第四十一讲 复数在平面几何中的应用 讲义-2026年高中数学竞赛

第四十一讲 复数在平面几何中的应用

复数应用于求解几何问题的基础是复数运算的几何意义,恰当地用复数来表示一些几何基本量是解题的出发点。

距离 复平面上,两个复数 对应的点之间的距离为 。

定比分点公式 设点 分有向线段 成定比 ,即 ,则 是定比分点 的复数表示。特别地,当 时,得到中点公式。依照定比分点公式,易得平面上三点 共线的充要条件是: 存在三个不全为零的实数 ,使得 ,并且 。

点到直线的距离 设点 到由点 决定的直线 的距离为 ,则 ,这里 为 到 所成的角,注意到

于是 的绝对值。由此可知,由 构成的三角形的面积 的绝对值。

相似 设 与 为复平面上的两个三角形。则这两个三角形

直接相似的充要条件是

①

注意:①式事实上等价于 ，且

因而①蕴含 与 直接相似。

利用复数的乘法与除法的几何意义, 在解几何问题时, 可以方便地处理旋转与伸缩。

例 1 在任意给定的四边形的每一条边上取中点。求证: 这 4 点是一平行四边形的顶点。

证明 设原四边形的 4 个顶点可依次表示为复数 ,那么,每条边上的中点对应的复数依次是 ,分别用 表示。由于有等式

根据中点公式, 与 互相平分。可知 是一平行四边形的顶点。

                      

例 2 图

例 2 设 为平面上的两个定点, 为平面上位于直线 一侧的一个动点,分别以 为边,在 外作正方形 。证明: 无论 点取在直线 一侧的何处, 的中点 的位置不变。

证明 如图所示,设图中各字母同时也表示相应点的复数。由题设,应有

因而 的中点

由此知 与动点 无关。故结论正确。

                      

例 3 图

例 3 如图,设 是 内的一点,满足 是边 的中点, 是边 的三等分点,满足 。求证: 。

证明 把复平面原点置于 点， 点置于正实轴上。

注意到 ,则可令 。

经计算可得(用点的字母表示该点对应的复数):

于是

所以 ,