第三十五讲 凸函数与琴生不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十五讲  凸函数与琴生不等式

凸函数是数学中的一个很重要的内容, 本节将介绍凸函数的一些基本概念以及与此相关的琴生不等式。

我们先给出如下凸函数的定义。

设 是定义在区间 上的连续函数,若对于任意的 ,都

有

①

则称 是 上的凸函数。

若把①式的不等号反向，则称这样的 是 上的凹函数。

凸函数的几何意义是: 过 的曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

例 1 证明:

(1)  在 上是凹函数；

(2)  在 上是凹函数；

(3)  在 上是凸函数；

(4)  在 上是凹函数。

证明 (1) 对任意 ,因为

所以, 在 上是凹函数。

(5)  对任意 ，因为

所以

故 在 上是凹函数。

(6)  设 ，则

即 ,所以, 在 上是凸函数。

(7)  设 ，因为 ，所以

即 ,故 在 上是凹函数。

注 我们可以证明: 在 上为凹函数。

例 2 (1)试判断 是否为 上的凸函数？

(8)  若函数 是 上的凸函数，求实数 的取值范围。

解 (1) 设 ,则 ,

所以

即 ,所以 是 上的凸函数。

(9)  因函数 是 上的凸函数，所以

即 恒成立,所以

恒成立，故 。

注 是凸函数; 是凸函数。

对于凸函数，有如下的琴生不等式。

琴生不等式 设 是 上的凸函数 (或者是凹函数)，则对任意 ， ,不等式

成立,其中等号成立的条件是 。

证明 对 用数学归纳法。

当 时,由定义知命题成立。

假设 ( 是正整数) 时命题成立,则对于 时,由凸函数的定义及归纳假设,得