第二单元一元二次函数、方程和不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“一元二次函数、方程和不等式”专题，系统梳理2.1等式与不等式性质（含对称性、传递性等），2.2基本不等式（强调“一正二定三相等”及求最值方法），2.3二次函数与分式不等式解法，构建连贯的知识学习支架。 该资料以知识点梳理为基础，设计丰富典例（如范围求解、最值计算等），注重分类讨论与等价转化的数学思维，培养学生推理能力与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题复习：第二单元 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质和不等式性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【典例1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 【典例2】（多选）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A选项，所以，A选项正确； 对于B选项，所以，B选项不正确； 对于C选项，所以，C选项正确； 对于D选项，所以，D选项不正确； 故选：AC. 【典例3】已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，则， ∵，，即，， ∴，则，即. 故选：C 2.2基本不等式 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【典例1】已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 【典例2】，的最大值为_________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，，由基本不等式可得 ，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为. 故答案为：. 【典例3】已知，则的最大值为________. 【答案】 【详解】，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 【典例4】设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 【典例5】若，则的最小值为__________． 【答案】3 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 【典例6】已知，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 【典例7】函数的最小值为___________. 【答案】9 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【典例8】已知，，若，则的最小值为______. 【答案】3 【详解】因为，，， 所以，即； 因为，当且仅当时取到等号， 所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3. 故答案为：3 【典例9】若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：B 【典例10】已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、，由已知可得， 因为，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为， 故选：D． 【典例11】若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】， ，当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【典例12】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【答案】D 【详解】∵x>0，y>0且， 当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得. 故选：D 【典例13】函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 【典例14】已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 【典例15】当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. 【典例16】已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 【典例17】已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，所以. 又， 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，的最小值是. 故选：C. 【典例18】已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 【典例19】函数 的最大值为________. 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【典例1】若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以. 原不等式可化为所以，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 【典例2】不等式的解集为________. 【答案】 【详解】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 【典例3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原不等式可化为，即，解得． 故选：C． 【典例4】若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，. 故选：A. 【典例5】不等式的解集为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】∵不等式的解集为， ∴恒成立. ①当，即时，不等式化为， 解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意， 要使， 只需且， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 【典例6】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 【典例7】设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【详解】（1），恒成立等价于，， 当时，，对一切实数不恒成立，则， 此时必有， 即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）依题意， ，可化为， 当时，可得， 当时，可得，又， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题复习：第二单元 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质和不等式性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【典例1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例3】已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.2基本不等式 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【典例1】已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【典例2】，的最大值为_________. 【典例3】已知，则的最大值为________. 【典例4】设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【典例5】若，则的最小值为__________． 【典例6】已知，则的最小值为___________. 【典例7】函数的最小值为___________. 【典例8】已知，，若，则的最小值为______. 【典例9】若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【典例10】已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例11】若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 【典例12】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【典例13】函数取得的最小值时，的值为___________． 【典例14】已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【典例15】当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【典例16】已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【典例17】已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【典例18】已知，且，则的最小值为__________. 【典例19】函数 的最大值为________. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【典例1】若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例2】不等式的解集为________. 【典例3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例4】若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例5】不等式的解集为，则的取值范围是________. 【典例6】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例7】设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $