第三十五讲 凸函数与琴生不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十五讲凸函数与琴生不等式 凸函数是数学中的一个很重要的内容，本节将介绍凸函数的一些基本概念 以及与此相关的琴生不等式。 我们先给出如下凸函数的定义。 设fx是定义在区间a,b)上的连续函数，若对于任意的，x,∈a,b), 都 有 x++f(x2 2 ① 则称fx是la,b)上的凸函数。 若把①式的不等号反向，则称这样的fx是a,b上的凹函数。 凸函数的几何意义是：过y=x的曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在 该曲线的上方或在曲线上。 例1证明： (四)fx=sinx在l0,π上是凹函数： (2)gx=lgx在10，+∞上是凹函数： (h(x)=tanx 0 上是凸函数： (④ux=Vx在[0，+∞)上是凹函数。 证明(1)对任意x1,x2∈0，π，因为 ff-nx+sisin空os2 2 2 2 ≤sin=f X1+X2 2 2 所以，fx=sinx在0，π上是凹函数。 (⑤)对任意，X2∈0，+0，因为 lgx+lgx=1 gVX:x2≤lg2 X1+X2 2 所以 g xi +g x2x1+x2 ≤g2 故gx=lgx在0，+o∞上是凹函数。 0设0，引，则 sin +X2 tan x +tan x2=- inx1+sinx2= COSX1 COS X2 COS X]COSX> 2sin+x2 CoS+x2+Cos -X2 e2+2am》 C0sx1+X2+1 即：h 2 ,所以Ax=ax在0，受上是凸函数。 (⑦设x,X∈[0，+∞，因为2X+x,小≥x+x，所以 x+ x1+X2 即uX+u≤山，故ux=收在[0，+o)上是凹函数。 2 2 注我们可以证明： y=cosx 在 上为凹函数。 例2(1)试判断fx=3x+x是否为R上的凸函数？ (⑧)若函数fx=mx+x是R上的凸函数，求实数m的取值范围。 解（①）设，x2∈R,则f1x=3x+,f2x=3x+x2, 所以 即f空fx+f所以fw=3x+x是R上的凸函数. (9)因函数fx=mx+x是R上的凸函数，所以 X1+X2 即X1,x2∈R,m 恒成立，所以 22 X1+X2 2 m 2 ≥0， 恒成立，故m≥0。 注y=ax+bx+ca>0)是凸函数，y=ax+bx+ca<0是凸函数。 对于凸函数，有如下的琴生不等式。 琴生不等式设fx)是a,b)上的凸函数（或者是凹函数），则对任意x1 ,x2,…,xn∈a,b),不等式 X1+X2+…+X s(或尧)fx+f++fx 成立，其中等号成立的条件是X1=X2==Xn。 证明对n用数学归纳法。 当n=2时，由定义知命题成立。 假设n=2“(k是正整数)时命题成立，则对于m=2n=2k+1时，由凸函数的 定义及归纳假设，得 X1+x2+…+xm X+X++X+x1+x2+…+xn =f n n 2 2 fx++fx,l+片fxi++fxal 2 _fx+fx+…+fxml m 于是命题对于正整数n=2(k是正整数)成立。 下面证明如果命题对于某个整数n>2成立，则它对于n-1也成立。 设X,X,,X∈a,b,令X=++三，则有假设命题对于n成 n-1 立，知 fx+fx+f-+r+, n-1 n 由此可得 X1+X2+…+Xn-1 fx+fx2+…+fxa-。 n-1 n-1 所以命题对所有正整数n都成立n=1时，命题是显然的)。 完全类似地可以证明，若fx是凹函数，则 x+x,++fx+fx2+…+fxal 琴生不等式中等号当且仅当1=X2=…=x,时成立。 例3在△ABC中，求证sA+csB+sC≤号 证明不纺设A≤B三C质0A≤R号·因为T-cx在0号到 上 是凸函数，所以cosA+cosB≤2cosA+B-2sin号，故只需证 2sin号+ascs号 即引2s血写s0从而命题符证。 注因为fx=cosx在0，π上不是凸函数，所以，不能直接用 CosA+cos B+cos Cs3cos A+B+C 3 例4设n是正整数，求证：Vn+n+1+Vn+2+/n+4<V/16n+24。 证明令fx=x,由例1知，fx是凹函数，于是由琴生不等式可得 }n+*+n*2+n*3 =f(n)+fin+1+fin+2+f(n+3) <fn+n+1+n+2+n+3 =fa* 所以 Vn+Vn+1+Vn+2+Vn+4<V16n+24。 例5设m是大于2的实数，在△ABC中，求证： amA+amR+an号23uam30 m m 证明设fx=tanX,x∈0，n,则对于x1,x2∈0，π，有 m X2 sin fx)+f(x)=tan +tan m m m m m 2sin七+x X1+X2 2sin m m 1+X2+c0s一 X1-X2 COS- X1+X2+1 COS- m m m =2m义4=2f2之 X1+X2 2m 故fx是凸函数，于是由琴生不等式得 tanA+tan马 m an B +tanC=fAl+fB)+fc)23f3 A+B+C m m A+BC =3tan mmm 心 =3tan 3m 例6设半径为1的半圆周上依次有n+1n≥2个点A1,A2,“,An+1,线 段AA,份长院分别是。=12n求证宫心产豆o0Q2n+: 其中an+1=a1,an+2=a2。 282 20 20. 例6图 证明如图，设半圆的圆心为0，∠A,0A+1=20,i=1,2,,n。由正弦定理 知：a;=2sin6:,于是欲证的不等式转化为 sinsin 0,sin sin i=1 i=1 2 其中01+1=01,0+2=02。 令fx=sinx,x 0,号 ,则fx 是递增的凹函数，于是由琴生不等式及sinx<x可得 sin≤nsn i=1 ≤nsin<n- n 2n 2n2 又因为0<01+82<，i=1,2,n,所以 0<sin0+1<cos6+2,sin0+1+sin0+2<1, 于是 sm0+2gn0,snsn9: i- -sm9+立2sn6sh0din4 i-1 s店sn0+2sn0,+sn85h6 2sn0+sn0小+2sn0.tsn0小sn0 =n+n 2’ 从而命题得证。 利用导数，我们也可以来判别凸函数。 若f(x存在，且fx≥0（或≤0），x∈a,b,则fx是a,b)上的凸函 数（或凹函数） 例7在△ABC中，求证：1+1。+1≥23。 sinA sinB sinC 证明设fx=L，则fx=-osx,fx=sinx+2cosx≥0，故 sinx sinx sin'x fx是凹函数，于是由琴生不等式 1+ 1 +-1=flAl+f(B)+f(C) sin A sin B sinC sin 当A=B=C时等号成立。