第三十六讲 含参数的不等式问题讲义-2026年高中数学竞赛

第三十六讲 含参数的不等式问题

所谓含参数不等式恒成立问题，就是对不等式中的参数进行讨论，确定不等式恒成立时参数应满足的必要条件、充要条件、取值范围等。这类问题由于题目本身没有提供答案，而是要我们自己去寻找、探索、论证，因而难度较大，解法灵活，无统一的方法。下面通过一些例题来介绍一下这类问题的解法。

例 1 求最大的常数 ,使得对任意满足 的正实数 ,均有 。

解 令 ,代入不等式得 。

下面证明: 当 时,不等式

①

对任意满足 的正实数 都成立。

①式等价于

令 。由于 ,所以, 。

因为 在 上是递增的,且 ,故在 上, 。从而 。

综上所述， 的最大值为 。

注 欲求的含在不等式中参数的最大值和最小值, 可先估计参数的上界或者下界, 然后再证明不等式对于这个界是恒成立的。

当然,这个题我们也可以这样来考虑: 求出 的最小值,此最小值即为 的最大值。

由于 ,所以 ,于是

当 时,不等式等号成立。因此 的最小值为 ,从而 的最大值为 。

例 2 求最大的常数 ,使得不等式 对所有满足 的非负实数 都成立。

解 令 ,得 。下面证明不等式

①

对所有满足 的非负实数 都成立。

不妨设 ,令 ,则 ,于是

所以

从而①式得证。所以， 的最大值为 2 。

例 3 求最大的常数 ,使得对于 中的一切实数 ,都有

解 先估计 的上界。当 时,有 ,所以 。

下面证明: 对于 中的一切实数 ,都有

先证明一个引理: 若 ,则有

①

上述不等式等价于

而这是显然成立的。于是引理得证。

分别用 代入①式中的 ,可得

把上面 4 个不等式相加，便得 。

所以， 的最大值为 2 。

例 4 设 是正实数，求最大的常数 ，使得对所有的非负实数 、 ，均有 。

解 对 分两种情况:

(1)  当 时, ,当 时,上述不等式等号成立。

(2)  当 时，