第四十一讲 复数在平面几何中的应用 讲义-2026年高中数学竞赛

第四十一讲 复数在平面几何中的应用 复数应用于求解几何问题的基础是复数运算的几何意义,恰当地用复数来表示一些几何基本量是解题的出发点。 距离 复平面上,两个复数 对应的点之间的距离为 。 定比分点公式 设点 分有向线段 成定比 ,即 ,则 是定比分点 的复数表示。特别地,当 时,得到中点公式。依照定比分点公式,易得平面上三点 共线的充要条件是: 存在三个不全为零的实数 ,使得 ,并且 。 点到直线的距离 设点 到由点 决定的直线 的距离为 ,则 ,这里 为 到 所成的角,注意到 于是 的绝对值。由此可知,由 构成的三角形的面积 的绝对值。 相似 设 与 为复平面上的两个三角形。则这两个三角形 直接相似的充要条件是 ① 注意:①式事实上等价于 ，且 因而①蕴含 与 直接相似。 利用复数的乘法与除法的几何意义, 在解几何问题时, 可以方便地处理旋转与伸缩。 例 1 在任意给定的四边形的每一条边上取中点。求证: 这 4 点是一平行四边形的顶点。 证明 设原四边形的 4 个顶点可依次表示为复数 ,那么,每条边上的中点对应的复数依次是 ,分别用 表示。由于有等式 根据中点公式, 与 互相平分。可知 是一平行四边形的顶点。 例 2 图 例 2 设 为平面上的两个定点, 为平面上位于直线 一侧的一个动点,分别以 为边,在 外作正方形 。证明: 无论 点取在直线 一侧的何处, 的中点 的位置不变。 证明 如图所示,设图中各字母同时也表示相应点的复数。由题设,应有 因而 的中点 由此知 与动点 无关。故结论正确。 例 3 图 例 3 如图,设 是 内的一点,满足 是边 的中点, 是边 的三等分点,满足 。求证: 。 证明 把复平面原点置于 点， 点置于正实轴上。 注意到 ,则可令 。 经计算可得(用点的字母表示该点对应的复数): 于是 所以 , 因此 ,即 。 例 4 设 是正向绕行的 (顶点依逆时针方向排列)。证明: 是正三角形的充要条件是 ,其中 是三次单位根 。 证明 我们知道,以 为顶点的三角形是正三角形,且 是正向绕行的。因此,若 是正向绕行的正三角形,则它与 直接相似。 于是有 ,即 。 反之,若 ,由于上面的推导是可逆的,反推上去得 即 与 直接相似,也就是说 是正向绕行的正三角形。 例 4 是一个很有用的定理。 例 5 图 例 5 如图,给定凸四边形 是平面上的动点,令 。求证: 当 达到最小值时, 、 四点共圆。 证明 引入复平面,仍用 等代表 等所对应的复数。 由三角形不等式,对于复数 有 当且仅当 与 (复向量)同向时,上式等号成立。因为 所以 ① 故 ② ①式取等号的条件是:复数 与 同向。故存在实数 ,使得 。所以 向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角,从而, 四点共圆。式②取等号的条件显然为 共线且点 在 上。 故当 达最小值时,点 在 的外接圆上, 四点共圆。 例 6 在 中, 。证明: 此三角形的内心、外心、 的中点以及 的中点四点共圆。 证明 设 的外心 为复平面上的原点, 的外接圆半径为 1,点 、 对应的复数为 。则 的内心 的中点 的中点 对应的复数分别为 ,这里 为 的三边长。 注意到,点 到 对应的复数的距离都为 ,于是,欲证 四点共圆,只需证明 ,即证 。由于 ,于是 ,因而只需证 。 为此,设 ,则 于是 。同理可证 注意到 所以，命题成立。 说明 利用复数证平面几何问题，在将点用恰当的复数表示后，就转化为一个代数问题。这是形数结合思想的体现，同时为有较好代数运算功底的学生提供了一种证明(或解)平面几何问题的思路。 例 7 如图, 和 是两个不全等的等腰直角三角形， 。现固定 ，而将 绕 点在平面上旋转。试证:不论 旋转到什么位置，线段 上必存在一点 ，使 为等腰直角三角形。 例 7 图 证明 不妨把复平面的原点建在 上， 放在正实轴上， 因此 。又不妨设 ,这里 ， 于是 。 在旋转任一角度 之后, 变为 ,而 变为 ,仍记为 。取 与 的连线的中点并记为 ,于是 。 考查三点: 。易见 由此得出 。 此式表明: 由向量 绕点 沿反时针方向旋转 之后得到向量 ,可见 为一等腰直角三角形,直角顶点为 。 例 8 设 是锐角三角形 内一点, 分别交边 于点 ,已知 。求证: 是 的重心。 证明 本题的结论对 为一般的三角形都成立。采用复数方法证明。 设 为复平面上的原点,并直接用 表示点 对应的复数,则存在正实数 、 ,使得 ,且 。 由于 为 与 的交点,可解得 。同样地, 利用 可知, ,于是 化简得 。 这时,若 ,则 ,因此, ,这要求 在 的外接圆上,与 在 内矛盾,所以 ,进而 ,得 。即 为 的重心。命题得证。 学科网（北京）股份有限公司 $