。下面只须证明 n-1 a72n-4 n-1 +…+an-i+2an ② 对所有满足a1<a2<…<an的正整数a1,Q2,…,an成立。 因为ak≤an-n-k(因为an-1≤an-1,an-2≤an-1-1≤an-2,…),所 以 ≤2n-4am-2 n 2n-4 a,-n n-2 ≤n-22an-an(由an≥n) =(n-2)an, 这就是②。 例9求最大的常数C,使得对任意正整数n,如果a,b,1≤i≤n是n 个互不相同的二元正整数集，则 maxa.,b上Cnn。这里max{x,y表示 i=1 x、y中的较大者。 解将所有二元正整数集{a,b}a<b)中的b值从小到大排列，依次为 2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,…, 其中使b=k的集合的个数为k-1。 因此将n表示为n=1+2+…+k+Lkk1+tk≥1,0≤1≤K,则 2 maxa,b;=1·2+2·3+…+kk+1+tk+2 min _kk+1k+2+tk+2。 3 于是相当于求最大常数C,使得对任意正整数k与非负整数t≤k,有 2++2c 12 3 ① 对于t=0的特殊情况，比较①两端k项（最高次项）系数知， 1、C2 928 ，故Cs22 2 3 。下证C=Co=3 确实使①恒成立，相当于对正整数k与 非负整数t≤k,证明 M=9 kk+1k+2+18kk+1k+2tk+2+91Ek+2 3 3 易知kk+1k+2>kk+1P,9tk+2P≥9t≥8故仅需再验证 +2k224+24, 上式两边约去6kk+1t,仅需证明{k+2≥kk+1+2t,即2t≤3k+4,显 然成立。 由此可知M≥N。从而所求最大常数为C= 2V2 3