第二十六讲 数学竞赛中的递归数列问题讲义-2026年高中数学竞赛

第二十六讲 数学竞赛中的递归数列问题

在数学竞赛中, 递归数列问题不仅含有线性递归问题, 一些特殊的非线性递归数列问题也经常出现, 而且常常与数论、组合、不等式相结合, 难度大, 技巧性高。这一节我们来讨论这些问题。

例 1 数列 定义如下: ,求

的整数部分。

解 由题设 ,所以

于是

由 及 可得, ,而数列 是递增的,所以, ,故 ,所以,

的整数部分是 1 。

例 2 数列 定义如下: 。求证:

证明 令 ,则 ,且 ,所以

于是

故

由题设条件及数学归纳法可得: ,从而 , 于是 。

例 3 数列 满足 , 其中 为给定的正整数。证明: 数列 的每一项都是整数,且 , 。

证明 由题设可得 ,所以

将上面两式相减，得 ,

即

由题设条件知,数列 是严格递增的,所以

①

结合 知,数列 的每一项都是整数。

因为数列 的每一项都是整数,由①可知

②

于是,由 ,及②式可得 。

例 4 设数列 满足: 。 求证: 数列 的每一项都是正整数。

证明 由题设知,数列 的每一项都是正数,且 , 所以 ,上面两式相减得

故

①

由 ,可得 。

当 是奇数时,由①可得 ,即

当 是偶数时,由①可得 ,

即

所以

故由 是正整数及上面的递推式可知,数列 的每一项都是正整数。

例 5 数列 满足: 。